DEVOIR MAISON

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FICHE N ^~ 4

DEVOIR MAISON

Terminale S*

Polynômes, Intégral

September 27, 2019

Papa Séga WADE

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insta: @maths_psw

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UNE LOGIQUE DE L’IMAGINATION.”

LEIBNIZ

N

lim

N Y

i=1 N X

i=0 Z

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0.1 Exercice I: Intégral & fonction trigonométrique

Soient I =^R₀^πxcos²(x)dx et J =^R₀^πxsin²(x)dx.

Q1)

a) Calculer I+J.

b) Établir que I−J =^R₀^πxcos(2x)dx, puis à l’aide d’un changement de variable¹ montrer que

Rπ

0 xcos(2x)dx= 0.

c) En déduire I etJ.

Q2)

a) Citer le premierthéorème de la moyenne.

b) Soient a∈R^∗+ etf : [−a, a]→Rune fonction continue. Calculer : lim

x−→0 1 x²

Rx

0 tf(t)dt.

Q3) Soit f : [0,1]→R, une fonction continue.

a) Démontrer l’inégalité: ^R₀¹f(t)dt² ≤^R₀¹f²(t)dt.

b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ^R₀¹f(t)dt² =^R₀¹f²(t)dt.

Q4) Soit f : [0,1] → [0,1], une fonction continue et (E) l’équation d’inconnue x ∈ [0,1] :

Rx

0 f(t)dt = 2x−1.

Montrer que (E) possède une unique solution.

Exercice II: Polynômes de Legendre

On pose P(t) = (t² −1)ⁿ.

Q1)Montrer que pour toutk∈0,1, ..., n−1,P^(k)(1) =P^(k)(−1) = 0.ouP^(k)désigne la dérivé à l’ordre k

Q2) Monter que P⁽ⁿ⁾(1) = 2ⁿn!. En déduire P⁽ⁿ⁾(−1).

Q3) Montrer que P⁽ⁿ⁾ s’annule au moins n fois dans l’intervalle ]−1,1[.

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1Une intégration par parties est possible. On demande ici impérativement de respecter le texte.

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N

lim

N Y

i=1 N X

i=0 Z

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0.2 Problème****: Valeurs approchées d’intégrales à l’aide de Polynômes (Polynômes de Legendre)

Dans tout le problèmen désigne un entier supérieur ou égal à 1.On considère une fonction f : [−1,1]→Rinfiniment dérivable (comme la fonctione^x) et de fonctions dérivées continues et on noteI(f) l’intégrale: ^R₋₁¹ f(x).Pour tout entier naturelk, on pose : M_k(f) = sup

x∈[−1,1]

|f^(k)(x)|

où f^(k) désigne la dérivée d’ordre k de f. Les polynômes considérés sont à coefficients réels et l’on confond polynôme et fonction polynomiale associée. Pour tout entier naturel m, on note Rm[X] l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à m. Pour (i, j) ∈ N², δ_i,j est le symbole de Kronecker; c’est à dire δ_i,j = 1 si i = j et δ_i,j = 0 si i 6= j. Enfin, a₁, ..., a₂ désignent n réels deux à deux distincts de [−1,1] et on note A_n le polynôme de degré n:

A_n(X) = (X−a₁)(X−a₂)...(X −a_n) =^Qn_i=1(X−a_i). Pour i ∈ [|1, n|] soit B_i le polynôme:

B_i(X) = (X −a₁)(X−a₂)...(X−ai−1)(X−a_i+1)...(X−a_n) = ^Q_j∈[|1,n|]

j6=i

(X −a_j) et L_i(X) =

1

Bi(ai)B_i(X).

La famille (L_i(X))i∈[|1,n|] est celle des polynômes de Legendre (cf Exercice II).

(Définition1 polynôme de Legendre), (Définition2 Polynôme de Legendre).

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗@maths_psw∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

0.2.1 • PartieA: Polynôme de Lagrange

Q1)

a) Vérifier que :

• pour touti∈[|1, n|], degL_i(X) = n−1

• pour touti∈[|1, n|], L_i(a_j) =δ_i,j. b) Vérifier que :

• Montrer que P_f = ^Pn_i=1f(a_i)L_i est l’unique polynôme P ∈ Rⁿ⁻¹[X] tel que : pour tout i∈[|1, n|], P(a_i) = f(a_i).

• On pose λ_i =^R₋₁¹ L_i(x)dx. Vérifier que : ^R₋₁¹ P_f(x)dx=^Pn_i=1λ_if(a_i).

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i=1i=0

Dans toute la suite, on note J_n(f) = ^R₋₁¹ P_f(x)dx.

c) Comparer I(f) et J_n(f) lorsque f ∈Rⁿ⁻¹[X].

Q2) On suppose n ≥2.

a) Montrer que: pour tout x∈[−1,1], il existe un c∈]−1,[, tel que

f(x) =P_f(x) + f⁽ⁿ⁾(c)

n! A_n(x).

b) En déduire que : |I(f)−Jn(f)| ≤ ^Mn_n!^(f)R₋₁¹ |An(x)|dx.

Q3) On suppose que (a1, ..., an) tel que: pour toutk ∈[|1, n|],ak =−1 +^2(k−1)_n−1 (ainsi ai, ..., an

est la subdivision régulière de [−1,1] en (n−1) intervalles égaux).

a) Soit k∈[|1, n−1|] et x∈[a_k, a_k+1]. Justifier l’inégalité :

|A_n(x)| ≤

2 n−1

n

k!.(n−k)!.

b) En déduire que : pour tout x∈[−1,1],

|A_n(x)| ≤

2 n−1

n

(n−1)!.

c) Montrer que si l’entier n est assez grand, on a pour tout x ∈ [−1,1], |An(x)| ≤ (²_e)ⁿ. En déduire une majoration de |I(f)−J_n(f)|.

0.2.2 • Partie B:

Pour tout polynôme Q, on note Q⁰ le polynôme dérivé deQ.

Q1) Soit T :R²ⁿ⁻¹[X]→R²ⁿ, Q7−→(Q(a₁), ..., Q(a_n), Q⁰(a₁), ...., Q⁰(a_n)).

a) Montrer que T est linéaire et injective.

b) Montrer que T est surjective.

c)En déduire qu’il existe un uniqueQ_f ∈R²ⁿ⁻¹[X] tel que: pour touti∈[|1, n|],Q_f(a_i) =f(a_i) et Q⁰_f(a_i) =f⁰(a_i).

Dans toute la suite, on noteK_n(f) = ^R₋₁¹ Q_f(x)dx.

Q2)Que peut-on dire deI(f) etK_n(f) lorsque f est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égale à 2n−1 ?

Q3) Par une méthode analogue à celle développée en Partie A 2) on pourrait démontrer et on admettra la majoration:

|I(f)−K_n(f)| ≤ M_2n(f) (2n)!

Z 1

−1A²_n(x)dx.

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N

lim

N Y

i=1 N X

i=0 Z

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Que vaut le polynômeQ_f lorsquef est la fonction polynomialex7→A²_n(x) ? Montrer que dans ce cas, l’inégalité précédente est une égalité.

Q4) Soit Φ :Rn[X]xRn[X]→R, (P, Q)7→(P ∗Q) =^R₋₁¹ P(x)Q(x)dx. avec (P ∗Q) le produit scalaire entre P etQ.

Montrer que Φ est un produit scalaire.

On suppose dans la suite que Rn[X] est muni du produit scalaire Φ. On dit queP, Q∈Rn[X]

sont orthogonaux si et seulement si (P ∗Q) = 0.

Q5)

a) Justifier l’existence d’un polynôme V de degré au plus n−1 vérifiant Q_f −P_f =A_nV. En déduire que si le polynômeA_nest orthogonal à tout polynôme deRⁿ⁻¹[X], alorsK_n(f) = J_n(f).

b) Inversement, si le polynôme A_n n’est pas orthogonal à tout à tout polynôme de Rⁿ⁻¹[X], montrer qu’il existe une fonction f telle que K_n(f)6=J_n(f).

0.2.3 • Partie C:

Soient pour k ∈ N, u_k :7→ (x² −1)^k (pour k = 0, u₀ est la fonction constante égale à 1) et l_k =u^(k)_k (où u^(k)_k désigne la dérivéek^e de u_k).

Q1) Montrer que: pour tout k ∈N^∗, pour tout Q∈R^k−1[X], (Q∗lk) = 0.

Q2) Montrer alors que pour toutk ∈N^∗, l_k possède k racines simples, toutes dans [−1,1].

Q3) Montrer que pour tout k ∈ N^∗ et tout P ∈ Rk[X], P s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients réels de l₀, ..., lk.

Q4)Montrer qu’il existe un unique polynôme² R_n∈Rⁿ⁻¹[X] tel que le polynômeXⁿ−R_n(X) est orthogonal à tout élément de Rⁿ⁻¹[X].

On note dans la suite, Sn, le polynôme défini par Sn(X) = Xⁿ−Rn(X). Soient α₁, ..., αn les n racines de l_n rangées dans l’ordre croissante.

Montrer que : S_n(X) =^Qn_i=1(X−α_i).

Q5) On reprend les natations de la Partie A: avec An = Sn, on a Jn(f) = ^R₋₁¹ Pf(x)dx =

Pn

i=1λ_if(a_i) où pour touti∈[|1, n|], a_i =α_i. En utilisant les résultats de la Partie B, montrer que :

|I(f)−J_n(f)| ≤ M2n(f) (2n)!

Z ₁

−1S_n²(x)dx.

Q6) Étude des réelsα₁, ..., α_n et λ₁, ..., λ_n. a) Calculer λ₁+...+λ_n.

b) Montrer que: pour tout i∈[|1, n|], λ_i >0.

@maths_psw

2On dit queRn est le projeté orthogonal deXⁿ surRn−1[X]

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i=1i=0

c) Montrer que:

• pour touti∈[|1, n|], αn+1−i =−α_i.

• pour touti∈[|1, n|], λ_n+1−i =λ_i

7) Majoration de^R₋₁¹ S_n²(x)dx.

a) Montrer que pour tout polynômeP unitaire de degrén, on a l’inégalité:

Z 1

−1S_n²(x)dx≤

Z 1

−1P²(x)dx.

b) Montrer que pour tout entier naturel non nul k, il existe un polynôme unitaire Tk de degré k, tel que, pour tout θ∈R, cos(kθ) = 2ⁿ⁻¹T_k(cosθ).

En déduire la majoration : ^R₋₁¹ S_n²(x)≤ ₂2(n−1)¹ . 8) On suppose que n= 3.

a) Montrer que: J₃(f) = ¹₉5f(−^q3₅) + 8f(0) + 5f(^q3₅) b) Déterminer alors une valeur approchée de ^R₀¹e^x

2

2 dx et donner une majoration de l’erreur ainsi commise.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗@maths_psw∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Bon courage, vous pouvez y arriver !

********** FIN DU SUJET ! **********

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