Contrˆole de g´eom´etrie diff´erentielle du 26 octobre 2007
Exercice 1 (Question de cours).
Donner la d´efinition d’une sous-vari´et´e.
Exercice 2.
a)Montrer que l’application j de R2 dansR3 (t, θ)→(tcosθ, tsinθ, θ) est un plongement. On note V son image.
b) Soit π la projection de R3 sur R2 qui `a (x, y, z) associe (x, y). La restriction deπ `a V est-elle une submersion ?
Exercice 3 (Une surjection du plan projectif sur la sph`ere).
On note S2 la sph`ere unit´e de R3 etP2 le quotient de S2 par la relation d’antipodie. Soit f l’application
f :R3 →R3, (x, y, z)→(2xz,2yz,1−2z2)
a) Montrer que f se restreint en une application g de classe C∞ de S2 dansS2. Montrer queg est surjective.
b) Quels sont les points et valeurs critiques deg?
c) On rappelle que la projection canonique π : S2 → P2 est un diff´eo- morphisme local. Montrer qu’il existe une unique application h : P2 → S2 de classeC∞ telle queg=h◦π.
d) Montrer queh est surjective. Donner ses valeurs et points critiques.
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1Correction du contrˆole du 26 octobre 2007
Exercice 1.
a)L’applicationjest de classeC∞. Sa matrice jacobienne ´etant de rang 2 en tout point, j est une immersion.j est injective. Elle induit donc une bijection R2 → V. Son inverse est continue car elle coincide avec l’applica- tion (x, y, z) → (x/cosz, z) (resp. (x, y, z) → (y/sinz, z)) au voisinage des (x0, y0, z0) tel que z0 ∈/ π/2 +πZ) (resp. z0 ∈/ πZ). j ´etant une immersion qui induit un hom´eomorphisme sur son image, c’est un plongement.
b) j ´etant un plongement, son image V est une sous-vari´et´e de R3. De plus l’application lin´eaire tangente `a j en (t, θ) induit un isomorphisme de R2 surTj(t,θ)V. Par cons´equent la restriction deπ `a V est une submersion ssi π◦j est une submersion. Ce n’est pas le cas car la jacobienne de π◦j est de rang 1 en (0,0).
Exercice 2.
a)Si (u, v, w) =f(x, y, z), un calcul direct montre que
u2+v2+w2 = 4z2(x2+y2+z2−1) + 1 (1) Par cons´equent f se restreint en une application g de la sph`ere dans elle- mˆeme. L’image de l’´equateur
E:={x2+y2 = 1, z = 0} (2)
est le pˆole nord (0,0,1). Pour montrer que gest surjective, il suffit alors de montrer que tout point (u, v, w) diff´erent du pˆole nord admet un ant´ec´edent par f dans S2. Comme w <1, l’´equation 1−2z2 = w admet une solution z6= 0. Les ´equations 2xz =u et 2yz =v admettent alors des solutionsx et y. On d´eduit de (1) que (x, y, z)∈S2.
b) S2 est une sous-vari´et´e de R3 de dimension 2. Ainsi, pour tout (x, y, z) ∈ S2 l’espace tangent T(x,y,z)S2 est un sous-espace de dimension 2 deR3. L’application lin´eaire tangente `af en (x, y, z)∈S2 envoieT(x,y,z)S2 dans Tg(x,y,z)S2. Elle induit par restriction l’application lin´eaire tangente `a g en (x, y, z). Siz 6= 0, la jacobienne de f est inversible. Donc T(x,y,z)g est une surjection. Siz= 0, la jacobienne def est de rang 1 et par cons´equant T(x,y,z)g est de rang au plus 1. Donc les points critiques deg sont les points de l’´equateur (2) et gadmet une seule valeur critique : le pˆole nord.
c) Comme g(−x,−y,−z) = g(x, y, z), il existe une unique application h du projectif dans S2 telle que g = h◦ π. π ´etant un diff´eomorphisme
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1local, tout point de la sph`ere admet un voisinage ouvert U tel que π(U) soit un ouvert de P2, la restriction de π `a U soit injective et son inverse ψ:π(U) → U soit de classe C∞. La restriction de h `a π(U) est alors g◦ψ qui est de classeC∞ comme compos´ee d’applicationsC∞. Par cons´equenth est de classe C∞.
d) g ´etant surjective, h l’est.π ´etant un diff´eomorphisme local, son ap- plication lin´eaire tangente est inversible en tout point. Comme
T(x,y,z)g=Tπ(x,y,z)h◦T(x,y,z)π,
T(x,y,z)g etTπ(x,y,z)h ont mˆeme rang. Par cons´equent l’ensemble des points critiques dehest le cercleπ(E).hadmet une unique valeur critique : le pˆole nord.
