II ) PRIMITIVES

(1)

INTEGRATION

I ) INTEGRALE

( faire ex 1 )

Le plan est muni d’un repère orthogonal O; i,j tel que OI=i et OJ=j et OIKJ rectangle.

Définition 1 :

On appelle unité d’aire, l’aire du rectangle OIKJ.

Définition 2 :

Soit une fonction continue et positive sur [a;b] et C la courbe représentative de f dans le repère O; i,j . On appelle intégrale de f sur [a;b] le réel noté

∫

a b

fxd x représentant l’aire , en unité d’aire, du domaine D délimité par C, l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = a et x= b.

Faire ex : 27 p 200 Définition 3 :

Soit une fonction continue et négative sur [a;b] et C la courbe représentative de f dans le repère .

O; i,j On appelle intégrale de f sur [a;b] le réel noté

∫

a b

fxd x représentant l’opposé de l’aire , en unité d’aire, du domaine D délimité par C, l’axe des abscisses, et les droites

d’équations x = a et x= b.

II ) PRIMITIVES

Définition :

Soient f et F deux fonctions définies sur I.

F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et pour tout x de I F ‘(x) = f (x) Propriété 1 :

Si f continue sur I alors f admet une primitive sur I.

Propriété 2 :

Si f admet une primitive sur I alors :

- elle en admet une infinité, toutes égales à une constante prés.

- pour tout couple ( x₀ ; y₀) avec x₀ ∈I et y₀ ∈ℝ , il existe une unique primitive F₀ de f sur I telle que F₀ ( x₀ ) = y₀

Démonstration :

1) Si F est une primitive alors (F+c)'=F'=f donc F +c est une primitive de f.

réciproque : Si F et G sont deux primitives de f alors F '=g ' donc (F−G)'=0 donc F- G = c donc F = G + c.

2) Si F est une primitive alors F0(x)=F(x)+c et donc si F₀(x₀)=y₀ alors c = y0 - F(x₀) donc c est unique.

(2)

PRIMITIVES USUELLES c désigne un réel quelconque

f(x) I F(x)

k (une constante) ℝ kx+c

xⁿ où n ∈ℕ* ℝ xⁿ⁺¹

n+1 + c xⁿ où n ∈ℤ^-∗-{-1} ^{]0 ;+∞ [} ou ]−∞; 0[ xⁿ⁺¹

n+1 + c 1÷x ^{]0 ;+∞ [} ou ]−∞; 0[ ln ∣x∣ + c

e

^x ℝ e^x + c

1

√

^x ^]^{0 ;+∞ [} ²

√

x + c

sin(x) ℝ - cos(x) + c

cos(x) ℝ sin (x) + c

Propriété 3 :

Soient f et g deux fonctions admettant F et G comme primitives sur I alors une primitive de a .f + b.g où a et b sont des réels est a F + b G.

Démonstration :

(aF+bG)' = aF'+BG' = af+bg donc aF+bG est une primitive de af+bg

Propriété 4 : Si u dérivable sur I alors :

fonction primitive condition de validité

u’.uⁿ où n ∈ℕ* uⁿ⁺¹ n+1 + c u’.uⁿ où n ∈ℤ^-∗-{-1} uⁿ⁺¹

n+1 + c u ≠ 0 sur I

u '

u ln∣u∣+ c u ≠ 0 sur I

u '

√

u 2

√

^{u + c} ^u^>^{0 sur I}

u’ e^u e^u + c

u’. sin(u) - cos(u) + c

u’ . cos(u) sin(u) + c

Faire : ex 39 p 202 b et c , 52 p 203 + ex 2

(3)

III ) INTEGRALE ET PRIMITIVES

( faire act 4 p 185 )

Dans cette activité on a vu que pour une fonction f continue, positive et croissante sur [a;b] , la fonction A : x

∫

a x

fxd x définie sur [a;b] est la primitive de f sur [a;b] qui s’annule en a.

On l’admet dans les autres cas.

Propriété :

Soit une fonction f continue sur [a;b] , la fonction A : x

∫

a x

fxd x définie sur [a;b]

est la primitive de f sur [a;b] qui s’annule en a.

Ex : ∀ x > 0 ln(x) =

∫

1 x 1

t d t

∫

2 x

t²d t=x³ 3 –8

3 Faire ex : 60 p 203

Propriété :

Si f est continue sur [a;b] alors

∫

a b

fxd x = F(b) - F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [a;b].

Démo : Soit F une primitive quelconque de f alors F(x) = A(x) + k donc F(b) - F(a) = A(b) + k - A(a) - k = A(b) =

∫

a b

fxd x exemple :

∫

1 2

(2 x²+3 x)d x =

[

²3x³+3 2x²

]

1

2

=

(

¹⁶³ ⁺⁶

)

⁻

(

²³⁺³²

)

⁼⁵⁵⁶

Faire ex : 11 p 193 62 – 63 -64 -65 p 204

IV ) PROPRIETES DES INTEGRALES

Dans tout ce chapitre f et g sont continues sur I et a, b et c sont des éléments de I et  et  deux réels.

Définition :

Soit une fonction continue sur [a;b] , on appelle valeur moyenne de f sur [a;b] le réel  = 1

b – a

∫

a b

fxd x

Remarque :  représente la hauteur rectangle de largeur b – a qui a la même aire que l'aire du domaine sous la courbe représentative de f entre a et b

Exemple :

(4)

Propriété :

∫

a b

fxd x = -

∫

b a

fxd x

∫

a b

fxd x +

∫

b c

fxd x =

∫

a c

fxd x ( relation de Chasles)

∫

a b

fxgxd x = 

∫

a b

fxd x + 

∫

a b

gxd x ( linéarité)

Faire ex : Calculer

∫

– 3 3

∣

x²– 4

∣

d x + ex 90 p 207

Propriété : (positivité)

Si a  b et f continue et positive sur [a;b] alors

∫

a b

fxd x  0

Démo : f 0 donc F est croissante donc a  b implique que F(a)  F(b)...

Remarque : Si f continue et positive et a b alors

∫

a b

fxd x  0 Si f continue et négative et a  b alors

∫

a b

fxd x  0 Si f continue et négative et a b alors

∫

a b

fxd x  0

Faire ex : 88 p 206

Propriété :(conservation de l’ordre)

Si a  b , f et g continues sur [a;b] et f  g sur [a;b], alors

∫

a b

fxd x 

∫

a b

gxd x

Démo : f  g ⇒ f - g  0 ⇒

∫

a b

fx– gxd x  0 ⇒

∫

a b

fxd x -

∫

a b

gxd x  0...

Faire ex : 92 p 207 Propriété :

Si a  b , f et g continues sur [a;b] et f  g sur [a;b], alors l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les deux courbes représentatives de f et g et les droites d’équations x = a et x = b

est

∫

a b

gx−fxd x

Faire ex ( sur les aires ): 78 – 79 p 205

Faire : 105 p 210 (suites et integrales) devoir maison : 112 p 213 124 p 216

(5)

EXERCICE 1 :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé ( 0 ; i ; ⃗ j^⃗ ), on donne P la parabole d'équation y = x². On appelle A l'aire de la partie du plan délimitée par P , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 1

1) En coupant [0;1] en 5 intervalles de même longueur, montrer que 6

25  A  11 25 .

2) En coupant [0;1] en n intervalles de même longueur, a) Montrer que sn  A  Sn où

s_n= 1

n³ ( 1²+2² + ….... + (n−1)² ) et Sn= 1

n³ ( 1²+2² + ….... + n² ) b) Démontrer par récurrence que 1²+2² + ….... + n² = n(n+1)(2n+1)

6 .

c) En calculant les limites de sn et Sn , déterminer A.

EXERCICE 2 :

Déterminer l’ensemble de continuité I et une primitive sur I des fonctions définies par : f₁( x ) = x⁴ f₂( x ) =2x⁴ + 5x³ -8x² +3x + 7 f₃( x ) = 1

5 x⁶ f₄( x ) = -3 x² + 5x - 4 + 3



x f₅( x ) = 7 x



^x²^3 ^f⁶( x ) = sin ( 5 x + )

f₇( x ) = 9 x

x²– 9 f₈( x ) =(x + 1) (3 x²+6 x+2)³ f₉( x ) = 5

– 2 x4⁴ f₁₀( x ) = cos(x) sin³(x) f₁₁( x ) = sinx

cos³x f₁₂( x ) = 5



^{7 x7}

f₁₃( x ) = ^ln^x^

x  7

3 x f₁₄( x ) = tan(x) f₁₅( x ) = -5 e^{2 x} +7 e^x -3 f₁₆( x ) = e^x

5e^x2 f₁₇( x ) = 1

xlnx