Contrˆole de g´eom´etrie diff´erentielle du 15 d´ecembre 2006 Exercice 1

Contrˆole de g´eom´etrie diff´erentielle du 15 d´ecembre 2006

Exercice 1 (Question de cours). Donner la d´efinition d’un champ de vec- teurs.

Exercice 2 (Autour de la fibration de Hopf ). On note S³, S² et S¹ les sph`eres unit´e de R⁴,R³ etR² respectivement. On identifiera R⁴ avec C² et R³ avec C×Rde sorte que

S³={(u, v)∈C²/|u|²+|v|² = 1}

S² ={(w, t)∈C×R/|w|²+t² = 1}.

Except´e pour les questions de regularit´e o`u il est pr´ef´erable d’uiliser des co- ordonn´ees r´eelles, on recommande de travailler au maximum en coordonn´ees complexes.

a) Montrer que l’application deC² dans C×R

(u, v)∈C² →(2uv, |u|²− |v|²)∈C×R

se restreint en une application π de S³ dans S². Montrer que pour tous couples (u, v) et (u⁰, v⁰) de S³, l’on a

π(u, v) =π(u⁰, v⁰)⇔ ∃θ∈R, (u⁰, v⁰) =e^iθ(u, v) (1) Montrer queπ est surjective et de classeC^∞.

b) On note U la sph`ereS² priv´ee du pˆole nord (0,1)∈C×R. Montrer que l’application

ϕ:π⁻¹(U)→U×S¹, (u, v)→(π(u, v), v/|v|)

est bien d´efinie, bijective, envoie la fibre π⁻¹({b}) sur {b} ×S¹ pour tout b ∈ U et que c’est un diff´eomorphisme. Formuler sans le d´emontrer un

´enonc´e similaire lorsqueU est la sph`ere priv´ee du pˆole sud.

c) On note (∂_xu, ∂_yu, ∂_xv, ∂_yv) le rep`ere du fibr´e tangent de R⁴ associ´e aux coordonn´ees (xu, yu, xv, yv). Donner les courbes int´egrales maximales de

X=−y_u∂xu+xu∂yu−yv∂xv+xv∂yv.

d) Soit une fonction f de R⁴ dans R telle que D_Xf soit identiquement nulle. Montrer qu’il existeg∈C^∞(S²) telle que g◦π soit la restriction def

`

a la sph`ere.

1

Corrections

a) Soient (u, v) ∈ C². Supposons que (u, v) ∈ S³ et posons w = 2uv, t=|u|²− |v|². Alors

|w|²+t² = 4|u|²|v|²+ (|u|²− |v|²)² = (|u|²+|v|²)² = 1

autrement dit (w, t) ∈S².π est donc bien d´efinie comme application deS³ dansS². Notons pour la suite que

(|u|²+|v|² = 1

|u|²− |v|² =t ⇒ |u|= r1

2(1 +t) et |v|= r1

2(1−t).

Supposons π(u⁰, v⁰) = π(u, v). Les deux ´equations pr´ec´edentes donnent imm´ediatement |u⁰|=|u|et|v⁰|=|v|, et donc

u⁰=e^iαu, v⁰ =e^iβv

avecαetβdansR. Discutons selon les valeurs det=|u|²−|v|². Sit= 1, alors v= 0 et donc (u⁰, v⁰) =e^iα(u, v). Sit=−1, alorsu= 0 et (u⁰, v⁰) =e^iβ(u, v).

Si|t|<1, alors u et v sont diff´erents de 0 et u⁰v⁰ = uv implique e^iα =e^iβ, d’o`u (u⁰, v⁰) =e^iα(u, v). Dans tous les cas, il existe θ∈Rtel que

(u⁰, v⁰) =e^iθ(u, v)

Reciproquement, cette condition implique imm´ediatement que π(u⁰, v⁰) = π(u, v).

Sib= (w, t)∈S² est diff´erent du pˆole nord et du pˆole sud, alors w6= 0 et un ant´ec´edent de bpar π est

r1

2(1 +t), w

|w|

r1 2(1−t)

!

D’autre part, les pˆoles nord et sud admettent pour ant´ec´edents (1,0) et (0,1) respectivement. Par cons´equentπ est surjective.

Enfin S³ et S² ´etant des sous-vari´et´es de R⁴ et R³ respectivement et l’application deR⁴ dans R³,

(xu, yu, xv, yv)→(2(xuxv+yuyv),2(yuxv−xuyv),(xux²_u+y²_u−x²_v−y_v²))

´etant polynomiale doncC^∞, sa restrictionπ est aussi de classeC^∞.

b) π⁻¹(U) ´etant l’ensemble des (u, v) de S³ tels que v 6= 0, ϕ est bien d´efinie.

2

On d´eduit ensuite de (1) que pour tout b ∈ U, ϕ se restreint en une bijection deπ⁻¹({b}) sur{b} ×S¹. En effet si deux couples (u, v) et (u⁰, v⁰) deπ⁻¹({b}) ont mˆeme image parϕ, alors

(u⁰, v⁰) =e^iθ(u, v)

d’apr`es (1) et v<sup>0</sup>/|v|= v/|v| implique que e<sup>iθ</sup> = 1 et donc (u, v) = (u<sup>0</sup>, v<sup>0</sup>), ce qui montre l’injectivit´e. Montrons `a pr´esent que pour tout z ∈S¹, (b, z) admet un ant´ec´edent par ϕ. π ´etant surjective, il existe (u, v) ∈S³ tel que π(u, v) =b. Alors

(u⁰, v⁰) = z¯v

|v|(u, v)

appartient aussi `a π⁻¹({b}) et de plusϕ(u⁰, v⁰) = (b, z).

Il est alors imm´ediat de v´erifier queϕest elle-mˆeme une bijection. Enfin ϕest de classe C^∞ car ses deux applications coordonn´ees π :π⁻¹(U)→ U et

π⁻¹(U)→S, (u, v)→v/|v|

le sont. On v´erifie que l’inverse de ϕest ((w, t), z)∈U×S¹ → wz

p2(1−t),z√ 1−t

√ 2

et l’on en d´eduit qu’il estC^∞.

On peut trivialiser au dessus de V =S\ {(0,−1)}par π⁻¹(V)→V ×S¹, (u, v)→(π(u, v), u/|u|).

Et l’on v´erifie comme pr´ec´edemment que cette application est un diff´eomor- phisme qui envoie la fibreπ⁻¹({b}) sur {b} ×S¹.

c)Les courbes int´egrales deXsont les solutions du syst`eme d’´equations diff´erentielles : 













x⁰_u(t) =−y_u(t) y_u⁰(t) =xu(t) x⁰_v(t) =−y_v(t) y_v⁰(t) =x_v(t)

Pour tout (u0, v0) ∈ C², on v´erifie imm´ediatement que l’application de R dansR⁴'C²

(xu(t) +iyu(t), xv(t) +iyv(t)) =e^it(u0, v0) 3

est l’arc int´egral maximal (car d´efini surR) d’origine (u0, v0).

d)Pour que la restriction def `aS<sup>3</sup>se factorise eng◦π, il faut et il suffit que f soit constante sur les fibres de π. D’apr`es l’´equation (1), ces fibres sont des trajectoires (images des courbes int´egrales maximales) de X. Or la conditionD_Xf = 0 implique quef est constante sur les trajectoires. En effet, si (R, ξ) est une courbe int´egrale de X et donc ξ⁰(t) =X(ξ(t)), nous avons

d

dtf(ξ(t)) =df_ξ(t)(ξ⁰(t)) =df_ξ(t)(X(ξ(t))) = (D_Xf)(ξ(t)) = 0.

Il reste `a v´erifier que la fonctiongobtenue est bien de classeC<sup>∞</sup>. On montre que sa restriction `a l’ouvert U de S² l’est en remarquant que

g(b) =f◦ϕ⁻¹(b,1), ∀b∈U

En raisonnant de mˆeme avec une trivialisation de π au dessus de la sph`ere priv´ee du pˆole sud, on conclut queg est aussi C^∞ en le pˆole nord.

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