1. G´ en´ eralit´ es sur les groupes analytiques rigides en caract´ eristique 0 5

LAURENT FARGUES

R´ esum´ e. Nous d´ efinissons et ´ etudions une cat´ egorie de groupes analytiques rigides qui comprend les fibres g´ en´ eriques des groupes formels p-divisibles sur les anneaux d’entiers de corps p-adiques.

Table des mati` eres

Introduction 1

1. G´ en´ eralit´ es sur les groupes analytiques rigides en caract´ eristique 0 5

2. Les groupes analytiques rigides de type p-divisible 20

3. Classification des groupes analytiques rigides de type p-divisible sur un corps

alg´ ebriquement clos 29

4. Classification des groupes analytiques rigides de type p-divisible sur un corps

quelconque 33

5. Etude de la cat´ ´ egorie des groupes analytiques rigides de type p-divisible 36 6. Caract´ erisation g´ eom´ etrique des groupes formels p-divisibles 39 7. Une autre classification des C-groupes analytiques rigides de type p-divisible 41 8. Quasi-morphismes de groupes analytiques rigides de type p-divisible 43

R´ ef´ erences 46

Introduction

Soit K un corps valu´ e complet pour une valuation de rang 1, extension de Q p . On note K une clˆ oture alg´ ebrique de K et C = K. b

Les espaces de Banach-Colmez. La motivation premi` ere de cet article concerne l’´ etude d’ob- jets introduits par Pierre Colmez dans [9].

Dans [9] Colmez a d´ efini des objets qu’il appelle espaces de Banach de dimension finie. Ce sont des foncteurs de la cat´ egorie des

alg` ebres sympathiques

` a valeurs dans les Q p -espaces de Banach. Les alg` ebres sympathiques sont des C-alg` ebres de Banach d’un type particulier.

Dans [13] nous d´ eveloppons un point de vue diff´ erent, plus g´ eom´ etrique, sur ces objets. Nous y d´ efinissons ce que nous appelons les espaces de Banach-Colmez effectifs comme ´ etant certains espaces rigides g´ en´ eralis´ es en groupes de la forme

lim ←−

N

G

o` u G est un groupe analytique rigide commutatif d’un type particulier que nous d´ efinissons et

´

etudions dans cet article,

les groupes analytiques rigides de type p-divisible

, et les applications de transition sont la multiplication par p sur G. Les C-points d’un tel espace rigide forment naturellement un Q p -espace de Banach. Nous d´ efinissons ensuite dans [13] les espaces de Banach- Colmez comme ´ etant formellement les quotients d’un espace de Banach-Colmez effectif X par un

Date : 11 novembre 2018.

2000 Mathematics Subject Classification. 14L05, 14G22.

Key words and phrases. p-divisible groups, rigid analytic geometry, p-adic Hodge theory.

The author acknowledges support from ANR-10-BLAN-0114 ”ArShiFo”.

1

sous- Q p -espace vectoriel de dimension finie de l’espace de Banach X (C). On montre alors par des m´ ethodes diff´ erentes de celles de Colmez que la cat´ egorie obtenue est ab´ elienne. La cat´ egorie obtenue est de plus ´ equivalente ` a celle de [9] (bien que ce ne soit pas du tout ´ evident).

N´ eanmoins, comme nous l’expliquons dans la suite de cette introduction, la d´ efinition et l’´ etude des groupes analytiques rigides de type p-divisible s’av` ere naturelle et int´ eressante en soi, ind´ ependamment de l’article [13].

Fibre g´ en´ erique des groupes formels p-divisibles. Notons pdiv _O

K

, resp. pdiv _K , la cat´ egorie des groupes p-divisibles sur Spec(O K ), resp. Spec(K). Il y a une ´ equivalence de cat´ egories

pdiv _K −−→ ^∼ Rep _Z

(Gal(K|K)) H 7−→ T _p (H)

o` u Rep _Z

p

(Gal(K|K)) d´ esigne la cat´ egorie des repr´ esentations continues du groupe de Galois ` a valeurs dans des Z p -modules libres de rang fini. Il y a de plus un foncteur fibre g´ en´ erique

pdiv _O

−→ pdiv _K H 7−→ H ⊗ K

Lorsque la valuation de K est discr` ete Tate a montr´ e ([17]) que ce foncteur est pleinement fid` ele et que de plus, si pdiv(O K ) ⊗ Q d´ esigne la cat´ egorie des groupes p-divisibles ` a isog´ enies pr` es, pdiv _O

K

⊗ Q est une sous-cat´ egorie ab´ elienne de pdiv _K ⊗ Q ' Rep _Q

p

(Gal(K|K)). Lorsque la va- luation de K n’est plus discr` ete, par exemple si K est alg´ ebriquement clos, les r´ esultats pr´ ec´ edents ne sont pas v´ erifi´ es.

Prenons maintenant un point de vue diff´ erent. Il y a un foncteur de compl´ etion formelle qui induit une ´ equivalence de cat´ egories

Groupes p-divisibles formels sur Spec(O K )

∼

−−→

Groupes formels p-divisibles sur Spf(O K )

.

Le membre de gauche d´ esigne les groupes p-divisibles H sur Spec(O K ) tels que la r´ eduction de H [p] sur le corps r´ esiduel de K soit un groupe radiciel. Celui de droite d´ esigne les groupes formels formellement lisses H sur Spf(O K ) tels que la multiplication par p sur H soit un morphisme fini lo- calement libre. L’´ equivalence de cat´ egories pr´ ec´ edente est un analogue du th´ eor` eme d’alg´ ebrisation de Grothendieck ; l’´ equivalence entre les sch´ emas ab´ eliens polarisables et les sch´ emas ab´ eliens for- mels polarisables. Identifions les deux cat´ egories pr´ ec´ edentes et notons les pdiv ^f _O

K

. Prenant le point de vue des groupes formels il y a un foncteur fibre g´ en´ erique

pdiv ^f _O

K

−→ K − groupes formels commutatifs H 7−→ H ⊗K ˆ

Il y a cependant une ´ equivalence de cat´ egories

K − groupes formels commutatifs −→ K − e.v. de dimension finie G 7−→ Lie G

d’inverse W 7−→ W ⊗ G b a . Si H est un groupe formel p-divisible sa fibre g´ en´ erique au sens pr´ ec´ edent, H ⊗K, ne d´ ˆ etecte donc que l’alg` ebre de Lie, Lie H[ <sup>1</sup> <sub>p</sub> ], c’est ` a dire le quotient de sa filtration de Hodge donn´ e par les logarithmes de H. Le foncteur fibr´ e g´ en´ erique pr´ ec´ edent n’est donc pas tr` es int´ eressant puisqu’il fait perdre beaucoup d’informations sur le groupe formel p-divisible.

On se propose alors d’´ etudier un foncteur fibre g´ en´ erique plus subtil qui n’a pas ´ et´ e ´ etudi´ e auparavant, le foncteur

pdiv ^f _O

K

−→ K − groupes analytiques rigides commutatifs H 7−→ H ^rig .

Via l’´ equivalence de cat´ egories entre K-sch´ emas localement de type fini de dimension 0 et K-

espaces rigides de dimension 0 celui-ci permet de retrouver le foncteur fibre g´ en´ erique de Tate

qui n’est rien d’autre que H 7−→ H ^rig [p ^∞ ] ainsi que le foncteur fibre g´ en´ erique pr´ ec´ edent via

H 7−→ Lie H ^rig . Il s’agit donc d’un foncteur fibre g´ en´ erique plus fin que les deux foncteurs pr´ esent´ es pr´ ec´ edemment. Le th´ eor` eme 6.1 de cet article s’´ enonce ainsi.

Th´ eor` eme. Le foncteur fibre g´ en´ erique pdiv ^f _O

K

−→ K − groupes analytiques rigides commutatifs H 7−→ H ^rig .

induit une ´ equivalence de cat´ egories entre la cat´ egorie des groupes formels p-divisibles sur O K et celle des K-groupes analytiques rigides commutatifs G tels que

— comme espace analytique rigide G ' ˚ B ^d (0, 1) pour un entier d

— la multiplication par p, G − −− ^×p → G, est un morphisme fini.

Ainsi, mˆ eme si la valuation de K n’est pas discr` ete, le foncteur fibre g´ en´ erique pr´ ec´ edent est pleinement fid` ele. Lorsqu’on travaille avec les groupes formels p-divisibles on peut oublier leurs mod` eles entiers et travailler directement au niveau des groupes analytiques rigides. Le corollaire 20 de cet article explique par exemple comment retrouver le module filtr´ e associ´ e ` a un groupe formel p-divisible directement ` a partir du groupe analytique rigide associ´ e.

Les groupes analytiques rigides de type p-divisible. Si H est un groupe p-divisible sur Spec(K), comme faisceau fppf H est repr´ esentable par un K-sch´ ema en groupes localement de type fini de dimension 0. On v´ erifie alors que via le foncteur d’analytification la cat´ egorie des groupes p-divisibles sur K s’identifie ` a la cat´ egorie des groupes analytiques rigides commutatifs G tels que

— la multiplication par p, G − −− ^×p → G est un morphisme fini surjectif

— pour tout x ∈ G, p ⁿ x = 0 pour n 0.

On se propose de relˆ acher la seconde condition en la rempla¸ cant par une condition du type

topologiquement p-nilpotent

.

D´ efinition. Un K-groupe analytique rigide de type p-divisible est un K-groupe analytique rigide commutatif G tel que

— la multiplication par p, G − −− ^×p → G, est un morphisme fini et surjectif

— si |G ^an | d´ esigne l’espace topologique sous-jacent ` a l’espace analytique de Berkovich associ´ e

`

a G alors pour tout x ∈ |G ^an |, lim

n→+∞ p ⁿ x = 0.

Notons R la cat´ egorie des groupes analytiques rigides de type p-divisibles. Si H est un groupe formel p-divisible sur O K il d´ efinit un groupe analytique rigide de type p-divisible H ^rig . Cela d´ efinit un foncteur pleinement fid` ele

pdiv ^f _O

K

−→ R

d’image essentielle les G ∈ R tels que G ' ˚ B ^dimG (0, 1). Par exemple si A est une vari´ et´ e ab´ elienne sur K ayant bonne r´ eduction soit

G = {x ∈ A ^an | lim

n→+∞ p ⁿ x = 0}

C’est un groupe analytique rigide de type p-divisible. De plus sa composante connexe neutre G ⁰ est la fibre g´ en´ erique du groupe formel p-divisible associ´ e au mod` ele de N´ eron de A. Ainsi ce groupe formel (ou sa fibre g´ en´ erique) est enti` erement d´ etermin´ e par A ind´ ependamment du choix du mod` ele entier de A.

Si H est un groupe p-divisible sur K il d´ efinit alors un objet de R et cela d´ efinit un foncteur pleinement fid` ele

pdiv _K −→ R

d’image essentielle les groupes analytiques rigides de type p-divisible de dimension 0. R´ eciproquement, si G ∈ R alors G[p ^∞ ] ∈ pdiv _K . Si W est un K-espace vectoriel le groupe W ⊗ G ^rig a , isomorphe ` a une somme de copies du groupe additif, est dans R et cela d´ efinit ´ egalement un foncteur pleinement fid` ele

K − e.v. de dimension finie −→ R

La proposition 16 fournit le th´ eor` eme de structure suivant.

Proposition. Soit G un groupe analytique rigide de type p-divisible. Il y a alors une suite exacte 0 −→ G[p ^∞ ] −→ G − −− ^log → Lie G ⊗ G ^rig a −→ 0

o` u G[p ^∞ ] est un groupe p-divisible, log est un morphisme ´ etale surjectif qui fait de G un revˆ etement

´

etale de Lie G ⊗ G ^rig a au sens de De Jong ([10]). Lorsque G = H ^rig avec H un groupe formel p- divisible le morphisme log est donn´ e par les logarithmes du groupe formel.

Ce th´ eor` eme admet une r´ eciproque, on renvoie ` a la proposition 18.

Classification. L’un des r´ esultats principaux de cet article est le th´ eor` eme de classification sui- vant.

Th´ eor` eme 0.1. La cat´ egorie des K-groupes analytiques rigides de type p-divisible est ´ equivalente

`

a la cat´ egorie des triplets (Λ, W, f) o` u Λ est une repr´ esentation continue de Gal(K|K) dans un Z p -module libre de type fini, W est un K-espace vectoriel de dimension fini et

f : W ⊗ K C −→ Λ ⊗ _Z

C(−1) est un morphisme C-lin´ eaire Gal(K|K)-´ equivariant.

Si le groupe G est associ´ e au triplet (Λ, W, f ) on peut alors prendre Λ = T _p (G[p ^∞ ]) et W = Lie G.

Lorsque G = H ^rig avec H un groupe formel p-divisible sur O _K alors f : Lie H ⊗ C −→ T _p (H) ⊗ C(−1) est la transpos´ ee de l’application de Hodge-Tate de H ^D .

Lorsque K est alg´ ebriquement clos, c’est ` a dire K = C, le groupe analytique rigide de type p-divisible G associ´ e au triplet (Λ, W, f ) se construit par tir´ e en arri` ere via le diagramme suivant

0 // G[p ^∞ ] //

'

// G

log // Lie G //

f

0

0 // Λ(−1) ⊗ µ p

// Λ(−1) ⊗ G b ^rig m

Id⊗log // (Λ ⊗ _Z

C(−1)) ⊗ G ^rig a // 0 o` u G b <sup>rig</sup> m = ˚ B (1, 1) muni de sa structure multiplicative. Ainsi, apr` es certains choix,

G ' ( G ^rig a ) ^r ⊕ log ⁻¹ (V ⊗ G ^rig a ) o` u

log : ( G b ^rig m ) ^s −→ ( G ^rig a ) ^s

et V ⊂ C ^s est un sous-C-espace vectoriel. Le cas g´ en´ eral se d´ eduit du cas alg´ ebriquement clos par descente galoisienne.

Via la pleine fid´ elit´ e du foncteur fibre g´ en´ erique on obtient le corollaire suivant valable pour tout K.

Corollaire. Soient H ₁ et H ₂ deux groupes p-divisibles formels sur O K . Alors Hom(H 1 , H 2 ) =

u ∈ Hom _Z

p

[Gal(K|K)] (T p (H 1 ), T p (H 2 )) | u ⊗ 1(Lie H 1 ⊗ C) ⊂ Lie H 2 ⊗ C Partant du corollaire pr´ ec´ edent on obtient alors la g´ en´ eralisation suivante du th´ eor` eme de Tate (th´ eor` eme 5.1).

Th´ eor` eme. Supposons C(−1) ^Gal(K|K) = 0. Alors, le foncteur fibre g´ en´ erique pdiv ^f _O

K

−→ pdiv _K est pleinement fid` ele.

Les th´ eor` emes de classification suivants sont ` a la base des r´ esultats de [13], ils sont le point de d´ epart de la d´ emonstration de l’analogue du

lemme fondamental

de Colmez et Fontaine.

Th´ eor` eme. Soit G un C-groupe analytique rigide de type p-divisible connexe de dimension 1.

Alors soit G ' G ^rig a soit il existe un groupe formel p-divisible de dimension 1 sur O C , H , bien d´ etermin´ e ` a isomorphisme unique pr` es tel que G ' H ^rig .

Th´ eor` eme. Soit G un C-groupe analytique rigide de type p-divisible. Il existe alors

— des entiers a, b ∈ N ,

— des groupes formels p-divisibles de dimension 1, G 1 , . . . , G r sur Spf(O C )

— un sous-groupe p-divisible Γ ⊂

r

M

i=1

G _i ^rig [p ^∞ ] tels que G soit isomorphe au groupe

G ' ( Q p / Z p ) ^a ⊕ ( G ^rig a ) ^b ⊕

r

M

i=1

G _i ^rig

! /Γ.

Structure de la cat´ egorie des groupes analytiques rigides de type p-divisible ` a isog´ enie pr` es. Il y a une bonne notion d’isog´ enie entre groupes analytiques rigides de type p-divisible.

Notons R ⊗ Q pour la cat´ egorie de tels groupes ` a isog´ enies pr` es. Le th´ eor` eme de classification pr´ ec´ edent implique que cette cat´ egorie est ´ equivalente ` a celle des triplets (V, W, f) o` u V est un Q ^p -espace vectoriel de dimension finie muni d’une action lin´ eaire continue de Gal(K|K), W un C-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action semi-lin´ eaire continue de Gal(K|K) et f : W −→ V ⊗ _Q

C(−1) est C-lin´ eaire galois ´ equivariant. De cela on d´ eduit que la cat´ egorie R ⊗ Q est ab´ elienne. Via le foncteur fibre g´ en´ erique pleinement fid` ele

pdiv ^f _O

K

⊗ Q −→ R ⊗ Q

on obtient donc un plongement de la cat´ egorie des groupes p-divisibles formels ` a isog´ enie pr` es (qui n’est pas ab´ elienne en g´ en´ eral si la valuation de K n’est pas discr` ete) dans une cat´ egorie ab´ elienne.

La cat´ egorie ab´ elienne R ⊗ Q est munie de deux fonctions additives ht, dim : R ⊗ Q −→ N o` u ht(G) d´ esigne la hauteur du groupe p-divisible G[p ^∞ ] et dim(G) la dimension de G. On d´ efinit une sous-cat´ egorie exacte R ^a ⊗ Q de R ⊗ Q form´ ee des G ∈ R qui ne peuvent pas s’´ ecrire sous la forme G ^rig a ⊕ G ⁰ pour un G ⁰ ∈ R.

Proposition. Les objets de R ^a ⊗ Q admettent des filtrations de type Harder-Narasimhan relati- vement ` a la fonction pente dim

ht .

La proposition pr´ ec´ edente s’interp` ete en termes des r´ esultats de [11]. On renvoie ` a la discussion suivant le th´ eor` eme 5.2.

Averstissement : Le premier chapitre de l’article concerne des g´ en´ eralit´ es sur les groupes analy- tiques rigides malheureusement non disponibles dans la litt´ erature. Il est inutile d’avoir lu l’int´ egralit´ e de ce chapitre pour la compr´ ehension de l’article, le lecteur pouvant s’y r´ ef´ erer lorsqu’il en aura besoin.

1. G´ en´ eralit´ es sur les groupes analytiques rigides en caract´ eristique 0 1.1. Espaces rigides/espaces analytiques. Soit K| Q p un corps valu´ e complet pour une valua- tion de rang 1. On fixe une clˆ oture alg´ ebrique K de K et on pose C = K. On note b |K ^× | ^1/∞ =

|K ^× | = S

n≥1 |K ^× | ^1/n ⊂ R ^× .

Nous faisons l’hypoth` ese suivante concernant les espaces analytiques au sens de Berkovich ([3], [4]) que nous consid´ ererons.

Hypoth` ese : Les espaces analytiques au sens de Berkovich que nous consid´ ererons seront tous des espaces analytiques stricts Hausdorff, c’est ` a dire dont l’espaces topologique sous-jacent est s´ epar´ e.

Rappelons ([4], th´ eor` eme 1.6.1) qu’il y a un foncteur pleinement fid` ele de cette cat´ egorie d’es- paces analytiques vers les espaces rigides quasi-s´ epar´ es. On notera X ^rig l’espace rigide associ´ e

`

a l’espace analytique X . R´ eciproquement si Y est un espace rigide dans l’image essentielle du

foncteur pr´ ec´ edent on notera Y ^an l’espace analytique associ´ e. Rappelons ´ egalement que les es-

paces rigides quasi-s´ epar´ es poss´ edant un recouvrement admissible affino¨ıde localement fini sont

dans l’image essentielle de ce foncteur (ce qui repr´ esente la quasi-totalit´ e des espaces rigides ap- paraissant dans la nature). Ils correspondent aux espaces analytiques dont l’espace topologique sous-jacent est paracompact. Il serait n´ eanmoins maladroit de se restreindre aux seuls espaces analytiques paracompacts car un ouvert d’un tel espace peut ne pas ˆ etre lui mˆ eme paracompact.

Hypoth` ese : Dans toute la suite par espace rigide on entendra un espace rigide isomorphe ` a un espace X ^rig avec X un espace analytique du type pr´ ec´ edent.

Soit X un espace rigide. Lorsqu’on ´ ecrira x ∈ X cela signifiera que l’on consid` ere un point

classique

de X, ce qui du point de vue de Berkovich correspond aux x ∈ X ^an tels que [K(x) : K] < +∞.

Dans tout ce qui suit la terminologie

rigide analytique

sera r´ eserv´ ee aux espace rigides et

analytique

aux espaces analytiques au sens de Berkovich.

Rappelons que l’on a des notions de morphismes lisses et ´ etales d’espaces rigides ([8], chapitre 2). Il y a ´ egalement une notion de morphismes lisses et ´ etales d’espaces analytiques au sens de Berkovich ([4], chapitre 3). Il s’agit d’une notion plus forte : via la correspondance X 7→ X ^an les morphismes lisses, resp. ´ etales, d’espaces analytiques correspondent aux morphismes lisses, resp. ´ etales, d’espaces rigides X → Y

surconvergents

c’est ` a dire tels que ∂(X ^an /Y ^an ) =

∅. Les morphismes ´ etales d’espaces rigides correspondent aux morphismes quasi-´ etales d’espaces analytiques tels que d´ efinis dans le chapitre 3 de [5]. Pour les morphismes ´ etales finis les deux notions co¨ıncident. On remarquera ´ egalement que si f : X −→ Y est un morphisme d’espaces rigides sur K et x ∈ X ^an est tel que [K(x) : K] < +∞ alors x / ∈ ∂(X/Y ). En particulier si f : X −→ Y est un morphisme ´ etale d’espaces rigides alors f ^an : X ^an −→ Y ^an est ´ etale au voisinage de x.

Rappelons enfin ([4], th´ eor` eme 3.4.1) que si X est un espace analytique de Berkovich et x ∈ X alors la cat´ egorie des germes d’espaces analytiques ´ etales sur des voisinages de x dont la fibre en x est finie s’identifie via l’application fibre en x aux espaces analytiques ´ etales finis sur K(x) c’est ` a dire aux espaces de la forme `

i∈I M(L i ) avec I fini et L i |K(x) s´ eparable finie. Ainsi si f : X −→ Y est un morphisme ´ etale d’espaces analytiques et x ∈ X, f est un isomorphisme local au voisinage de x si et seulement si K(x) = K(f (x)). En particulier si f : X −→ Y est un morphisme ´ etale d’espaces rigides et x ∈ X , f ^an : X ^an −→ X ^an est un isomorphisme local au voisinage de x si et seulement si K(x) = K(f (x)).

1.2. G´ en´ eralit´ es. Par d´ efinition un groupe analytique rigide sur K est un groupe dans la cat´ egorie des espaces rigides sur K. On notera e la section unit´ e ou parfois 0 lorsque le groupe est commutatif.

On a de mˆ eme une notion de groupe analytique dans la cat´ egorie des espaces analytiques de Berkovich.

On remarquera que l’espace topologique |G| associ´ e au groupe analytique G ne forme pas un groupe, il y a seulement un diagramme

|G × G| ^m //

π

|G|

|G| × |G|

o` u l’application π est propre et surjective. On remarquera n´ eanmoins que les applications de translation par un point rationnel induisent une action de G(K) par hom´ eomorphismes sur |G|, G(K) −→ Aut(|G|). De plus l’inversion du groupe G induit une involution g 7→ g ⁻¹ de l’espace topologique |G|. Plus g´ en´ eralement si A et B sont deux sous-ensembles de |G| posons A • B = m(π ⁻¹ (A × B)). L’application (A, B) 7→ A • B satisfait les propri´ et´ es suivantes :

— (A • B) • C = A • (B • C)

— Si A et B sont compacts A • B est compact, en particulier ∀a, b ∈ G, {a} • {b} est compact

— Si a ∈ G(K) et b ∈ G, {a} • {b} = {a.b} o` u b 7→ a.b d´ esigne l’action par translations de a

sur |G| d´ ecrite pr´ ec´ edemment

— Utilisant le fait que π est propre on v´ erifie que si A est B sont compacts, si W est un voisinage de A • B il existe alors U et V des voisinages de A et B tels que U • V ⊂ W

— Du fait pr´ ec´ edent on d´ eduit en particulier que si V est un voisinage de e dans |G| il existe alors un voisinage U de e dans |G| tel que U • U ⊂ V .

— On a A ∩ B 6= ∅ ⇒ e ∈ A • B ⁻¹

De plus les morphismes d’espaces analytiques x 7→ x ⁿ de G dans lui-mˆ eme pour n ∈ N ^∗ induisent une action du mono¨ıde ( N ^∗ , ×) sur |G|. En particulier si G est commutatif et n ∈ N il y a une application continue not´ ee g 7→ ng de |G| dans lui mˆ eme.

Remarque 1. De la mˆ eme fa¸ con que tout sch´ ema en groupes sur un corps est s´ epar´ e, tout groupe analytique rigide est automatiquement s´ epar´ e puisque sa section unit´ e est une immersion ferm´ ee (comme l’est tout point K-rationnel d’un espace rigide sur K). De mˆ eme tout groupe analytique est s´ epar´ e.

Remarque 2. Contrairement au cas de l’action d’un groupe de Lie par translations sur lui mˆ eme, si G est un groupe analytique l’action de G(K) par translations sur |G| n’est pas libre. Par exemple, si G = ( B (0, 1), +), x ∈ G d´ esigne le point associ´ e ` a la norme de Gauss, ∀g ∈ G(K) = O _K , g.x = x. Plus g´ en´ eralement pour un G quelconque ∂(G/K) est un ferm´ e de |G| invariant sous l’action de G(K) par translations. Ce ferm´ e est un ensemble fini non vide si G est affino¨ıde.

Exemple 1. (1) Si G est un groupe alg´ ebrique sur K il d´ efinit un groupe analytique rigide G ^rig . (2) Si V est un K-espace vectoriel de dimension finie on note G ^rig a ⊗ V le groupe analytique rigide qui repr´ esente le foncteur X 7→ (Γ(X, O X ) ⊗ V, +). Apr` es choix d’une base de V il est isomorphe ` a une somme de copies de G ^rig a . Cela d´ efinit un foncteur pleinement fid` ele de la cat´ egorie des K-espaces vectoriels de dimension finie dans celle des groupes analytiques rigides commutatifs.

(3) Si ∈ |K ^× | ^1/∞ et d ≥ 1 est un entier, les boules ouvertes et ferm´ ees ˚ B ^d (0, ) et B ^d (0, ) sont des sous-groupes analytiques rigides ouverts de ( G ^rig a ) ^d .

(4) Si G est un groupe dans la cat´ egorie des sch´ emas formels quasi-s´ epar´ es localement formel- lement de type fini sur Spf(O K ) il d´ efinit un groupe analytique rigide G ^rig .

(5) Le groupe analytique rigide G ^rig m repr´ esente le foncteur X 7→ Γ(X, O X ) ^× . Pour ∈ |K ^× | ^1/∞

avec 0 < ≤ 1 les foncteurs

G : X 7−→ {f ∈ Γ(X, O X ) ^× | ∀x ∈ X, |1 − f (x)| ≤ } et

G ˚ : X 7−→ {f ∈ Γ(X, O _X ) ^× | ∀x ∈ X, |1 − f (x)| < }

sont repr´ esent´ es par des sous-groupes qui sont des ouverts admissibles de G ^rig m . On a G = B (1, ) et G ˚ = ˚ B (1, ). Pour = 1 on a G ₁ = G b ^rig m o` u G b m d´ esigne le compl´ et´ e p-adique de G m sur Spec(O <sub>K</sub> ). De plus G ˚ <sub>1</sub> = G b <sup>rig</sup> m o` u G b m d´ esigne cette fois ci le compl´ et´ e formel de G m

sur Spec(O _K ) le long de sa section unit´ e.

(6) L’exemple pr´ ec´ edent s’´ etend au cas d’un tore alg´ ebrique T sur K en regardant {f ∈ T (X) | ∀χ ∈ X ^∗ (T), ∀x ∈ X, |1 − χ(f (x))| ≤ } et de mˆ eme avec < ` a la place de ≤. Lorsque T est un tore non ramifi´ e sur K c’est ` a dire est la fibre g´ en´ erique d’un tore sur O _K et = 1 on a une description identique ` a la pr´ ec´ edente comme fibre g´ en´ erique de sch´ emas formels.

(7) Si G est un groupe formel formellement lisse de dimension d sur Spf(O _K ) la fibre g´ en´ erique G ^rig est un groupe analytique rigide. Apr` es choix d’un syst` eme de coordonn´ ees formelles sur G, G ^rig ' ˚ B ^d (0, 1) et cela d´ efinit donc une structure de groupe analytique rigide sur la boule ouvert de dimension d.

Etant donn´ ´ e que l’espace rigide G ^rig est r´ eduit il est d´ etermin´ e par le foncteur A 7→

G ^rig (A) d´ efinit sur les alg` ebres affino¨ıdes r´ eduites. ` A une alg` ebre affino¨ıde r´ eduite A est

associ´ e canoniquement sa boule unit´ e pour la norme sup A ⁰ = {a ∈ A | kak _∞ ≤ 1} qui est

un r´ eseau p-adiquement complet dans A et d´ efinit donc un sch´ ema formel p-adique Spf(A ⁰ ).

Alors

G ^rig : K − alg. affino¨ıdes r´ eduites −→ Groupes A 7−→ G(A ⁰ ).

Si ∈ |K ^× | ^1/∞ avec < 1, apr` es un choix de coordonn´ ees formelles sur G, la boule ouverte, resp. ferm´ ee, de rayon forme un sous-groupe analytique rigide G <sup>rig</sup> , resp. G ˚ <sup>rig</sup> , de G <sup>rig</sup> . Ces sous-groupes sont ind´ ependant du choix d’un syst` eme de coordonn´ ees formelles sur G.

Pour A affino¨ıde r´ eduite notons I = {a ∈ A | kak _∞ ≤ }, un id´ eal de A ⁰ . Alors G ^rig (A) = ker G(A ⁰ ) −→ G(A ⁰ /I )

et de mˆ eme pour G ˚ en rempla¸ cant ≤ par <. On a alors des recouvrements admissibles G ^rig = [

G ^rig = [

G ˚ ^rig .

(8) Soit Γ un groupe muni d’une action discr` ete de Gal(K|K), Gal(K|K) → Aut(Γ). Il d´ efinit un groupe analytique rigide ´ etale G tel que Γ = G(K). Cela d´ efinit une ´ equivalence de cat´ egories entre la cat´ egorie des groupes analytiques rigides ´ etales sur Sp(K) et les groupes munis d’une action discr` ete de Gal(K|K). Par exemple tout groupe p-divisible H sur K d´ efinit un groupe analytique rigide ´ etale. Le module galoisien associ´ e est T p (H ) ⊗ Q p / Z p . Les groupes p-divisibles sur K correspondent aux modules Galoisiens discrets dont le groupe sous-jacent est p-divisible de cotype fini.

(9) Pour ∈ |K ^× | ^1/∞ soit x ∈ G ^an a le point correspondant ` a la norme sup sur la boule ferm´ ee de rayon . Alors {x } • {x

} est ´ egal ` a {x _sup{,

_} } si 6= ⁰ et B (0, ) si = ⁰ .

Soit G un groupe analytique rigide. D´ efinissons le foncteur G b : K-alg` ebres affino¨ıdes −→ groupes

A 7−→ {s ∈ G(A) | ∃I id´ eal nilpotent de A, s _|A/I = e ∈ G(A/I)}.

On a G b ⊂ G, un sous faisceau en groupes sur le gros site rigide de Sp(K). Il s’agit du compl´ et´ e formel de G le long de sa section unit´ e. La cat´ egorie des K-alg` ebres artiniennes locales de corps r´ esiduel K se plonge dans la cat´ egorie des K-alg` ebres affino¨ıdes. On consid` ere maintenant G b comme foncteur sur de telles alg` ebres artiniennes. Si I ⊂ O G d´ esigne l’id´ eal coh´ erent d´ efinissant la section unit´ e de G alors pour tout k ≥ 0 le faisceau d’alg` ebres O G /I ^k+1 provient par image r´ eciproque de Sp(K) d’un K-espace vectoriel de dimension finie,

Γ(G, O G /I ^k+1 ), module que l’on notera de fa¸ con abusive O G /I ^k+1 . Alors

G b ' Spf lim ←−

k≥0

O G /I ^k+1

qui est donc un groupe formel au sens de [14]. Puisque K est de caract´ eristique 0 d’apr` es le corollaire 3.3.1 de [14], G b est formellement lisse ; le choix d’un rel` evement d’une base de I/I ² dans la restriction de I ` a un ouvert affino¨ıde contenant la section unit´ e induit un isomorphisme

K[[X 1 , . . . , X d ]] −−→ ^∼ lim

←−

k≥0

O G /I ^k+1 o` u d = dim I/I ² . On note

ω _G = I/I ² Lie G = ω _G ^∗ .

Proposition 1. Tout groupe analytique rigide sur K est lisse. Il existe de plus un ouvert affino¨ıde

U contenant la section unit´ e et ∈ |K ^× | ^1/∞ tels que U ' B ^d (0, ) o` u d = dim ω G , la section unit´ e

s’envoyant sur l’origine de la boule.

D´ emonstration. Soit e la section unit´ e de G. L’anneau local noeth´ erien O G,e est tel que O b G,e ' lim ←−

k≥0

O G /I ^k+1 ' K[[X 1 , . . . , X d ]]. L’anneau O G,e est donc r´ egulier. D’apr` es le lemme 2.8 de [8] on en d´ eduit que G est lisse au voisinage de e. Puisque le corps r´ esiduel en e co¨ıncide avec le corps de base l’assertion concernant l’existence d’un U tel que dans l’´ enonc´ e en r´ esulte. Maintenant si x ∈ G soit K(x) le corps r´ esiduel de x. C’est une extension de degr´ e fini de K. Puisque le morphisme Sp(K(x)) → Sp(K) est ´ etale, pour montrer que G est lisse au voisinage de x il suffit de montrer que G ⊗ _K K(x) est lisse sur K(x) au voisinage d’un point s’envoyant sur x via G ⊗ K(x) → G.

Mais il existe un tel point K(x)-rationnel. Par translation on est donc ramen´ e au cas de la section

unit´ e.

Du point de vue des espaces analytiques de Berkovich, la proposition pr´ ec´ edente implique qu’il existe un voisinage ouvert de l’´ el´ ement neutre de G ^an isomorphe ` a une boule ouverte de dimension d et rayon avec ∈ |K ^× | ^1/∞ (un K-point d’un K-espace analytique de Berkovich est contenu dans l’int´ erieur de tout domaine analytique le contenant, en particulier avec les notations de l’´ enonc´ e e est dans l’int´ erieur de U ^an ).

Corollaire 1. Un groupe analytique G sur K est lisse si et seulement si ∂(G/K) = ∅.

Corollaire 2. Il y a des ´ equivalences entre les cat´ egories suivantes :

— Les groupes analytiques rigides ´ etales sur K.

— Les groupes analytiques rigides sur K de dimension 0.

— Les groupes analytiques ´ etales sur K.

— Les groupes analytiques sur K de dimension 0.

— Les groupes

abstraits

munis d’une action discr` ete de Gal(K|K) par automorphismes de groupes.

Si q : G −→ Sp(K) d´ esigne le morphisme structural il y a une ´ equivalence de cat´ egories Faisceaux coh´ erents G-´ equivariants sur G −−→ ^∼ K − e.v. de dimension finie

F 7−→ e ^∗ F q ^∗ G ←− G

o` u par faisceau G-´ equivariant on entend une action compatible avec l’action de G par translations

`

a gauche sur lui mˆ eme. Via cette ´ equivalence on obtient Ω ¹ _G ' q ^∗ ω G .

Consid´ erons l’espace des formes diff´ erentielles invariantes par translation ` a gauche, resp. ` a droite, sur G. Il s’agit des α ∈ Γ(G, Ω ¹ _G ) telles que pour tout K-espace rigide S et toute section s : S −→ G _S du S-espace rigide G _S −→ S si h : G _S −→ G est la projection et t _s : G _S −−→ ^∼ G _S la translation ` a gauche, resp. ` a droite, par la section s on ait t ^∗ _S (h ^∗ α) = h ^∗ α ∈ Γ(G _S , Ω ¹ _G

S

/S ). Soit m : G × G −→ G la multiplication. On a Ω ¹ _G×G/K = pr ^∗ ₁ Ω ¹ _G/K ⊕ pr ^∗ ₂ Ω ¹ _G/K . Alors le K-espace vectoriel des formes invariantes ` a gauche s’identifie ` a

{α ∈ Γ(G, Ω ¹ _G/K ) | m ^∗ α ≡ pr ^∗ ₁ α mod pr ^∗ ₂ Ω ¹ _G/K }

resp. m ^∗ α ≡ pr ^∗ ₂ α mod pr ^∗ ₁ Ω ¹ _G/K pour les formes invariantes ` a droite. Lorsque G est commutatif c’est encore

{α ∈ Γ(G, Ω ¹ _G/K ) | m ^∗ α = pr ^∗ ₁ α + pr ^∗ ₂ α}.

L’application fibre en l’origine induit un isomorphisme

{formes invariantes ` a gauche } −−→ ^∼ ω G

et de mˆ eme pour les formes invariantes ` a droite. L’action par translation ` a droite sur les formes invariantes ` a gauche induit un morphisme de groupes rigides

G −→ GL(ω G ) ^rig

qui est la transpos´ ee de l’action adjointe sur l’alg` ebre de Lie. Cela signifie que si S est un espace rigide le morphisme associ´ e ρ : G(S) −→ Aut _Γ(S,O

₎ (Γ(S, O S ) ⊗ K ω _G ) est d´ efini de la fa¸ con suivante : pour x ∈ G(S) soit int _x : G _S −−→ ^∼ G _S l’automorphisme du S-espace rigide en groupes G _S qui est la conjugaison par la section d´ efinie par x, alors ρ(x) = int ^∗ _x : ω _G

_/S −−→ ^∼ ω _G

_/S avec ω _G

_/S = O _S ⊗ ω _G .

Puisque tout morphisme d’une vari´ et´ e rigide propre vers l’espace rigide X ^rig associ´ e ` a une vari´ et´ e alg´ ebrique X se factorise via un sous-espace de X ^rig fini sur K on d´ eduit la proposition qui suit.

Proposition 2. Tout groupe analytique rigide connexe et propre sur K est commutatif.

La correspondance G 7→ Lie G d´ efinit un foncteur de la cat´ egorie des groupes analytiques rigides sur K vers les K-alg` ebres de Lie de dimension finie.

Lemme 1. Soit f : G 1 −→ G 2 un morphisme de groupes analytiques rigides. Soit Lie (f ) : Lie G 1 −→ Lie G 2 . Alors,

— f est lisse si et seulement si Lie (f ) est surjective.

— f est ´ etale si et seulement si Lie(f ) est bijective.

— f est non-ramifi´ e si et seulement si Lie(f ) est injective.

D´ emonstration. D’apr` es la proposition 2.6 de [8] cela r´ esulte de ce que G 1 et G 2 sont lisses et des formules pour i ∈ {1, 2}, si q i : G i −→ Sp(K), Ω _G

_/K = q ^∗ _i ω G

et ω G

= e ^∗ Ω _G

_/K . 1.3. Structure des morphismes ´ etales.

1.3.1. Structure. Puisque le corps r´ esiduel en l’´ el´ ement neutre d’un groupe analytique est K on a le lemme qui suit.

Lemme 2. Un morphisme f : G ₁ −→ G ₂ de groupes analytiques rigides est ´ etale si et seulement si f ^an : G ^an ₁ −→ G ^an ₂ est un isomorphisme au voisinage de l’´ el´ ement neutre.

Le lemme qui suit dit que pour ´ etudier les morphismes ´ etales de groupes analytiques on peut se ramener au cas surjectif.

Lemme 3. Soit f : G ₁ −→ G ₂ un morphisme ´ etale de groupes analytiques. Alors f (G ₁ ) est un sous-groupe ouvert de G 2 .

D´ emonstration. Puisque f est ´ etale f (G 1 ) est un ouvert U de G 2 ([4], proposition 3.2.7). Il suffit de voir que le morphisme induit par la multiplication de G 2 , U × U −→ G 2 , est ` a valeurs dans U . Mais cela r´ esulte de la surjectivit´ e de l’application |G 1 × G 1 | −→ |U × U |.

Si f : G 1 −→ G 2 est un morphisme ´ etale de groupes analytiques rigides alors ker f est un sous-groupe ´ etale Zariski ferm´ e dans G 1 . On a la caract´ erisation suivante de tels groupes.

Lemme 4. Soit G un groupe analytique sur K. On note G(K) = [

L|Kfinie L⊂K

G(L). Les ensembles

suivants sont en bijection :

(1) Les sous-groupes Zariski ferm´ es de G de dimension 0.

(2) Les sous-groupes Zariski ferm´ es de G ^rig de dimension 0.

(3) Les sous-groupes Gal(K|K)-stables Γ de G(K) discrets dans le K-espace analytique na¨ıf b G( K) b tels que Γ soit ferm´ e dans |G ⊗ ˆ K| b

(4) Les sous-groupes Gal(K|K)-stables Γ de G(K) tels que pour tout domaine affino¨ıde V de G, V ( K) b ∩ Γ soit fini.

Exemple 2. Soit G un groupe analytique rigide commutatif et n ≥ 1 un entier. Puisque la

multiplication par n sur l’alg` ebre de Lie de G est un isomorphisme, ×n : G −→ G est ´ etale. Le

sous-groupe ferm´ e G[n] des points de n-torsion de G est donc un sous-groupe ´ etale Zariski ferm´ e

de G.

Remarque 3. Si H est un groupe topologique s´ epar´ e et Γ un sous-groupe discret il est alors automatiquement ferm´ e. Dans le cadre des espaces analytiques cela n’est pas ` a priori vrai en g´ en´ eral ; pour un groupe analytique G sur K et un sous-groupe discret Γ ⊂ G(K), Γ est ferm´ e dans le groupe topologique G(K) mais pas forc´ ement dans l’espace topologique |G| (c’est tout de mˆ eme vrai si K est localement compact).

Lemme 5. Soit f : G ₁ −→ G ₂ un morphisme ´ etale surjectif de groupes analytiques. Sont

´

equivalents : (1) f est fini

(2) ker f est fini sur K i.e. le noyau du morphisme de groupes abstraits G 1 (K) −→ G 2 (K) est fini

D´ emonstration. On a clairement (1) ⇒ (2). Supposons (2) v´ erifi´ ee. Quitte ` a faire un changement de base et remplacer K par une extension de degr´ e fini on peut supposer que ker f est un

groupe abstrait

, un sous-groupe fini de G(K). Soit W un sous-ensemble compact de |G 2 |. Puisque f est une application ouverte surjective il existe un compact V de |G 1 | tel que W ⊂ f (V ). Alors f ⁻¹ (W ) ⊂ S

γ∈ker f γ.V qui est donc compact. L’application |f | : |G 1 | −→ |G 2 | est donc propre.

Puisque f est ´ etale ∂(G 1 /G 2 ) = ∅ et donc f est un morphisme propre d’espaces analytiques. ´ Etant

de plus quasi-fini on en d´ eduit qu’il est fini.

Lemme 6. Soit G un groupe analytique et Γ ⊂ G(K) un sous-groupe discret ferm´ e dans |G|.

Alors l’action de Γ sur |G| est proprement discontinue. En particulier le stabilisateur d’un ´ el´ ement de |G| est un sous-groupe fini de Γ.

D´ emonstration. Si V est un domaine analytique compact dans G et γ ∈ Γ on a γ.V ∩ V 6= ∅ ⇒

γ ∈ V ⁻¹ • V . Or V ⁻¹ • V est compact dans |G|.

Exemple 3. Si X est un espace analytique et Γ est un groupe agissant de fa¸ con proprement dis- continue et sans points fixes sur |X | on peut former l’espace analytique quotient Γ\X, l’application de projection X −→ Γ\X ´ etant un isomorphisme local.

Soit maintenant G un groupe analytique commutatif et Γ ⊂ G(K) un sous-groupe discret sans torsion ferm´ e dans |G|. Alors l’action de Γ sur |G| est proprement discontinue sans point fixe et on peut alors former l’espace analytique quotient G/Γ qui est un groupe analytique commutatif. Le morphisme G −→ G/Γ est un morphisme de groupes qui est un isomorphisme local au voisinage de tout point de G de noyau le groupe analytique ´ etale associ´ e ` a Γ. Si ∂(G/K) = ∅ et |G|/Γ est compact alors G/Γ est un espace analytique propre sur K.

Rappelons ([10]) qu’un morphisme f : X −→ Y d’espaces analytiques est un revˆ etement ´ etale si tout point de Y poss` ede un voisinage ouvert U tel que l’on ait f <sup>−1</sup> (U ) = `

i∈I V _i avec pour tout i, V i −→ U ´ etale fini. Cette cat´ egorie de revˆ etements contient ` a la fois les morphismes ´ etales finis ainsi que les revˆ etements de l’espace topologique sous-jacent ` a l’espace analytique.

Lemme 7. Un morphisme d’espaces analytiques f : X −→ Y est un revˆ etement ´ etale si et seulement si le morphisme X ⊗C ˆ −→ Y ⊗C ˆ en est un.

D´ emonstration. La projection |Y ⊗C| −→ |Y ˆ | est une application surjective ouverte. On en d´ eduit que si le morphisme X ⊗C ˆ −→ Y ⊗C ˆ est un revˆ etement ´ etale tout point de Y poss` ede un voisinage U tel que f <sup>−1</sup> (U ) ˆ ⊗C = `

i∈I V i avec pour tout i, V i −→ U ⊗C ˆ ´ etale fini. Soit W une composante connexe de f ⁻¹ (U ). On a donc W ⊗C ˆ = `

j∈J T _j avec T _j −→ W ⊗C ˆ ´ etale fini. Mais π 0 (W ⊗C) est fini et toute composante connexe de ˆ W ⊗C ˆ est d´ efinie sur une extension de degr´ e

fini de K. On en d´ eduit que W est finie sur U.

Proposition 3. Soit f : G 1 −→ G 2 un morphisme ´ etale surjectif de groupes analytiques. Alors f est un revˆ etement ´ etale. Supposons de plus K alg´ ebriquement clos et soit Γ = ker f . Pour tout x ∈ G 1 soit Γ x le stabilisateur de x dans Γ. Alors K(x)|K(f (x)) est une extension galoisienne finie, Γ x

−−→ ∼ Gal (K(x)|K(f (x))) et il existe un voisinage ouvert V de x tel que f ⁻¹ (f (V )) = a

¯ γ∈Γ/Γ

γ.V

avec f _|γ.V : γ.V −→ f (V ) ´ etale fini galoisien de groupe Γ _x .

D´ emonstration. D’apr` es le lemme 7 on peut supposer que K est alg´ ebriquement clos. Soit Γ ⊂ G 1 (K) le noyau de f . Soit x ∈ G 2 . Choisissons y ∈ G 1 tel que f (y) = x. Puisque f est ´ etale il existe des voisinages U de x et V de y tels que f <sub>|V</sub> : V −→ U soit ´ etale fini surjectif. Quitte ` a r´ etr´ ecir V et U on peut de plus supposer que V est relativement compact dans |G 1 |. Alors d’apr` es le lemme 6 {γ ∈ Γ | γ.V ∩ V } est fini. Quitte ` a r´ etr´ ecir V et U on peut donc supposer que pour γ ∈ Γ, γ.V ∩ V 6= ∅ ⇒ γ.y = y. Notons Γ _y le stabilisateur de y. Alors

f ⁻¹ (U ) = a

¯ γ∈Γ/Γ

γ.V

avec γ.V −→ V ´ etale fini. De plus la fibre en x de f _|V , V x −→ M(K(x)) est un espace analytique

´

etale fini tel que V x × _M(K(x)) V x ' `

Γ

V x (par d´ efinition du noyau de f , G 1 × G

G 1 ' G 1 × ker f , tirant cette ´ egalit´ e en arri` ere via M(K(x)) −→ G ₁ on obtient le r´ esultat). On en d´ eduit le

r´ esultat.

Exemple 4. Supposons K alg´ ebriquement clos. Soit log : G b ^an m −→ G ^an a le logarithme o` u G b ^an m = {x ∈ ( A ¹ ) ^an | |1−x| < 1}. C’est un morphisme ´ etale et ker log = µ _p

(K). En restriction ` a la boule ouvert ˚ B (1, p ⁻

) c’est un isomorphisme sur son image. Maintenant si ∈ [p ⁻

, 1[∩|K ^× | ^1/∞

soit le sous-groupe affino¨ıde B (1, ) ⊂ G ^an m . Soit r = sup{r ≥ 1 | p ⁻

1

pr−1 (p−1)

≤ }.

Alors le morphisme

log _{| B (1,)} : B (1, ) −→ log( B (1, )) = B (0, ψ())

est un morphisme ´ etale fini galoisien de groupe µ p

o` u la fonction 7→ ψ() se calcule explicite- ment. De plus

log ⁻¹ (log( B (1, ))) = a

ζ∈µ ¯

(K)/µ

(K)

B (ζ, r ).

Si ∈]0, 1[∩|K ^× | ^1/∞ et x ∈ G b ^an m est le point correspondant ` a la norme de Gauss associ´ ee ` a la boule B (1, ) alors si < p ⁻

, K(x ) = K(log x ) et pour p ⁻

≤ < p ⁻

avec r ≥ 1

µ p

(K) −−→ ^∼ Gal(K(x )|K(log x ))

Par contraste, log est un isomorphisme local au voisinage de tout point classique i.e. tout ´ el´ ement de G b ^an m (K).

Remarque 4. Contrairement au cas des groupes de Lie, si G est un groupe analytique en g´ en´ eral π ₁ (G, e) n’est pas commutatif (ici on consid` ere la groupe fondamental ´ etendu au sens de De Jong ([10])). Par exemple la tour de Lubin-Tate fournit un quotient du groupe fondamental de (˚ B <sup>1</sup> (0, 1), +) isomorphe ` a GL 2 ( Z p ). De mˆ eme, contrairement au cas des groupes de Lie, si G est un groupe analytique, E −→ G est un revˆ etement ´ etale et que l’on a un rel` evement ` a E de la section unit´ e de G, il n’existe pas en g´ en´ eral de structure de groupe analytique sur E ayant pour section neutre la section choisie et telle que E −→ G soit un morphisme de groupes.

1.3.2. Construction de morphismes ´ etales. On a vu dans l’exemple 3 comment construire des cas particuliers de morphismes ´ etales de groupes analytiques commutatifs. N´ eanmoins en g´ en´ eral les morphismes ´ etales sont plus g´ en´ eraux que ceux donn´ es dans l’exemple 3.

Rappelons qu’un bon espace analytique est un espace analytique pour lequel tout point poss` ede un voisinage affino¨ıde.

Th´ eor` eme 1.1. Soit X un bon espace analytique. Soit Γ un groupe agissant sur X tel que l’action induite de Γ sur |X| soit proprement discontinue. Supposons que pour tout x ∈ X le morphisme de groupes Stab Γ (x) −→ Aut(K(x)) soit injectif. Alors le faisceaux ´ etale Γ\X est repr´ esentable par un bon espace analytique. Le morphisme X −→ Γ\X est un revˆ etement ´ etale au sens de De Jong [10] et induit un hom´ eomorphisme Γ\|X| −−→ |Γ\X ^∼ |.

Commen¸ cons par d´ emontrer un cas particulier du th´ eor` eme pr´ ec´ edent.

Proposition 4. Soit A une K-alg` ebre affino¨ıde et Γ un groupe fini d’automorphismes de A qui in- duit une action de Γ sur M(A). Supposons que ∀x ∈ M(A) le morphisme Stab _Γ (x) −→ Aut(K(x)) soit injectif. Alors le faisceau ´ etale Γ\M(A) est repr´ esent´ e par M(A ^Γ ), le morphisme M(A) −→

Γ\M(A) est ´ etale fini galoisien de groupe Γ et Γ\|M(A)| −−→ |Γ\M(A)|. ^∼

D´ emonstration. D’apr` es la proposition 6.3.3/3 de [6] A <sup>Γ</sup> est bien une alg` ebre affino¨ıde (ce qui

´

etait sous-entendu dans l’´ enonc´ e).

Soit p ∈ Spec(A) et Γ p le stabilisateur de p. Montrons que l’application Γ p −→ Aut(k(p)) est injective. Pour cela consid´ erons l’application surjective

support d’une valuation

supp : M(A) −→ Spec(A).

Choisissons x ∈ M(A) tel que supp(x) = p. Soit γ ∈ Γ _p \ {e}. Si γ(x) 6= x il est alors clair que γ agit non trivialement sur A/p et donc sur k(p) = Frac(A/p). Si γ.x = x, la valuation x d´ efinit une valuation sur k(p) et pour cette valuation K(x) = k(p). Puisque d γ agit continˆ ument sur k(p) pour la topologie d´ efinie par x et que γ agit non trivialement sur son compl´ et´ e, γ agit non trivialement sur k(p).

D’apr` es le corollaire 2.3 du chapitre V de [1] le morphisme Spec(A) −→ Spec(A ^Γ ) est un revˆ etement ´ etale galoisien de groupe Γ. Donc, A ⊗ ˆ _A

A = A ⊗ _A

A ' Q

Γ A et le morphisme M(A) −→ M(A ^Γ ) est ´ etale fini galoisien de groupe Γ.

L’application surjective π : |M(A)| −→ |M(A ^Γ )| est clairement invariante sous Γ et induit donc une application continue surjective Γ\|M(A)| −→ |M(A ^Γ )|. Par compacit´ e de Γ\|M(A)|

pour montrer que c’est un hom´ eomorphisme il suffit de montrer qu’elle est injective. Cela se d´ eduit de la surjectivit´ e de l’application compos´ ee

a

Γ

|M(A)| ' |M(A) × _M(A

) M(A)| −→ |M(A)| × _|M(A

)| |M(A)|.

D´ emonstration du th´ eor` eme 1.1. Soit x ∈ X On note Γ <sub>x</sub> le stabilisateur de x dans Γ, un groupe fini. Puisque l’action de Γ sur |X | est proprement discontinue et que x poss` ede un voisinage affino¨ıde il existe un voisinage affino¨ıde V x de x, tel que γ.V x ∩ V x 6= ∅ ⇒ γ ∈ Γ x . D’apr` es la proposition 4 on peut former le quotient V x −→ Γ x \V x . Si ˚ V x d´ esigne l’int´ erieur de V x dans X on s’int´ eressera plutˆ ot au quotient

π x : ˚ V x −→ Γ x \ V ˚ x .

On applique maintenant le a) de la proposition 1.3.3 de [4] afin de recoller les Γ x \ ˚ V x lorsque x parcourt X. Il suffit pour cela de d´ efinir pour tous x, y ∈ X un isomorphisme canonique

π _x (˚ V _x ∩ ˚ V _y ) −−→ ^∼ π _y (˚ V _x ∩ ˚ V _y )

Mais comme faisceau ´ etale ces deux espaces s’identifient canoniquement ` a Γ x ∩ Γ y \ ˚ V x ∩ V ˚ y .

Corollaire 3. Soit G un groupe analytique commutatif dont l’espace analytique sous-jacent est bon et Γ ⊂ G(K) un sous-groupe discret ferm´ e dans |G|. On peut alors former le groupe analytique quotient G/Γ et le morphisme surjectif G −→ G/Γ est un revˆ etement ´ etale.

Remarque 5. Le lecteur n’aura aucune difficult´ e ` a ´ etendre le th´ eor` eme 1.1 au cas d’un groupe

´

etale Γ sur M(K) agissant sur un bon espace analytique X tel l’action de Γ(K) sur |X ⊗C| ˆ satisfasse aux hypoth` eses du th´ eor` eme 1.1. Le corollaire 3 s’´ etend de mˆ eme.

Remarque 6. L’auteur ne sait pas ´ etendre le th´ eor` eme 1.1 lorsque l’espace analytique n’est plus bon (ce qui est une hypoth` ese assez restrictive). N´ eanmoins un tel r´ esultat peut ˆ etre ´ etendu aux cas des espaces adiques localement de type fini quasi-s´ epar´ es sur Spa(K).

1.4. Le groupe des composantes connexes d’un groupe analytique.

1.4.1. Sur les composantes connexes des espaces analytiques. Rappelons que si X est un espace analytique l’espace topologique |X | est localement connexe par arcs et donc les composantes connexes de X sont ouvertes. On en d´ eduit que X est union disjointe de ses composantes connexes.

Si X = M(A) est affino¨ıde alors π ₀ (X) = π ₀ (Spec(A)).

Lemme 8. Soit X un espace analytique et C un ensemble de domaines affino¨ıdes de X tel que tout point de X poss` ede un voisinage form´ e d’une union finie d’´ el´ ements de C. Alors

coker a

V,V

∈C

π ₀ (V ∩ V ⁰ ) // // a

V ∈C

π ₀ (V ) ∼

−−→ π ₀ (X ).

Proposition 5. Supposons K alg´ ebriquement clos. Soient X et Y deux espaces analytiques sur K. Alors l’application

π ₀ (X × Y ) −→ π ₀ (X ) × π ₀ (Y ) est une bijection.

D´ emonstration. On peut supposer que X et Y sont r´ eduits, ce qui est alors le cas de X × Y . On utilise les notations et les rappels de la section 1.7. Si A est une K-alg` ebre affino¨ıde r´ eduite on a des identifications

π 0 (M(A)) = π 0 (Spec(A ⁰ )) = π 0 (Spec( A)). e De plus si A et B sont r´ eduites

A ⊗B ˆ e

= A e ⊗ B. e Donc, puisque le corps r´ esiduel de K est alg´ ebriquement clos

π ₀ (M(A) × M(B)) = π ₀ (M(A ⊗B)) = ˆ π ₀ (Spec( A ⊗B ˆ e )) = π ₀ (Spec( A) e × Spec( B)) e

= π ₀ (Spec( A)) e × π ₀ (Spec(e B)) = π ₀ (M(A)) × π ₀ (M(B)).

D’o` u le r´ esultat si X et Y sont affino¨ıdes. Maintenant si X et Y sont quelconques soit C, resp. D, l’ensemble des domaines affino¨ıdes dans X , resp. Y . D’apr` es le lemme 8

π 0 (X × Y ) = coker a

V,V0 ∈C W,W0 ∈D

π 0 ((V × W ) × (V ⁰ × W ⁰ )

| {z }

V ∩V

×W ∩W

) // // a

V∈C W∈D

π 0 (V × W ) .

Si X et Y sont s´ epar´ es alors ∀V, V ⁰ ∈ C, V ∩ V ⁰ ∈ C et ∀W, W ⁰ ∈ D, W ∩ W ⁰ ∈ D. Dans ce cas l` a on a donc d’apr` es le cas affino¨ıde et une application du lemme 8 ` a X et Y

π 0 (X × Y ) = coker a

V,V0 ∈C W,W0 ∈D

π 0 (V ∩ V ⁰ ) × π 0 (W ∩ W ⁰ ) // // a

V∈C W∈D

π 0 (V ) × π 0 (W )

−−→ ∼ π 0 (X ) × π 0 (Y ).

Maintenant pour V, V ⁰ ∈ C et W, W ⁰ ∈ D, V ∩ V ⁰ et W ∩ W ⁰ sont s´ epar´ es. On peut donc appliquer le cas pr´ ec´ edent pour obtenir π ₀ (V ∩ V ⁰ × W ∩W ⁰ ) −−→ ^∼ π ₀ (V ∩ V ⁰ )× π ₀ (W ∩W ⁰ ). Par une nouvelle application du calcul pr´ ec´ edent on obtient le r´ esultat pour X et Y g´ en´ eraux.

Proposition 6. Soit X un K-espace analytique.

(1) Sont ´ equivalents :

— X ⊗C ˆ est connexe

— Pour toute extension de degr´ e fini L|K, X ⊗ L est connexe

Si X est connexe et poss` ede un point K-rationnel alors les conditions ´ equivalentes pr´ ec´ edentes sont v´ erifi´ ees.

(2) Toute composante connexe de X ⊗C ˆ est d´ efinie sur une extension de degr´ e fini de K. L’action de Gal(K|K) sur π 0 (X ⊗C) ˆ est discr` ete. Il y a une bijection

Gal(K|K)\π 0 (X ⊗C) ˆ −−→ ^∼ π 0 (X).

En particulier si X est connexe, π 0 (X ⊗C) ˆ est fini.

D´ emonstration. Pour toutes les assertions on se ram` ene facilement au cas o` u X est connexe, ce que l’on suppose donc. La projection |X ⊗C| −→ |X| ˆ induit un hom´ eomorphisme

Gal(K|K)\|X ⊗C| ˆ −−→ |X ^∼ |.

En particulier, la projection π : |X ⊗C| −→ |X ˆ | est une application continue ouverte et propre.

Cela implique que l’image par π d’un ferm´ e est un ferm´ e (toute application continue et propre entre espaces topologiques dont le but est localement compact envoie un ferm´ e sur un ferm´ e). On en d´ eduit que si U est une composante connexe de X ⊗C ˆ alors π(U) = X . Soit donc U une telle composante connexe et x ∈ U (C) tel que [K(π(x)) : K] < +∞. Alors ∀σ ∈ Gal(K|K(π(x))), σ.x = x et donc puisque σ.U est une composante connexe de X ⊗C ˆ telle que U ∩ σ.U 6= ∅ on a U = σ.U.

L’action de Gal(K|K) sur π 0 (X ⊗C) est donc discr` ˆ ete. De plus si V est une autre composante connexe, puisque π <sup>−1</sup> {π(x)} 6= ∅, ∃y ∈ V, ∃σ ∈ Gal(K|K), σ.y = x et donc σ.V = U . De cela on d´ eduit que Gal(K|K)\π <sub>0</sub> (X ⊗C) ˆ −−→ <sup>∼</sup> π <sub>0</sub> (X). Du raisonnement pr´ ec´ edent on d´ eduit ´ egalement que si X poss` ede un point K-rationnel alors X ⊗C ˆ est connexe.

Toutes les autres assertions s’en d´ eduisent facilement car apr` es une extension de degr´ e fini X

poss` ede un point rationnel.

D´ efinition 1. Soit X un K-espace analytique. On note π ₀ (X ) le -K-espace analytique ´ etale tel que π ₀ (X)(C) = π ₀ (X ⊗C) ˆ comme Gal(K|K)-module discret.

Des r´ esultats pr´ ec´ edents on d´ eduit :

Proposition 7. Il existe un morphisme X −→ π ₀ (X) surjectif qui est universel parmi les mor- phisme de X vers des K-espace analytiques ´ etales. Il induit de plus une bijection Gal(K|K)-

´

equivariante π 0 (X ⊗C) ˆ −−→ ^∼ π ₀ (X )(C).

Pour deux K-espaces analytiques X et Y il y a un isomorphisme naturel π ₀ (X × Y ) −−→ ^∼ π 0 (X) × π ₀ (Y ).

Une autre fa¸ con de d´ ecrire π ₀ (X) est de dire qu’il repr´ esente le faisceau ´ etale f _∗ F o` u F est l’objet final du topos X e ´ et (le faisceau constant sur l’ensemble ` a un ´ el´ ement) et f : X −→ M(K).

1.4.2. Composantes connexes des groupes analytiques. Soit G un groupe analytique sur K. On note G ⁰ la composante connexe de la section unit´ e e.

Lemme 9. G ⁰ est un sous-groupe analytique ouvert distingu´ e de G.

D´ emonstration. Puisque G ⁰ est connexe et poss` ede un point rationnel, d’apr` es les r´ esultats de la section pr´ ec´ edente G ⁰ ×G ⁰ est connexe. Donc, la loi de groupe de G restreint ` a G <sup>0</sup> , G <sup>0</sup> ×G <sup>0</sup> −→ G, se factorise par G <sup>0</sup> . Soit ϕ : G× G <sup>0</sup> −→ G le morphisme (x, y) 7→ xyx <sup>−1</sup> . Si X est une composante connexe de G alors X × G <sup>0</sup> est connexe (une fois de plus car G <sup>0</sup> poss` ede un point rationnel) et est donc une composante connexe de G × G ⁰ . Mais e ∈ π(X × G ⁰ ) et donc π(X × G ⁰ ) ⊂ G ⁰ . Donc

G ⁰ C G.

Puisque pour deux espaces analytiques X et Y , π ₀ (X × Y ) −−→ ^∼ π ₀ (X ) × π ₀ (Y ), le foncteur π ₀ transforme des groupes analytiques sur K en des groupes analytiques ´ etales sur K. On obtient donc un groupe analytique ´ etale π ₀ (G). On d´ emontre alors ais´ ement la proposition qui suit.

Proposition 8. Il y a une suite exacte de faisceaux sur le grand site ´ etale de M(K) 1 −→ G ⁰ −→ G −→ π ₀ (G) −→ 1

qui fait des composantes connexes de G des G ⁰ -torseurs triviaux au dessus des composantes connexes de π ₀ (G) triviaux apr` es une extension de degr´ e fini.

1.5. Analyticit´ e du logarithme sur un voisinage de l’´ el´ ement neutre. Hypoth` ese : d´ esormais tous nos groupes analytiques rigides seront commutatifs

Le choix d’une base de ω G induit un isomorphisme entre le groupe formel G b et G b ^d a . De fa¸ con

plus intrins` eque G b −−→ ^∼ G b a ⊗ Lie G. Fixons une base de ω G et soit (ω 1 , . . . , ω d ) ∈ Γ(G, Ω ¹ _G )

la base correspondante des formes diff´ erentielles invariantes par translation. Elles induisent une

base (ˆ ω 1 , . . . , ω ˆ d ) ∈ Ω b ¹

G b

d

des formes invariantes par translations sur le groupe formel G. On a b ω G = I /I ² et dans un ouvert affino¨ıde U tel que dans la proposition 1 on peut relever cette base d’´ el´ ements de ω G en des section de I telle mani` ere que ces relev´ es induisent un isomorphisme

U −−→ ^∼ B ^d (0, )

pour un ∈ |K ^× | ^1/∞ . Par transport on obtient donc des formes ω 1 , . . . , ω d ∈ Γ( B ^d (0, ), Ω ¹

B

(0,) ) telles que

ω i = X

j

f ij dX j

avec f _ij ∈ Γ( B ^d (0, ), O _B

(0,) ), f _ij (0, . . . , 0) = 0 et f _ij ≡ 0 [deg ≥ 2] si i 6= j et f _ii ≡ X _i [deg ≥ 2].

Il existe un unique isomorphisme de groupes formels h : G b −−→ ^∼ G b ^d a

tel que (h ^∗ dT 1 , . . . , h ^∗ dT d ) = (ˆ ω 1 , . . . , ω ˆ d ). Dans les coordonn´ ees donn´ ees par l’isomorphisme U −−→ ^∼ B ^d (0, ) cet isomorphisme est donn´ e par un isomorphisme

K[[T ₁ , . . . , T _d ]] −−→ ^∼ K[[X ₁ , . . . , X _d ]]

T i 7−→ h i

tel que

∂h i

∂X j

= f ij .

En d’autres termes le logarithme du groupe formel est donn´ e par int´ egration des formes diff´ erentielles invariantes. De cela on d´ eduit ais´ ement que ∀ ⁰ < tel que ⁰ ∈ |K ^× | ^1/∞ et tout i

h _i ∈ Γ( B ^d (0, ⁰ ), O _B

(0,

) )

et que donc quitte ` a prendre plus petit le logarithme h s’´ etend en un isomorphisme U −−→ ^∼ B ^d (0, ).

Proposition 9. Il existe ∈ |K ^× | ^1/∞ , un sous-groupe affino¨ıde U de G et un isomorphisme log : U −−→ ^∼ ( B (0, ) ^d , +)

associ´ e au choix d’une base de Lie G qui induit le logarithme du groupe formel G b apr` es compl´ etion formelle de U le long de sa section unit´ e et de B (0, ) ^d le long de l’origine.

D´ emonstration. On a d´ ej` a vu l’existence de log : U −−→ ^∼ B (0, ) ^d pour un suffisamment petit.

Reste ` a voir que quitte ` a prendre ⁰ ≤ , remplacer par ⁰ et U par log ⁻¹ ( B (0, ⁰ ) ^d ), U est un sous-groupe et log est un morphisme de groupes. Le tir´ e en arri` ere de la loi de groupe additive sur B (0, ) ^d d´ efinit un morphisme U ×U −→ U et donc m 1 : U ×U −→ G. La loi de groupe de G d´ efinit m 2 : U × U −→ G. On sait que m 1 et m 2 induisent les mˆ emes morphismes de K-sch´ emas formels U b × U b −→ G. Consid´ b erons la diff´ erence f = m 1 .m ⁻¹ ₂ : U × U −→ G. Soit Y = f ⁻¹ (e) ⊂ U × U, un sous-espace rigide Zariski ferm´ e de U ×U tel que (e, e) ∈ Y . De plus le sous-sch´ ema formel ferm´ e de U b × U b induit par Y ⊂ U × U co¨ıncide avec U b × U b . Soit I l’id´ eal coh´ erent d´ efinissant Y dans U × U.

Soit I (e,e) sa fibre en (e, e) ∈ U × U , un O _U×U,(e,e) -module de type fini. L’anneau local O U ×U,(e,e)

est noeth´ erien et de plus U b × U b = Spf( O b _U×U,(e,e) ). ´ Etant donn´ e que O _U×U,(e,e) −→ O b _{U ×U,(e,e)} est fid` element plat on en d´ eduit que I _(e,e) = O _{U ×U,(e,e)} . Mais I _(e,e) = lim

−→

→0

I(log ⁻¹ ( B ^d (0, ⁰ ))). Donc

quitte ` a prendre plus petit on peut supposer que Y = U .

Corollaire 4. Tout groupe analytique rigide commutatif de dimension d poss` ede un ouvert admis- sible affino¨ıde qui est un sous-groupe analytique rigide isomorphe ` a ( B ^d (0, ), +) pour ∈ |K ^× | ^1/∞ . Tout groupe analytique commutatif de dimension d au sens de Berkovich poss` ede une base de voisinages de 0 form´ ee de sous-groupes analytiques ouverts isomorphes ` a (˚ B ^d (0, ), +) pour ∈ |K ^× | ^1/∞ .

Remarque 7. Si K est alg´ ebriquement clos, les groupes ( B ^d (0, ), +), resp. (˚ B ^d (0, ), +), avec

∈ |K ^× | ^1/∞ sont isomorphes et on peut prendre = 1.

1.6. Un th´ eor` eme de structure des groupes analytiques rigides commutatifs.

Th´ eor` eme 1.2. Soit G un K-groupe analytique commutatif. Soit U = {g ∈ |G| | lim

n→+∞ p ⁿ g = 0}.

Alors U est un sous-groupe analytique ouvert de G. On a G[p ^∞ ] ⊂ U, un sous-groupe ´ etale tel que

|G ^an [p ^∞ ]| soit ferm´ e et discret dans U. Il existe un unique morphisme de groupes analytiques log : U −→ G ^an a ⊗ Lie G

induisant l’identit´ e sur les alg` ebres de Lie. C’est un isomorphisme au voisinage de l’´ el´ ement neutre de G. De plus la suite de groupes

0 −→ G[p ^∞ ] −→ U − −− ^log → G ^an a ⊗ Lie G

est exacte pour la topologie ´ etale et le morphisme log ^rig : U ^rig −→ G ^rig a ⊗ Lie G est ´ etale.

D´ emonstration. Soit V un voisinage de 0 dans G ^an qui forme un sous-groupe analytique et ∈ |K ^× | ^1/∞ tels qu’il y ait un isomorphisme

log : V −−→ ^∼ (˚ B ^d (0, ), +)

induisant le logarithme de G b apr` es choix d’une base de Lie G. Puisque pour tout x ∈ ˚ B ^d (0, ),

n→+∞ lim p ⁿ x = 0, on a

U = [

n≥1

p ⁻ⁿ V

qui est donc un sous-groupe ouvert de G ^an . Posant (log) _|p

V = p ⁻ⁿ log ◦(×p ⁿ ) on d´ efinit ainsi par recollement un morphisme de groupes log : U −→ G ^an a ⊗ Lie G. Le morphisme induit au niveau des espaces rigides est ´ etale puisque l’application induite au niveau des alg` ebres de Lie est un isomorphisme. C’est en particulier un isomorphisme au voisinage de l’´ el´ ement neutre.

Soit ker(log) ⊂ U , un sous-groupe analytique Zariski ferm´ e dans U . Puisque log ^rig est ´ etale c’est un groupe ´ etale sur K et on a bien ker(log) = G[p ^∞ ].

Exemple 5. (1) Soit G = G ^rig m . Alors U = G b ^an m = {x ∈ G ^rig m | |x − 1| < 1}.

(2) Plus g´ en´ eralement soit T un tore alg´ ebrique sur K et X ^∗ (T ) son groupe des cocaract` eres.

Alors U = {x ∈ T ^an | ∀χ ∈ X ^∗ (T ), |1 − χ(x)| < 1}.

(3) Soit G un groupe commutatif dans la cat´ egorie des sch´ emas formels formellement de type fini sur Spf(O K ). Supposons le plat sur O K . Notons G s sa fibre sp´ eciale r´ eduite et sp : |G ^an | −→

|G s | l’application de sp´ ecialisation. Alors U = [

n≥1

sp ⁻¹ (G s [p ⁿ ]).

(4) Par exemple si G est un groupe formel (formellement lisse) commutatif sur Spf(O _K ) alors U = G ^an et log _U est donn´ e par le logarithme du groupe formel G ⊗ K.

(5) Si la valuation de K est discr` ete, A est une vari´ et´ e ab´ elienne sur K et A son mod` ele de N´ eron sur O K , soit A b le compl´ et´ e p-adique de A. Soit U ⊂ A ^an . Le sous-groupe A b ^an ⊂ A ^an est un sous-groupe analytique compact qui contient U et U = [

n≥1

sp ⁻¹ (A s [p ⁿ ]).

1.7. Sur les mod` eles de N´ eron des groupes analytiques rigides affino¨ ıdes.