Contrˆole de g´eom´etrie diff´erentielle du 30 novembre 2007 Exercice 1

Contrˆole de g´eom´etrie diff´erentielle du 30 novembre 2007

Exercice 1(Question de cours). Enoncer les th´eor`emes d’existence et uni- cit´e de Cauchy.

Exercice 2 (D´eriv´ee de Lie). Pour tout a∈Rⁿ, on consid`ere le champ de vecteursXa de Rⁿd´efini par

X_a =

n

X

i=1

(xⁱ−aⁱ) ∂

∂xⁱ.

a)Soitα∈R. R´esoudre l’´equation diff´erentielleu⁰(t) =u(t)−αo`uu est une application deRdansR.

b) Donner les courbes int´egrales deXa et son flot Φa,t au temps t.

c)Calculer le crochet de Lie [Xa, X_b] o`u a, b∈Rⁿ. d) Pour toutx∈Rⁿ ett∈R, calculer

Z(x, t) = (TxΦa,t)⁻¹(X_b(Φa,t(x)))

puis la d´eriv´ee deZ(x, t) par rapport `atent= 0. Comparer avec la question pr´ec´edente.

Exercice 3 (Sous-p´eriode). On rappelle que le ruban de MoebiusM est le quotientR²/Z o`un∈Z agit par

θn:R²→R², θn(x1, x2) = (x1+n,(−1)ⁿx2).

M admet une structure de vari´et´e qui fait de la projection canonique p : R²→M un diff´eomorphisme local.

a) Soient deux champs de vecteursX et Y de R² et M respectivement tels que

(T_xp)(X(x)) =Y(p(x)), ∀x∈R². (1) Montrer que si (I, u) est une courbe int´egrale deX, alors (I, p◦u) est une courbe int´egrale deY.

b)SoitX le champ de vecteur _∂x^∂

1 deR². Montrer qu’il existe un unique champY deM tel que (1) soit v´erifi´ee. PourquoiY est-il de classeC^∞?

c)Pour touty∈M, donner l’arc int´egral maximal d’originey du champ Y. Montrer qu’il est p´eriodique et donner sa p´eriode.

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Correction du contrˆole du 30 novembre 2007 Corrig´e 1 (D´eriv´ee de Lie).

a)Les solutions de u⁰ =u−α sont les fonctions u_C(t) =α+Ce^t o`uC d´ecritR.

b) Les courbes int´egrales de Xa sont les courbes t → (u1(t), . . . , un(t)) deRⁿ dont les coordonn´ees sont solutions du syst`eme







u⁰₁(t) =u₁(t)−a₁ . . .

u⁰_n(t) =un(t)−an

Ces ´equations sont ind´ependantes et leur solution est donn´ee au a). Ainsi les courbes int´egrales maximales sont

u(t) =a+ (u(0)−a)e^t, t∈R

Les autres courbes int´egrales s’obtiennent en restreignant celles-ci `a un in- tervalle deR. Le flot au temps test l’application de Rⁿ dansRⁿ

Φa,t(x) =a+ (x−a)e^t On reconnait l’homoth´etie de centre ade rapporte^t.

c ) Le crochet de Lie est donn´e par [Xa, Xb] =X

i

L_Xa(xi−bi) ∂

∂xi

− L_Xb(xi−ai) ∂

∂xi

=X

i

(x_i−a_i) ∂

∂x_i −(x_i−b_i) ∂

∂x_i

=X

i

(bi−ai) ∂

∂x_i

d)L’application lin´eaire tangente `a Φa,tenxest l’homoth´etie de rapport e^t. Le champsX_b est la fonction x→(x, x−b). Donc

Z(x, t) = (x, e^−t(Φa,t(x)−b)) = (x, e^−t(a−b) + (x−a))

En d´erivant par rapport `a t en t = 0, on obtient le champ constant x → (x, b−a). On retrouve [X_a, X_b].

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Corrig´e 2 (Sous-p´eriode).

a) Si (I, u) est une courbe int´egrale de X, l’on a u⁰(t) = X(u(t)) pour toutt∈I. Donc

(p◦u)⁰(t) = (T_u(t)p)(X(u(t))) =Y(u(t)) autrement dit (I, p◦u) est une courbe int´egrale deY.

b) A supposer qu’il existe, Y est unique car p est surjective. Montrons quep(x) =p(x⁰) implique que

(T_xp)(X(x)) = (T_x⁰p)(X(x⁰)).

Si p(x) = p(x⁰), alors x⁰ = θ_n(x) pour un certain n. Un calcul imm´ediat montre que (Txθn)(X(x)) = X(x⁰). Enfin p◦θn =p entraine que (T_x⁰p)◦ (T_xθ_n) =T_xp. Par cons´equent

(T_xp)(X(x)) = (T_x⁰p)((T_xθ_n)(X(x))) = (T_x⁰p)(X(x⁰)).

Donc l’application Z de R² dans T M qui envoie x dans (Txp)(X(x)) se factorise en Y ◦p. L’applicationZ est lisse car c’est la compos´ee du champ X:R² →TR² par l’application lin´eaire tangenteT p:TR² →T M. Comme pest un diff´eomorphisme local,Z =Y ◦pentraine que Y est lisse.

c) L’arc int´egral d’origine x ∈ R² de X est (R, t → x+ (t,0)). D’apr`es le a), (R, t → p(x+ (t,0))) est un arc int´egral de Y d’origine p(x). Il est maximal car d´efini sur R. Si la deuxi`eme coordonn´ee de x s’annule, il est p´eriodique de p´eriode 1. Sinon il est p´eriodique de p´eriode 2.

Exercice suppl´ementaire

Exercice 1. On note M(2) l’espace vectoriel des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients r´eels. SoitS la partie de M(2) form´ee des matrices de rang 1 et

E={(M, Z)∈S×R²/ Z∈kerM}.

On notep l’application deE dansS qui au couple (M, Z) associeM. a)Montrer qu’une matrice de M(2) est de rang 1 ssi elle n’est pas nulle et son d´eterminant est nul. En d´eduire queS est une sous-vari´et´e de M(2).

b) V´erifier que les applications s₁ ets₂ de S dans E donn´ees par a b

c d

→

a b c d

,

−b a

et

a b c d

→

a b c d

,

−d c

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sont des sections dep:E →S. En d´eduire que (E, S, p) est un fibr´e vectoriel de rang 1.

c)Pour tout (x, y)∈R²\ {0}, montrer que ϕ(x, y) :=

y² −xy

−xy x²

, x

y

appartient `aE. En d´eduire que (E, S, p) n’est pas isomorphe au fibr´e trivial (appliquer un argument de connexit´e).

Corrig´e 3.

a) Si une matrice est non nulle son rang est > 1. Si elle est d’ordre 2 et son d´eterminant est nul, son rang est < 2. L’application d´eterminant restreinte `a M(2)\ {0_M(2)} est une submersion. S ´etant l’image r´eciproque de 0, c’est une sous-vari´et´e de M(2).

b) On constate que s₁(M) ets₂(M) appartiennent au noyau de M. De plus pour toute matrice M de rang 1, s₁(M) ou s₂(M) ne s’annule pas et par cons´equent engendre la droite EM. Comme s1 et s2 sont des sections lisses de S×R² → R², ceci montre que (E, S, p) est un sous-fibr´e du fibr´e trivialS×R².

c) Raisonnons par l’absurde. Supposons qu’il existe un isomorphisme f :E →S×Rde fibr´es de baseS. Notonsπla projectionS×R→R. Alors R² \ {0_R2} ´etant connexe, l’imageC de π◦f◦ϕest connexe. Or

π◦f ◦ϕ(x, y)6= 0, ∀(x, y)∈R² \ {0_R2}

etπ◦f◦ϕ(1,0) =−π◦f◦ϕ(−1,0). Par cons´equentCest r´eunion des deux parties ouvertes disjointes non videsC∩]− ∞,0[ etC∩]0,∞[. Il ne peut ˆetre connexe.

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