R´evisions II

MatDis Exos∞

R´ evisions II

1. Pr´eciser un contexte plausible et expliciter l’un des ´enonc´es suivants:

θ ∈ {^π₂ + 2kπ|k∈Z} {x∈R|x³−x=m} ⊂ {y ∈R|y² ≤1} 7∈ {x∈R|∀n ∈N, x < u_n} 2. Ecrire la table de v´erit´e de =⇒ ou de et.

3. Pour l’un au moins des ´enonc´es suivants

∀x, y ∈I, x≤y=⇒sinx≤siny; ∀x, y ∈R, x6=y=⇒f(x)6=f(y) : a) Calculer sa n´egation, sa contrapos´ee, sa r´eciproque.

b) Indiquer un contexte dans lequel il est vrai et un contexte dans lequel il est faux.

4. Indiquer un contexte dans lequel les deux ´enonc´es suivants ne sont pas ´equivalents:

∃M ∈R,∀x∈R, f(x)≤M ∀x∈R,∃M ∈R, f(x)≤M.

5. a) Rappeler la d´efinition de “f est monotone”.

b) Formaliser l’´enonc´e : si f est monotone sur R, alors 2f l’est aussi.

c) Donner une d´emonstration d´etaill´ee de l’´enonc´e pr´ec´edent.

6. Expliquer pourquoi la partie suivante de R×Nest ou n’est pas une application:

{(x, n)∈R×N|2x−1≤n ≤2x}, {(x, n)∈R×N|1−x≤n <2−x}, {(x, n)∈R×N|n < e^x+ 3≤n+ 1}, {(x, n)∈R×N|n−3< x² ≤n−2}.

7. Donner un ´enonc´e formel du probl`eme suivant :

Existe-t-il deux entiers cons´ecutifs dont le produit soit ´egal au carr´e de la somme?

8. Formaliser puis d´emontrer en termes de tactiques l’´enonc´e suivant :

Pour que deux parties soient ´egales, il suffit que leurs compl´ementaires le soient.

9. Formaliser puis d´emontrer en langage usuel l’´enonc´e suivant :

Si de deux parties l’une contient l’autre, alors le compl´ementaire de la plus petite contient celui de la plus grande.

10. Voici

• un ´enonc´e :

Si une suite strictement positive tend vers 0, alors elle atteint son maximum.

• et sa preuve:

Soit une suite u strictement positive et tendant vers 0.

Il existe donc un entier N tel que, pour n ≥N, on ait u_n < u₀. On conclut en observant que, pour tout entier n, on a u_n≤max^N_i=0u_i.Autrement dit, u atteint bien son maximum, et ce sur l’intervalle [0..N], cqfd.

• Quelle peut ˆetre la d´efinition de convergence invoqu´ee dans cette preuve?

• A quel(s) argument(s) cette convergence est-elle appliqu´ee?

• Quel est le point faible de cette d´emonstration?