Image d’une famille par une application lin´ eaire

D´efinition. Soient E etF deuxK-espaces vectoriels, u∈L(E, F)

et x = (x_i)i∈I ∈ E^I. La famille (u(x_i))i∈I est appel´ee l’image de la famille x par l’application lin´eaire u.

On notera (u(x_i))i∈I =u(x). On remarquera quex∈E^I et que u(x)∈F^I. Propri´et´e. Avec les notations pr´ec´edentes, Ψ_u(x) =u◦Ψ_x.

D´emonstration.

Soit (α_i)∈K^(I). Ψ_u(x)((α_i)) =X

i∈I

α_iu(x_i) =u X

i∈I

α_ix_i

!

= (u◦Ψ_x)((α_i)).

Th´eor`eme.

• L’image d’une famille libre par une injection lin´eaire est une famille libre.

• L’image d’une famille g´en´eratrice par une surjection lin´eaire est g´en´eratrice.

• L’image d’une base par un isomorphisme est une base.

D´emonstration.

Soient E et F deux K-espaces vectoriels ,u∈L(E, F) et x= (x_i)_i∈I ∈E^I.

• Supposons que x est libre et que uest injective. Alors u et Ψ_x sont injectives, donc Ψ_u(x) est injective en tant que compos´ee de deux applications injectives. Ainsiu(x) est une famille libre.

• Supposons quexest g´en´eratrice et queuest surjective. Alorsuet Ψ_xsont surjectives, donc Ψ_u(x) est surjective en tant que compos´ee de deux applications surjectives. Ainsi u(x) est une famille g´en´eratrice.

Th´eor`eme. Deux espaces de dimensions finies ont la mˆeme dimension si et seulement si ils sont isomorphes.

D´emonstration.

Soit E etF deux K-espaces vectoriels de dimensions finies respectivesn et m.

Suppose qu’il existe un isomorphisme f deE dansF. Soit e= (e₁, . . . , e_n) une base de E. Alors (f(e₁), . . . , f(e_n)) est une base deF, donc dim(F) =n = dim(E).

R´eciproquement, supposons que n = m. On sait que l’application Ψe canoniquement associ´ee `ae est un isomorphisme deKⁿdans E. De mˆeme on montre que F etKⁿsont isomorphes, donc E etF sont isomorphes.

Remarque. On dispose ainsi de deux techniques importantes pour calculer la dimen-sion d’un espace vectorielE : rechercher une base de E et calculer son cardinal ou bien chercher un isomorphisme entreE et un espace de dimension connue.

Exercice. Montrer que le cardinal d’un corps fini est de la forme pⁿ o`u p ∈ P etn∈N^∗

Solution : Soit L un corps fini. Alors car(L)6= 0, donc en posant p = car(L), p∈ P. Notons K le sous-corps premier de L. On sait que K est isomorphe `a Fp, donc il est de cardinalp.

Lest unK-espace vectoriel , et (x)x∈L est une famille g´en´eratrice finie de L, donc Lest de dimension finie. Posonsn = dim_K(L). AlorsL est unK-espace vectoriel isomorphe `aKⁿ, donc|L|=pⁿ.

Propri´et´e. Soit E etF deux espaces de dimensions finies et soit f ∈L(E, F).

Sif est injective, alors dim(E)≤dim(F).

Sif est surjective, alors dim(E)≥dim(F).

Propri´et´e. SoientEetF deuxK-espaces vectoriels de dimensions quelconques. Soient u∈L(E, F) et Gun sous-espace vectoriel de E de dimension finie. Alors

u(G) est de dimension finie et dim(u(G))≤dim(G), avec ´egalit´e lorsqueuest injective.

D´emonstration.

u|^u(G)_G est surjective. Elle est bijective lorsqueu est injective.

Propri´et´e. L’image d’une famille g´en´eratrice par une application lin´eaire u est une famille g´en´eratrice de Im(u).

D´emonstration.

Soient E etF deuxK-espaces vectoriels , u∈L(E, F) et x= (xi)i∈I ∈E^I une famille g´en´eratrice de E.

L’application E −→ Im(u)

y 7−→ u(y) est surjective, donc u(x), en tant qu’image de x par cette application, est une famille g´en´eratrice deIm(u).

Propri´et´e. L’image d’une famille li´ee par une application lin´eaire est li´ee.

D´emonstration.

Soient E etF deuxK-espaces vectoriels , u∈L(E, F) et x= (xi)i∈I ∈E^I une famille li´ee de E. Ainsi il existe (α_i)_i∈I ∈K^(I)\ {0} tel que X

i∈I

α_ix_i = 0.

0 =u(X

i∈I

α_ix_i) = X

i∈I

α_iu(x_i), doncu(x) est aussi une famille li´ee.

Th´eor`eme.

On suppose que E est un K-espace vectoriel admettant une basee= (e_i)_i∈I.

Soit f = (f_i)i∈I une famille quelconque de vecteurs d’un second K-espace vectoriel F. Il existe une unique application lin´eaire u∈L(E, F) telle que, ∀i∈I u(e_i) = f_i. De plus, (f_i)_i∈I est







libre

g´en´eratrice une base

si et seulement si u est







injective surjective bijective

. D´emonstration.

Soit u∈L(E, F).

(∀i∈I u(e_i) =f_i) ⇐⇒ ∀(α_i)∈K^(I) X

i∈I

α_iu(e_i) =X

i∈I

α_if_i

⇐⇒Ψ_u(e) = Ψf ⇐⇒u◦Ψe = Ψf

⇐⇒u= Ψ_f ◦Ψ⁻¹_e car e ´etant une base Ψ_e est un isomorphisme.

Ainsi il existe une unique application lin´eaireu∈L(E, F) telle que∀i∈I u(e_i) =f_i. Il s’agit deu= Ψ_f ◦Ψ⁻¹_e .

f est libre si et seulement si Ψ_f est injective, donc si et seulement si u= Ψ_f ◦Ψ⁻¹_e est injective.

f est g´en´eratrice si et seulement si Ψ_f est surjective, donc si et seulement siu= Ψ_f◦Ψ⁻¹_e est surjective.

Remarque. Ce th´eor`eme affirme notamment qu’une application lin´eaireu∈L(E, F) est injective (resp : surjective, bijective) si et seulement si l’image par u d’une base de E est une famille libre (resp : une famille g´en´eratrice, une base) de F.

Corollaire.

Soit E etF deux espaces vectoriels de dimensions finies et soit u∈L(E, F).

Si dim(E) = dim(F), alors uinjective⇐⇒u surjective⇐⇒ubijective.

D´emonstration.

Notons n = dim(E) = dim(F). Soit e une base de E. Alors u est injective si et seulement si u(e) est libre dans F, or |u(e)| = n = dim(F), donc u est injective si et seulement si u(e) est une base de F, c’est-`a-dire si et seulement si u est bijective. On raisonne de mˆeme pour la surjectivit´e.

Exercice. Soit u∈L(K[X]) tel que pour tout P ∈ K[X], deg(u(P)) = deg(P).

Montrer queu est un automorphisme sur K[X].

Solution :Soit P ∈Ker(u) : deg(P) = deg(u(P)) =−∞, donc u(P) = 0. Ainsi, Ker(u) ={0} etu est injective.

Soit n ∈ N. Pour tout P ∈ Kn[X], deg(u(P)) = deg(P) ≤ n, donc Kn[X] est stable paruet l’endomorphismeu_n induit parusurKⁿ[X] est bien d´efini. u_nest lin´eaire injective de Kn[X] dans Kn[X] qui est de dimension finie, donc c’est un automorphisme deKn[X].

Soit P ∈ K[X]. Il existe n ∈ N tel que P ∈Kⁿ[X], donc il existeQ ∈Kⁿ[X] tel queu_n(Q) = P. Alors u(Q) = P, ce qui prouve que u est surjective.

Par exemple,P 7−→P +P⁰+ 2P⁰⁰ est un automorphisme de K[X].

Propri´et´e. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E). Alors u inversible dans L(E) ⇐⇒uinversible `a droite dans L(E)

⇐⇒uinversible `a gauche dans L(E). D´emonstration.

Siuest inversible `a droite, il existev ∈L(E) tel quevu =Id<sub>E</sub>. Alorsuest injectif, mais E est de dimension finie, doncu est un isomorphisme, c’est-`a-dire queu est inversible dans L(E).

On raisonne de mˆeme `a gauche.

Corollaire. Soit A∈ M_n(K). Alors

A inversible dans M_n(K) ⇐⇒A inversible `a droite dans M_n(K)

⇐⇒A inversible `a gauche dans M_n(K). D´emonstration.

A est inversible `a droite dans M<sub>n</sub>(K) si et seulement si il existe B ∈ M<sub>n</sub>(K) telle queBA =I<sub>n</sub>, i.e telle que ˜BA˜=Id<sub>K</sub><sup>n</sup>, donc si et seulement si ˜A est inversible `a droite dans L(Kⁿ).

De mˆeme, A est inversible `a gauche dans M_n(K) si et seulement si ˜A est inversible

`

a gauche dans L(Kⁿ).

De plus, on sait que A est inversible dans M_n(K) si et seulement si ˜A est inversible dans L(Kⁿ).

Exercice. Soit A une K-alg`ebre et B une sous-alg`ebre de A de dimension finie.

Soit b∈B. Montrer que si b est inversible dans A, alors b⁻¹ ∈B. Solution : Notons u: B −→ B

x 7−→ bx.u est lin´eaire. De plus, pour x∈B, x ∈ Ker(u) ⇐⇒ bx = 0 ⇐⇒ b⁻¹bx = 0 ⇐⇒ x = 0, donc u est injective. Or B est de dimension finie, donc u est un isomorphisme. En particulier, 1_A poss`ede un ant´ec´edent par u : il existec∈B tel que bc= 1_A. Alors b⁻¹ =c∈B.

Propri´et´e. Soit A ∈ M_n(K) une matrice triangulaire sup´erieure, dont la diagonale est not´ee (a₁, . . . , a_n). AlorsA est inversible si et seulement si pour touti∈ {1, . . . , n}, a_i 6= 0, et dans ce cas, A⁻¹ est encore triangulaire sup´erieure et sa diagonale est 1

a₁, . . . , 1 a_n

. D´emonstration.

Notons T l’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures. On a d´ej`a vu que T est une sous-alg`ebre deM_n(K) et nous sommes en dimension finie, donc d’apr`es l’exercice pr´ec´edent, si A∈ T est inversible, alors A⁻¹ ∈ T. Les ´el´ements diagonaux de

I_n = AA⁻¹ sont ´egaux au produit des ´el´ements diagonaux de A et de A⁻¹, donc les

´

el´ements diagonaux de A sont non nuls et les ´el´ements diagonaux de A⁻¹ sont les inverses des ´el´ements diagonaux de A.

R´eciproquement, supposons que pour tout i∈Nn, A_i,i 6= 0.

Soit X ∈Kⁿ tel que AX = 0. Pour tout i∈Nn, (E_i) : 0 = [AX]_i =

n

X

j=1

A_i,jX_j =

n

X

j=i

A_i,jX_j, car A est triangulaire sup´erieure.

Pour i = n, (E_n) se r´eduit `a A<sub>n,n</sub>X<sub>n</sub> = 0, or A<sub>n,n</sub> 6= 0, donc X<sub>n</sub> = 0. Alors (En−1) se r´eduit `a An−1,n−1Xn−1 = 0, or An−1,n−1 6= 0, donc Xn−1. Par r´ecurrence descendante, on en d´eduit queX = 0.

Ainsi Ker( ˜A) ={0}, donc ˜Aest une application lin´eaire injective deKⁿdans lui-mˆeme, or Kⁿ est de dimension finie, donc ˜A est un isomorphisme, ce qui prouve que A est inversible.

Propri´et´e. Soit E unK-espace vectoriel admettant une base (e_i)i∈I. AlorsL(E, F) est isomorphe `a F^I.

D´emonstration.

L’application L(E, F) −→ F^I u 7−→ (u(ei))i∈I

est une application lin´eaire et le th´eor`eme pr´ec´edent montre que toute famille (f_i)i∈IdeF^Iadmet un unique ant´ec´edent pour cette application, donc qu’elle est bijective. Ainsi cette application est un isomorphisme.

Th´eor`eme. Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies. Alors dim(L(E, F)) = dim(E)×dim(F).

D´emonstration.

Posons n = dim(E) et notons e = (e_i)1≤i≤n une base de E. D’apr`es le pr´ec´edent corollaire, dim(L(E, F)) = dim(F^{1,...,n}) = dim(Fⁿ) =n×dim(F).