Universit´e Pierre et Marie Curie, M1 Math´ematiques, 2014-2015
Cours de g´eom´etrie diff´erentielle 4M022 (H. Eynard-Bontemps, A. Oancea)
Examen final du 17 d´ecembre 2014
Dur´ee : 3 heures
Documents autoris´es : notes de cours et TD, polycopi´e du cours.
Les exercices sont ind´ependants les uns des autres.
Exercice 1. Soit M une vari´et´e lisse et f : M Ñ M un diff´eomorphisme. On consid`ere le quotientMf deRˆM par l’action deZdonn´ee par
Zˆ pRˆMq ÑRˆM, pℓ,pt, xqq ÞÑ pt`ℓ, fℓpxqq.
Dans cette notationf´1d´esigne l’inverse def etf0“IdM. On appelleMfsuspension du diff´eomorphisme f. On notert, xs PMf la classe d’´equivalence d’un pointpt, xq P RˆM.
I. Le cercle.
SoitS1“R{Zle quotient deRpar l’action deZpar translationpℓ, tq ÞÑt`ℓ,tPR, ℓ PZ. On note rts P S1 “R{Z la classe d’un ´el´ement tP R. On note π: RÑS1, tÞÑ rtsla projection.
(1) Expliquer commentS1 peut ˆetre vu comme une suspension.
(2) Soit BtB la d´erivation canonique associ´ee `a la coordonn´ee standard t sur R.
Montrer que BtB est un champ invariant `a gauche pour la structure de groupe de Lie sur Rdonn´ee par l’addition.
(3) Montrer qu’il existe un unique champ de vecteursX surS1tel quedπptq ¨BBt “ Xprtsqpour touttPR.
(4) Montrer que la 1-formeαPΩ1pS1qcaract´eris´ee parαpXq “1 v´erifieπ˚α“dt.
(5) L’on orienteS1 parX. Calculerş
S1α.
(6) Que vaut dα? II. Suspensions.
(7) Montrer queMf poss`ede une unique structure de vari´et´e telle que la projection RˆM ÑMf soit un revˆetement.
(8) D´ecrire la bande de M¨obius comme une suspension. Connaissez-vous d’autres vari´et´es de dimension 2 qui sont des suspensions ?
(9) On suppose quef admet un point fixex0. Montrer que l’application σ:RÑRˆM, tÞÑ pt, x0q
induit un plongement deS1 dansMf.
(10) Montrer que la projection p:Mf ÑS1,rt, xs ÞÑ rtsest une submersion lisse.
(11) Montrer que sur toute suspension Mf il existe un champ de vecteurs qui ne s’annule pas. Indication : penser au cas du cercle. En d´eduire que la sph`ereS2n’est pas diff´eomorphe `a une suspension.
(12) Supposons que M est orientable et connexe. Montrer queMf est orientable si et seulement sif pr´eserve l’orientation.
(13) Construire `a l’aide de la notion de suspension des exemples de vari´et´es com- pactes non-orientables en toute dimensioně2.
1
2
Exercice 2. Consid´erons la forme diff´erentielle suivante surR3muni des coordonn´ees px, y, zqstandard :
α:“dz´1
2pxdy´ydxq PΩ1pR3q.
I. Quelques calculs.
(1) Montrer quedα“ ´dx^dy et calculerα^dα.
(2) Montrer qu’il existe un unique champ de vecteursRαsurR3 tel que dαpRα,¨q “0, αpRαq “1.
Ecrivez l’expression de la courbe int´egrale de´ Rαpassant au tempst“0 par un point pPRquelconque.
(3) Calculer les d´eriv´ees de LieLR
ααet LR
αdα.
II. Surface tangente `akerα.
(4) Donner une base de kerαppqen un pointp“ px, y, zq PR3quelconque. Montrer que, pour tout pointpPR3, la restriction dedαppq`a kerαppqest une forme bilin´eaire altern´ee non-nulle.
(5) Montrer qu’il n’existe pas de sous-vari´et´eM de dimension 2 dans R3 qui soit tangente en tout point `a kerα, c’est-`a-dire telle queTpM “kerαppqpour toutpPM. Indication : raisonner par l’absurde et consid´erer la 2-forme ι˚dα, avec ι:M ãÑR3 l’inclusion.
III. Courbe tangente `akerα.
(6) Soit
θ:“xdy´ydxPΩ1pR2q,
o`u R2 est muni des coordonn´ees px, yq standard et de l’orientation standard. Soit D ĂR2 un domaine compact `a bord lisse. Calculer l’int´egrale de θ le long du bord orient´e de D en fonction de la mesure de Lebesgue deD.
(7) Construire une courbe lisse γ : r0,1s Ñ R3 telle que γp0q “ p1,0,0q, γp1q “ p1,0, πqet γptq P9 kerαpγptqqpour touttP r0,1s. Indication : l’on pourra penser `a la courbe pr˝γ, avecpr :R3ÑR2 la projection sur les deux premi`eres coordonn´ees.
