Application aux syst` emes lin´ eaires

Notation. On fixe (n, p)∈ N^∗2 et on consid`ere un syst`eme lin´eaire de n ´equations `a p inconnues de la forme :

(S) :















α_1,1x₁ + · · · + α_1,px_p =b₁

... ...

α_i,1x₁ + · · · + α_i,px_p =b_i

... ...

αn,1x1 + · · · + αn,pxp =bn

,

o`u, pour tout (i, j)∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , p},α_i,j ∈K, pour tout i∈ {1, . . . , n},b_i ∈K, lesp inconnues ´etantx₁, . . . , x_p, ´el´ements de K.

Propri´et´e. Notons M = (α_i,j)^1≤i≤n

1≤j≤p ∈ M_K(n, p) la matrice de (S).

Ainsi (S)⇐⇒M X =B, o`uB = (b<sub>i</sub>)1≤i≤n∈K<sup>n</sup>. Si (S) est compatible, l’ensemble des solutions de (S) est un sous-espace affine de K<sup>p</sup> de dimension p−r, o`u r d´esigne le rang deM et dont la direction est Ker(M).

D´emonstration.

Supposons que (S) est compatible. Il existe X₀ ∈K^p tel que M X₀ =B.

Ainsi, (S)⇐⇒M X =M X₀ ⇐⇒X−X₀ ∈Ker(M)⇐⇒X ∈(X₀+ Ker(M)).

Notation. SoientE etF desK-espaces vectoriels de dimensionspetn munis de bases e= (e₁, . . . , e_p) et f = (f₁, . . . , f_n). On noteu l’unique application lin´eaire de L(E, F) telle que mat(u, e, f) = M,x le vecteur de E dont les coordonn´ees dans e sontX et b le vecteur deF dont les coordonn´ees dansf sontB. Alors (S)⇐⇒u(x) =b.

Propri´et´e. L’ensemble des solutions de (S) est soit vide, soit un sous-espace affine deE de direction Ker(u).

Quatri`eme interpr´etation d’un syst`eme lin´eaire : A l’aide de formes lin´eaires.

Notons e^∗ = (e^∗₁, . . . , e^∗_p) la base duale dee. Pour tout i∈ {1, . . . , n}, posons l_i =

p

X

j=1

α_i,je^∗_j. Ainsi, (l₁, . . . , l_n) est une famille de formes lin´eaires telles que (S)⇐⇒[∀i∈ {1, . . . , n} l_i(x) =b_i] et l’ensemble des solutions de (S) est

n

\

i=1

l_i⁻¹({b_i}).

C’est donc une intersection d’hyperplans affines, si pour tout i∈Nⁿ, li 6= 0.

Propri´et´e. Si E est un K-espace vectoriel de dimension p, l’intersection der hyper-plans vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de dimension sup´erieure `ap−r.

R´eciproquement tout sous-espace vectoriel de E de dimension p−r o`u r ≥ 1 est une intersection de r hyperplans de E, donc est caract´eris´e par un syst`eme de r ´equations lin´eaires.

D´emonstration.

Consid´erons r (avec r≥1) hyperplans de E, not´esH₁, . . . , H_r.

Pour chaque i∈ {1, . . . , r}, il existe une forme lin´eaire non nulle `<sub>i</sub> telle que H<sub>i</sub> = Ker(`_i). Notons F =

r

\

i=1

H_i. Fixons une base e = (e₁, . . . , e_p) de E et notons `a nouveau e^∗ = (e^∗₁, . . . , e^∗_p) la base duale dee.

Pour tout i∈ {1, . . . , r}, il existe (α_i,j)1≤j≤p ∈K^p telle que `_i =

p

X

j=1

α_i,je^∗_j. Ainsi, pour tout x∈E,

x=

p

X

j=1

x_je_j ∈F ⇐⇒ ∀i∈ {1, . . . , r} l_i(x) = 0⇐⇒ ∀i∈ {1, . . . , r}

p

X

j=1

α_i,jx_j = 0.

Alors avec les notations pr´ec´edentes, F = Ker(u) et dim(F) = p−rg(u)≥ p−r, car la matrice de u poss`ede r lignes.

Pour la r´eciproque, soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p−r avec r≥1. Notons (f_r+1, . . . , f_p) une base deF, que l’on compl`ete en une base f = (f₁, . . . , f_p) de E. Notons f^∗ = (f₁^∗, . . . , f_p^∗) la base duale def.

Six=

p

X

j=1

x_jf_j ∈E,x∈F ⇐⇒x₁ =· · ·=x_r = 0⇐⇒ ∀i∈ {1, . . . , r}, f_i^∗(x) = 0.

Ainsi, F est caract´eris´e par un syst`eme der ´equations lin´eaires.

De plus, en notant H_i = Ker(f_i^∗), [x ∈ F ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , r}, x ∈ H_i], donc F est l’intersection des r hyperplansH₁, . . . , H_r.

Exemple. Dans un espace vectoriel de dimension 3 rapport´e `a une base (~ı, ~, ~k), une droite vectorielle D est caract´eris´ee par un syst`eme de 2 ´equations cart´esiennes de la forme :

−

→v = x~ı+y~+z~k ∈ D ⇐⇒

ax+by+cz = 0 a⁰x+b⁰y+c⁰z = 0 , o`u







 a b c



,



 a⁰ b⁰ c⁰







 est une famille libre dans K³.

Propri´et´e. Soit E un espace affine de direction E et F un sous-espace affine de E dirig´e par F 6= E. On sait que F est l’intersection de r hyperplans vectoriels (o`u r = dim(E)−dim(F))H₁, . . . , H_r, qui sont chacun le noyau d’une forme lin´eaire non nulle, not´eeϕ₁, . . . , ϕ_r.

Il existeA ∈ E tel que F =A+F, donc M ∈ F ⇐⇒−−→

AM ∈F ⇐⇒(∀i∈ {1, . . . , r} ϕ_i(−−→

OM) =ϕ_i(−→

OA)).

Cette derni`ere condition constitue un syst`eme d’´equations de F.

Ainsi, tout sous-espace affine de E peut ˆetre caract´eris´e par un syst`eme d’´equations lin´eaires.

Corollaire. Tout sous-espace affine strictement inclus dans E est une intersection d’un nombre fini d’hyperplans affines.

7 D´ eterminants

7.1 Applications multilin´ eaires

D´efinition. Soient p∈N^∗ et (E₁, . . . , E_p) une famille de pK-espaces vectoriels.

Soient F unK-espace vectoriel et f une application de E₁× · · · ×E_p dans F. f est une application p-lin´eaire si et seulement si, pour toutj ∈N^p

et pour tout (a₁, . . . , aj−1, a_j+1, . . . , a_p)∈E₁× · · · ×Ej−1×E_j+1×. . .×E_p, l’application E_j −→ F

x_j 7−→ f(a₁, . . . , aj−1, x_j, a_j+1, . . . , a_p) est lin´eaire.

D´efinition. Uneapplication bilin´eaire est une application 2-lin´eaire.

Notation.

— L_p(E₁, . . . , E_p;F) d´esigne l’ensemble des applicationsp-lin´eaires deE₁×· · ·×E_p dans F. C’est un sous-espace vectoriel deF(E₁× · · · ×E_p, F).

— On note Lp(E, F) =Lp(E, . . . , E

| {z }

pfois

;F).

— Enfin, on note Lp(E) =Lp(E,K).

Les ´el´ements deL_p(E) sont appel´es des formes p-lin´eaires sur E.

Exemple. L’application (R²)³ −→ R

((x, x⁰),(y, y⁰),(z, z⁰)) 7−→ xy⁰z⁰−2x⁰yz⁰+ 3x⁰yz est une forme trilin´eaire sur R².

Notation. Pour la suite de ce paragraphe, on fixe p∈N^∗ et deux K-espaces vectoriels E et F.

Propri´et´e. Soit u₁, . . . , u_p p applications lin´eaires de E dans K. Alors l’application

u: E^p −→ K

(x₁, . . . , x_p) 7−→

p

Y

i=1

u_i(x_i) est une forme p-lin´eaire.

D´emonstration.

Soient j ∈Np et (a₁, . . . , aj−1, a_j+1, . . . , a_p)∈E^p−1. Notons v : E −→ K

x 7−→ u(x1, . . . , xj−1, x, xj+1, . . . , xp). Pour tout x∈E,v(x) =





 Y

1≤i≤p i6=j

ui(xi)





uj(x), or uj est lin´eaire, donc v est lin´eaire.

Ainsi, u est une forme p-lin´eaire.

Propri´et´e. On suppose que E est de dimension finie n ∈N^∗ et on note

e = (e₁, . . . , e_n) une base de E. Une application f de E^p dans F est p-lin´eaire si et seulement s’il existe une famille (α_u)_u∈N^p_n de vecteurs de F telle que, pour tout (x₁, . . . , x_p) = (

n

X

i=1

a_i,je_i)1≤j≤p ∈E^p, f(x₁, . . . , x_p) = X

u=(i1,...,ip)∈N^pn

a_i1,1. . . a_ip,pα_u. D´emonstration.

• Supposons que f ∈L_p(E, F). Soit (x₁, . . . , x_p) = (

n

X

i=1

a_i,je_i)1≤j≤p ∈E^p. f(x₁, . . . , x_p) =f(

n

X

i=1

a_i,1e_i, x₂, . . . , x_p),

donc en utilisant la lin´earit´e selon la premi`ere variable, f(x₁, . . . , x_p) =

n

X

i=1

a_i,1f(e_i, x₂, . . . , x_p), puis f(x1, . . . xp) =

n

X

i=1

ai,1 n

X

j=1

aj,2f(ei, ej, x3, . . . , xp).

Le d´eveloppement dex₁a n´ecessit´e l’utilisation d’une variable not´eei, puis le d´eveloppement de x₂ a n´ecessit´e l’utilisation d’une seconde variable not´ee j. Pour d´evelopper x₁, x₂, . . ., xp, nous avons besoin de p variables. Nous allons les noter i1, i2, . . ., ip, ce qui impose de renommeri et j eni₁ et i₂. Ainsi,

f(x1, . . . xp) =

n

X

i1=1 n

X

i2=1

ai1,1ai2,2f(ei1, ei2, x3, . . . , xp). En poursuivant ce calcul, on ob-tientf(x₁, . . . , x_p) = X

u=(i1,...,ip)∈N^pn

a_i1,1. . . a_ip,pf(e_i1, . . . , e_ip).

• R´eciproquement,L_p(E, F) ´etant unK-espace vectoriel , il suffit de montrer que pour tout u = (i₁, . . . , i_p) ∈ N^pn, l’application

E^p −→ K (

n

X

i=1

ai,jei)1≤j≤p 7−→ ai1,1. . . aip,p est p-lin´eaire, mais il s’agit de l’application

E^p −→ K (x₁, . . . , x_p) 7−→

p

Y

j=1

e^∗_i

j(x_j) , or les applications coordonn´eese^∗_j sont des formes lin´eaires, donc d’apr`es une propri´et´e pr´ec´edente, cette application est bien une forme p-lin´eaire.

D´efinition. Soient σ∈ S_p et f ∈L_p(E, F).

On note σ(f) : E^p −→ F

(x₁, . . . , x_p) 7−→ f(x_σ(1), . . . , x_σ(p)).

On v´erifie queσ(f) est une application p-lin´eaire de E dans F. Propri´et´e. L’application S_p×L_p(E, F) −→ L_p(E, F)

(σ, f) 7−→ σ(f) , est une op´eration du groupe (S_p,◦) sur l’ensembleL_p(E, F).

D´emonstration.

Soient (σ, σ⁰)∈ S_p², f ∈Lp(E, F) et (x1, . . . , xp)∈E^p. σ⁰(σ(f))(x₁, . . . , x_p) =σ(f)(x_σ⁰₍₁₎, . . . , x_σ⁰_(p)).

Notons (y₁, . . . , y_p) = (x_σ⁰₍₁₎, . . . , x_σ⁰_(p)). Ainsi, pour touti∈Np, y_i =x_σ⁰_(i), donc σ⁰(σ(f))(x1, . . . , xp) =f(y_σ(1), . . . , y_σ(p)) = f(x_σ⁰_(σ(1)), . . . , x_σ⁰_(σ(p))), ce qui prouve que

∀(σ, σ⁰)∈ S_p² ∀f ∈L_p(E, F) σ⁰(σ(f)) = (σ⁰σ)(f).

De plus, Id_Np(f) =f, donc (σ, f)7−→σ(f) est bien une op´eration de groupe.

D´efinition. Soitf ∈L_p(E, F).f est une application p-lin´eaire sym´etrique si et seulement si pour tout σ∈ S_p, σ(f) =f.

f est une application p-lin´eaire antisym´etrique si et seulement si pour tout σ ∈ S_p,σ(f) = ε(σ)f, o`u ε(σ) d´esigne la signature de la permutation σ.

Propri´et´e. Soit f ∈L_p(E, F).

f est sym´etrique si et seulement si pour toute transpositionτ deS_p, τ(f) =f. f est antisym´etrique si et seulement si pour toute transposition τ deS_p, τ(f) =−f.

D´emonstration.

Supposons que pour toute transposition τ deS_p, τ(f) = −f.

Soit n ∈N^∗. NotonsR(n) l’assertion suivante :

pour toute famille de n transpositions (τ₁, . . . , τ_n), (τ₁◦ · · · ◦τ_n)(f) = (−1)ⁿf.

Par r´ecurrence surn, il est simple de montrer queR(n) est vraie pour tout n∈N^∗. Soit σ ∈ Sp. L’ensemble des transpositions engendre Sp, donc il existe un nombre fini de transpositions, not´eesτ₁, . . .,τ_n, telles queσ =τ₁◦ · · · ◦τ_n.

D’apr`esR(n), σ(f) = (−1)ⁿf =ε(σ)f.

Ainsi, f est une application p-lin´eaire antisym´etrique.

La r´eciproque est simple `a prouver.

Pour d´emontrer quef est sym´etrique si et seulement si pour toute transposition τ de Sp, τ(f) =f, il suffit d’adapter la d´emonstration pr´ec´edente.

Exemples.

— L’application K^p −→ K

(x₁, . . . , x_p) 7−→ x₁× · · · ×x_p est p-lin´eaire sym´etrique.

— L’application

(K²)² −→ K (

a b

,

c d

) 7−→ ad−bc= det(

a b

,

c d

) est une forme bilin´eaire antisym´etrique.

D´efinition. Soit f ∈ L_p(E, F). f est une application p-lin´eaire altern´ee si et seulement si elle annule toutp-uplet de vecteurs deEcontenant au moins deux vecteurs

´ egaux.

Propri´et´e. Soit f ∈L_p(E, F).

Sif est altern´ee, alors elle est antisym´etrique.

Lorsque car(K)6= 2, altern´ee⇐⇒antisym´etrique.

D´emonstration.

Pour simplifier, on se limite au cas o`u p= 2, mais le principe de la d´emonstration est valable dans le cas g´en´eral : il suffit d’adapter au prix de notations plus lourdes.

Supposons que f est altern´ee. Soitx, y ∈E.

0 =f(x+y, x+y) = f(x, x) +f(y, y) +f(x, y) +f(y, x) =f(x, y) +f(y, x), donc f(x, y) = −f(y, x).

On suppose que f est antisym´etrique et que car(K)6= 2. Soit x∈E.

f(x, x) = −f(x, x), donc (2.1_K)f(x, x) = 0, or 2.1_K 6= 0, donc f(x, x) = 0.

Remarque. Lorsque K est de caract´eristique 2, l’´equivalence n’est plus vraie. Par exemple l’application f : (Z/2Z)² −→ Z/2Z d´efinie par f(x, y) = xy est dans L₂(Z/2Z), mais elle n’est pas altern´ee carf(1,1) = 16= 0. Pourtant elle est sym´etrique, donc antisym´etrique, car dans K=Z/2Z, 1_K =−1_K.

Propri´et´e. f ∈ Lp(E, F) est altern´ee si et seulement si pour tout (x1, . . . , xp) ∈E^p, f(x₁, . . . , x_p) ne varie pas lorsque l’on ajoute `a l’un desx_i une combinaison lin´eaire des autres x_j.

Plus formellement, f est altern´ee si et seulement si

∀(x1, . . . , xp)∈E1× · · · ×Ep ∀i∈N^p ∀(αj)j∈Np\{i} ∈K^p−1 f(x₁, . . . , x_p) = f(x₁, . . . , xi−1, x_i+X

j6=i

α_jx_j, x_i+1, . . . , x_p) .

Propri´et´e. f ∈L_p(E, F) est altern´ee si et seulement si l’image parf de toute famille li´ee de vecteurs est nulle.

D´emonstration.

Supposons que f est altern´ee.

Si (x₁, . . . , x_p) est li´e, il existe (α₁, . . . , α_p)∈K^p tel que

p

X

i=1

α_ix_i = 0, avec (α₁, . . . , α_p)6= 0. Il existej ∈ {1, . . . , p}tel queα_j 6= 0. Ainsi,x_j = −1

α_j X

1≤i≤p j6=i

α_ix_i, donc f(x₁, . . . , x_p) =f(x₁, . . . , xj−1,0, x_j+1, . . . , x_p) = 0.

R´eciproquement, supposons que l’image par f de toute famille li´ee de vecteurs est nulle. Tout p-uplet de vecteurs de E contenant au moins deux vecteurs ´egaux est li´e, donc son image par f est nulle. Ceci prouve que f est altern´ee.

Corollaire. SiE est de dimensionn ∈N^∗ et si p > n, toute forme p-lin´eaire altern´ee surE est nulle.

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