A resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes de governo (a equa¸c˜ao da continuidade e as equa¸c˜oes de Navier- Stokes), para escoamentos de interesse pr´atico ´e normalmente t˜ao complexa que uma solu¸c˜ao anal´ıtica ser´a imposs´ıvel de obter, sendo necess´ario a procura de uma solu¸c˜ao computacional. As t´ecnicas computacionais substituem as equa¸c˜oes diferenciais parciais que governam o escoamento por sistemas de equa¸c˜oes alg´ebricas, de modo que se possa usar o computador para obter uma solu¸c˜ao.
O m´etodo mais preciso para a simula¸c˜ao da turbulˆencia ´e a resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Navier-Stokes sem recurso a m´edias ou outras aproxima¸c˜oes que n˜ao sejam as resultantes da discretiza¸c˜ao num´erica, cujo erro pode ser estimado e controlado. Nestas simula¸c˜oes, todos os movimentos contidos no escoamento s˜ao resolvidos. Este m´etodo ´e designado por simula¸c˜ao num´erica directa (DNS – Direct Numerical Simulation). Numa simula¸c˜ao num´erica directa, de modo a assegurar que todas as estruturas significantes da turbulˆencia sejam captadas, o dom´ınio computacional dever´a ser maior que o maior turbilh˜ao. Uma simula¸c˜ao v´alida dever´a tamb´em ser capaz de resolver toda a dissipa¸c˜ao de energia cin´etica. Uma vez que o n´umero de pontos da malha que podem ser usados numa simula¸c˜ao num´erica est´a limitado pela velocidade de processamento e mem´oria do computador, a simula¸c˜ao num´erica directa ´e poss´ıvel apenas a baixos n´umeros de Reynolds. Em com- putadores actuais, ´e poss´ıvel realizar uma simula¸c˜ao num´erica directa de escoamentos ho- mog´eneos a n´umeros de Reynolds Reλ ≈ 1200 (Itakura et al., 2004).
A gama de escalas de comprimento e de tempo associadas `as aplica¸c˜oes no dom´ınio da engenharia requer recursos computacionais que ainda n˜ao se encontram dispon´ıveis ou ent˜ao o custo associado torna a simula¸c˜ao incomport´avel. Deste modo, a utiliza¸c˜ao deste m´etodo em escoamentos turbulentos fica restringido apenas ao estudo de alguns fen´omenos, tal como a curvatura e rota¸c˜ao.
Mesmo que seja poss´ıvel a solu¸c˜ao exacta, os modelos s˜ao muitas vezes usados pela necessidade de redu¸c˜ao do custo. Neste contexto, s˜ao poss´ıveis trˆes abordagens: M´etodo das m´edias de Reynolds (RaNS – Reynolds averaged Navier-Stokes) e um modelo de tur- bulˆencia; M´etodo das grandes escalas da turbulˆencia (LES – Large Eddy simulation) e um modelo de tens˜oes residuais; M´etodo dos turbilh˜oes destacados (DES – Dettached Eddy
simulation), que conjuga as duas abordagens anteriores.
M´etodo das M´edias de Reynolds
Na abordagem RaNS, o modelo k −ε de Launder and Spalding (1972) ´e o mais utilizado em aplica¸c˜oes de engenharia. Outros modelos desta fam´ılia s˜ao, por exemplo, o modelo
k − ε n˜ao-linear de Speziale (1987) e os modelos de segunda ordem de Mellor and Yamada
(1974), Launder et al. (1975) e Zeman and Jensen (1987). O uso de modelos das tens˜oes de Reynolds necessita de uma avalia¸c˜ao cuidada das constantes do modelo sempre que se pretenda simular um escoamento diferente. Em alguns casos, os recursos computacionais
1.2. M´etodos para a Simula¸c˜ao Computacional 9
exigidos fazem com que os modelos das tens˜oes de Reynolds sejam pouco competitivos quando comparados com a simula¸c˜ao das grandes escalas da turbulˆencia (Pope, 2000).
Simula¸c˜ao das Grandes Escalas da Turbulˆencia
A simula¸c˜ao das grandes escalas da turbulˆencia ´e uma t´ecnica que se situa entre o m´etodo das m´edias de Reynolds e o da simula¸c˜ao num´erica directa. Em LES, a con- tribui¸c˜ao das grandes estruturas, respons´aveis pela maior parte do transporte, ´e calculada exactamente. Apenas o efeito das pequenas escalas da turbulˆencia ´e modelado. Uma vez que as pequenas escalas tendem a ser mais homog´eneas e isotr´opicas e menos afectadas pelas condi¸c˜oes de fronteira que as grandes escalas, espera-se que o modelo necess´ario seja mais simples e que necessite de poucos ajustamentos quando aplicado a diferentes escoamentos e quando comparado com modelos da metodologia RaNS.
A simula¸c˜ao das grandes escalas da turbulˆencia tem verificado um aumento de popu- laridade nos ´ultimos anos. Um dos avan¸cos mais significativos nesta t´ecnica como um meio vi´avel na previs˜ao de escoamentos turbulentos complexos surgiu com o desenvolvimento da classe dos modelos dinˆamicos de tens˜oes residuais (Germano et al., 1991). Neste proce- dimento, o coeficiente do modelo passa a ser fun¸c˜ao da posi¸c˜ao e do tempo (Sagaut et al., 1999), sendo determinado a partir do campo do escoamento resolvido.
O LES ´e similar ao DNS na solu¸c˜ao obtida para as equa¸c˜oes de Navier-Stokes, tridimen- sional e dependente do tempo. Assim, o LES ainda requer uma malha fina. Contudo, esta t´ecnica pode ser usada a n´umeros de Reynolds mais elevados que o m´etodo da simula¸c˜ao num´erica directa, mantendo algumas das suas vantagens. De facto, se as pequenas escalas obedecerem `a dinˆamica do intervalo inercial, o custo de uma simula¸c˜ao LES ´e independente do n´umero de Reynolds, o que n˜ao ser´a verdade na presen¸ca de fronteiras s´olidas (Piomelli, 2004).
De facto, um dos problemas das simula¸c˜oes das grandes escalas da turbulˆencia em es- coamentos complexos ´e a grande resolu¸c˜ao requerida nas proximidades de paredes. As tens˜oes de corte de Reynolds, que estabelecem as velocidades m´edias, s˜ao determinadas pelas grandes escalas turbulentas. Em LES, as tens˜oes de submalha devem ser fornecidas pelo modelo de submalha, mas a maioria dos modelos actuais n˜ao reproduzem correcta- mente as tens˜oes de corte (Jim´enez and Moser, 1998). As simula¸c˜oes devem ser conduzidas de modo a que o maior contributo para as tens˜oes de corte seja dos turbilh˜oes resolvidos, implicando isto, que o filtro n˜ao dever´a ser mais largo que uma pequena frac¸c˜ao fixa da escala turbilhonar integral local. `A medida que a parede se aproxima, a escala integral diminui e tamb´em a largura do filtro. Baggett et al. (1997) estimaram que o n´umero de pontos requeridos para uma malha satisfaz as exigˆencias de escala com N ∼ Re2
τ e aumenta
sem limite com o n´umero de Reynolds. A maior parte desses pontos est˜ao concentrados na regi˜ao pr´oxima da parede. A resolu¸c˜ao resultante foi durante algum tempo bloqueio para a aplica¸c˜ao pr´atica do LES (Chapman, 1979). Uma aproxima¸c˜ao capaz de eliminar as restri¸c˜oes a n´umeros de Reynolds moderados ´e atrav´es do uso de modelos ou leis de parede. Nesta aproxima¸c˜ao, para al´em da aplica¸c˜ao da condi¸c˜ao de fronteira de n˜ao-escorregamento
na velocidade, o efeito da parede ´e indirectamente imposto no LES atrav´es das tens˜oes de corte instantˆaneas. As tens˜oes na parede s˜ao por sua vez fornecidas por um conjunto de condi¸c˜oes de fronteira aproximadas.
Simula¸c˜ao dos Turbilh˜oes Destacados
Uma outra metodologia que tem recebido uma consider´avel aten¸c˜ao nos ´ultimos anos, devido ao seu sucesso na previs˜ao de campos inst´aveis de velocidade e press˜ao em escoa- mentos que apresentam zonas de separa¸c˜ao, ´e a simula¸c˜ao dos turbilh˜oes destacados (DES – Detached Eddy Simulation). O m´etodo apresenta como caracter´ısticas positivas: bem definido, f´acil de programar e fornece naturalmente informa¸c˜ao inst´avel, desde que a tur- bulˆencia de pequena escala seja gerada a partir das instabilidades de camadas de corte presentes em escoamentos separados. O m´etodo tem-se mostrado superior `a metodologia URaNS (Unsteady RaNS ) na solu¸c˜ao de escoamentos sobre corpos n˜ao fuselados, con- duzindo a uma previs˜ao mais precisa dos espectros e das distribui¸c˜oes de press˜ao. O DES ´e particularmente bem sucedido quando o ponto de separa¸c˜ao ´e fixo, ou quando o escoa- mento a montante da separa¸c˜ao ´e laminar. Quando a separa¸c˜ao turbulenta ocorre, erros na regi˜ao de RaNS tornam-se importantes. Estes s˜ao relacionados com a conhecida falha dos modelos de turbulˆencia RaNS na previs˜ao de escoamentos em acelera¸c˜ao (especialmente relaminariza¸c˜ao), e com a dificuldade de previs˜ao do ponto de transi¸c˜ao. Os c´alculos de es- coamentos sub-cr´ıticos e super-cr´ıticos sobre esferas (Constantinescu et al., 2002) mostram este ponto de forma muito convincente.
No geral, o DES funciona bem quando na regi˜ao de RaNS o comprimento de mis- tura ´e mais pequeno que o tamanho da malha, enquanto, na regi˜ao de LES acontece o oposto (o comprimento de mistura do escoamento ´e maior que o tamanho da malha), e os turbilh˜oes resolvidos dominam o transporte de quantidade de movimento e de energia. Erros podem ser introduzidos se a viscosidade turbilhonar ´e reduzida abaixo do n´ıvel de RaNS, enquanto ao mesmo tempo a malha ´e insuficiente para resolver os turbilh˜oes que transportam energia e quantidade de movimento. Um c´alculo deste tipo ´e, para todos os efeitos, um RaNS inst´avel, e incorrectamente com n´ıveis baixos de viscosidade turbilhonar. Apesar do referido, estudos de refinamento de malha s˜ao essenciais para obter um DES preciso. Comutar de uma simula¸c˜ao de RaNS para uma de DES numa determinada malha pode inicialmente degradar a qualidade da solu¸c˜ao, uma vez que a malha de RaNS ´e geral- mente muito grossa para resolver os turbilh˜oes importantes do escoamento. S˜ao exigidos estudos sistem´aticos de refinamento de malha para assegurar uma adequada resolu¸c˜ao das estruturas turbulentas (Piomelli, 2004).
A metodologia DES tamb´em parece promissora em escoamentos que n˜ao s˜ao massiva- mente separados: escoamentos com zonas de separa¸c˜ao rasas, ou escoamentos de elevado n´umero de Reynolds. Em algumas aplica¸c˜oes, c´alculos tipo DES nos quais a regi˜ao de LES penetra dentro da camada limite podem ser eficazes.
Apesar das limita¸c˜oes inerentes da modela¸c˜ao RaNS, o DES pode ser a ferramenta dispon´ıvel mais precisa na previs˜ao de escoamentos externos sobre geometrias complexas.