2 L’exemple fondamental de la s´ erie g´ eom´ etrique

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre V

S´ eries ` a termes r´ eels

Table des mati` eres

1 S´eries convergentes, s´eries divergentes 2

2 L’exemple fondamental de la s´erie g´eom´etrique 3

3 Deux propri´et´es ´el´ementaires des s´eries 3

4 S´eries `a termes r´eels positifs 4

5 Six s´eries de r´ef´erence 6

1 S´ eries convergentes, s´ eries divergentes

D´efinition (s´erie convergente, s´erie divergente) :Soit (un)_n≥n0 une suite r´eelle. On lui associe la suite (Sn)_n≥n0 de ses sommes partielles d´efinie par :

∀n∈N^≥n0 Sn =

n

X

k=n0

uk.

• On dit que la s´erie de terme g´en´eral un converge si la suite (Sn)n≥n₀ est convergente. Dans ce cas, on appelle somme de la s´erie de terme g´en´eralun (n≥n0) et on note

+∞

X

n=n₀

un la limite lim

n→+∞Sn (qui est un nombre r´eel). On a donc :

+∞

X

n=n₀

un = lim

n→+∞Sn.

• On dit que la s´erie de terme g´en´eralu_n diverge si elle ne converge pas.

Exemple 1 :On d´eduit de l’identit´e :

1

n(n+ 1) = 1 n− 1

n+ 1 valable pour toutn∈N^∗ que la s´erie de terme g´en´eral 1

n(n+ 1) (n≥1) converge et que sa somme vaut 1.

Exemple 2 :La s´erie de terme g´en´eraln(n≥0) est divergente.

Th´eor`eme 1 (reste d’une s´erie convergente) : Soit (u_n)_n≥n0 une suite r´eelle telle que la s´erie de terme g´en´eral u_n converge. SoitN ≥n₀. Alors la limite

n→+∞lim

n

X

k=N

uk

existe et est finie. On la note

+∞

X

k=N

uk et on l’appelle reste d’ordreN de la s´erie convergente de terme g´en´eral un. On a la relation :

+∞

X

k=n₀

uk=

N−1

X

k=n₀

uk+

+∞

X

k=N

uk.

D´emonstration du th´eor`eme 1

Remarque (nature d’une s´erie versus premiers termes) : Soit (un)n≥n₀ une suite r´eelle et soit n1 un entier tel quen1> n0. La relation de Chasles nous donne :

(?)

n

X

k=n0

u_k =

n1−1

X

k=n0

u_k

| {z }

constante ind´ependante den

+

n

X

k=n1

u_k

pour tout entier n ≥ n1. On en d´eduit que la suite

n

X

k=n0

uk

!

n≥n0

converge si et seulement si la suite

n

X

k=n1

uk

!

n≥n1

converge. En d’autres termes, les natures des s´eries de termes g´en´eraux un (n ≥ n0) et un

(n≥n₁) sont les mˆemes.

On a donc montr´e que la nature de la s´erie de terme g´en´eralun(n≥n0) ne d´epend pas des premiers termes de la suite (un)_n≥n0, en l’occurence ici de :un₀, un₀+1, . . . , un₁−1(cf. constante apparaissant dans la d´ecomposition (?)).

Remarque (somme d’une s´erie convergente versus premiers termes) :Soit (u_n)_n≥n0 une suite r´eelle.

Si la s´erie de terme g´en´eralun (n≥n0) est convergente, alors sa somme

+∞

X

n=n₀

un d´ependa priorides premiers termes de la suite (un)n≥n0.

Rappels sur les suites g´eom´etriques

1. Soitqun nombre r´eel. On a les r´esultats suivants pour le comportement asymptotique de la suite (qⁿ)_n∈

N. (a) Siq≤ −1, alors la suite (qⁿ)_n∈Ndiverge.

(b) Si−1< q <1, alorsqⁿ →

n→+∞0.

(c) Siq= 1, alors la suite (qⁿ)_n∈Nest constante ; tous ses termes valent 1 et doncqⁿ →

n→+∞1.

(d) Siq >1, alorsqⁿ →

n→+∞+∞.

2. Siqest un nombre r´eel diff´erent de 1, alors pour toutn∈N:

n

X

k=0

q^k =1−qⁿ⁺¹ 1−q . La d´emonstration de ce r´esultat est `a connaˆıtre.

Exemple 3 :La s´erie de terme g´en´eral 1

2ⁿ (n≥0) est convergente et l’on a :

+∞

X

n=0

1

2ⁿ = 2.Son reste d’ordre 2 vaut 1

2.

2 L’exemple fondamental de la s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 2 (nature d’une s´erie g´eom´etrique) :Soitq∈Ret soit (qⁿ)n≥0la suite g´eom´etrique de raison qet de premier terme 1.

1. Siq∈]−1,1[, alors la s´erie de terme g´en´eralqⁿ converge et on a :

+∞

X

n=0

qⁿ= 1 1−q.

2. Siq∈]− ∞,−1]∪ [1,+∞[, alors la s´erie de terme g´en´eral qⁿ diverge.

D´emonstration du th´eor`eme 2

Exemple 4 :La s´erie de terme g´en´eral 1

5ⁿ (n≥0) est convergente et l’on a :

+∞

X

n=0

1 5ⁿ = 5

4.

3 Deux propri´ et´ es ´ el´ ementaires des s´ eries

Th´eor`eme 3 (condition n´ecessaire, mais non suffisante, de convergence) :

1. Soit (u_n)_n≥n0 une suite r´eelle. Si la s´erie de terme g´en´eralu_n (n≥n₀) converge, alorsu_n →

n→+∞0.

2. Il existe des s´eries qui ont un terme g´en´eral qui tend vers 0, mais qui divergent (la s´erie de terme g´en´eral 1

n (n≥1) par exemple).

D´emonstration du th´eor`eme 3 Exemple 5

1. Le s´erie de terme g´en´eral n

n+ 3 (n≥0) n’est pas convergente. En effet : n n+ 3 →

n→+∞16= 0.

2. Le s´erie de terme g´en´eral sin(n) (n≥0) n’est pas convergente. En effet, on peut montrer (et on montrera

`

a l’aide d’un raisonnement par l’absurde, par exemple) que la suite (sin(n))_n≥0 ne tend pas vers 0.

Th´eor`eme 4 (convergence et lin´earit´e) :Soit (u_n)_n≥n0 et (v_n)_n≥n0 deux suites r´eelles telles que les s´eries de termes g´en´erauxu_n etv_n (n≥n₀) convergent. Soientλ, µ∈R⁺. Alors la s´erie de terme g´en´eralλu_n+µv_n (n≥n₀) converge et on a :

+∞

X

n=n₀

λun+µvn=λ

+∞

X

n=n₀

un

! +µ

+∞

X

n=n₀

vn

! .

D´emonstration du th´eor`eme 4

Exemple 6 :La s´erie de terme g´en´eral 4

n(n+ 1)− 1

2ⁿ⁻¹ (n≥1) converge et sa somme vaut 2.

4 S´ eries ` a termes r´ eels positifs

Rappel (comportement asymptotique d’une suite croissante) :Soit (an)_n≥n0 une suite croissante. On a le r´esultat de dichotomie suivant, pour le comportement asymptotique de la suite (an)_n≥n0.

1. Si la suite (an)n≥n0 est major´ee, alors la suite (an)n≥n0 est convergente et si l∈Rd´esigne sa limite, on a :

∀n∈N^≥n0 a_n≤l.

2. Si la suite (an)_n≥n0 n’est pas major´ee, alors la suite (an)_n≥n0 diverge vers +∞.

Th´eor`eme 5 (dichotomie dans le cas positif ) :Soit (un)<sub>n≥n0</sub> une suite r´eelle `a termes positifs. On note (Sn)_n≥n0 la suite de ses sommes partielles d´efinie par :

∀n∈N^≥n0 Sn =

n

X

k=n0

uk.

1. La suite (S_n)_n≥n0 est croissante.

2. Si (Sn)_n≥n0 est major´ee, alors la s´erie de terme g´en´eralun (n≥n0) est convergente et on a :

∀n∈N^≥n0 Sn≤

+∞

X

k=n₀

uk.

3. Si (Sn)n≥n₀ n’est pas major´ee, alors la suite (Sn)n≥n₀ diverge vers +∞; la s´erie de terme g´en´eral un

(n≥n0) est donc divergente.

D´emonstration du th´eor`eme 5 Exemple 7 :Pour toutk∈N^≥2, on a :

1 k² ≤

Z k

k−1

1

x² dx= 1 k−1 −1

k.

On en d´eduit que pour toutn∈N^≥2, on a : Sn=

n

X

k=2

1

k² ≤1− 1 n ≤1.

La suite (S_n)_n≥2 est donc major´ee (par 1). La s´erie de terme g´en´eral positif 1

n² (n≥2) est donc convergente.

Remarque (un point de culture math´ematique) :On d´eduit de l’exemple 7 et de la remarque au bas de la page 2 que la s´erie de terme g´en´eral 1

n² (n≥1) est convergente. On peut d´emontrer, mais on ne le fait pas ici, que :

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 .

Th´eor`eme 6 (convergence d’une s´erie associ´ee `a une sous-suite) :Soit (u_n)_n≥n0 une suite `a termes positifs telle que la s´erie de terme g´en´eral u<sub>n</sub> (n ≥ n<sub>0</sub>) converge. Soit i<sub>0</sub> < i<sub>1</sub> < . . . < i<sub>n</sub> < . . . une suite strictement croissante d’entiers tous sup´erieurs ou ´egaux `a n₀. Alors la s´erie de terme g´en´eral u_in (n ≥ 0) converge et :

+∞

X

n=0

u_in≤

+∞

X

n=n₀

u_k.

D´emonstration du th´eor`eme 6

Th´eor`eme 7 (comparaison pour les s´eries `a termes positifs) : Soient (un)n≥n₀ et (vn)n≥n₀ deux suites r´eelles `a termes positifs. On suppose que la suite (vn)n≥n0 domine la suite (un)n≥n0, i.e. que :

∀n∈N^≥n0 u_n≤v_n.

1. Si la s´erie de terme g´en´eralv_n (n≥n₀) est convergente, alors la s´erie de terme g´en´eralu_n (n≥n₀) est

´

egalement convergente et on a :

+∞

X

n=n0

u_n≤

+∞

X

n=n0

v_n.

2. Si la s´erie de terme g´en´eral un (n≥ n0) est divergente, alors la s´erie de terme g´en´eralvn (n ≥n0) est

´

egalement divergente.

D´emonstration du th´eor`eme 7

Exemple 8 :La s´erie de terme g´en´eral 1

2ⁿ+n+ 3 (n≥0) est `a termes positifs. De plus pour toutn∈N: 1

2ⁿ+n+ 3 ≤ 1 2ⁿ =

1 2

ⁿ .

Comme la s´erie de terme g´en´eral 1

2 ⁿ

(n≥0) est convergente, de somme 2, la s´erie de terme g´en´eral 1 2ⁿ+n+ 3 (n≥0) est ´egalement convergente et l’on a :

+∞

X

n=0

1

2ⁿ+n+ 3 ≤2.

Remarque (version`a partir d’un certain rang du th´eor`eme 7) :Soient (un)n≥n₀ et (vn)n≥n₀ deux suites r´eelles `a termes positifs. On suppose que la suite (vn)n≥n0 domine la suite (un)n≥n0 `a partir d’un certain rang, i.e. qu’il existe un entier n₁> n₀ tel que :

∀n∈N^≥n1 u_n≤v_n.

1. Si la s´erie de terme g´en´eralv_n (n≥n₀) est convergente, alors la s´erie de terme g´en´eralu_n (n≥n₀) est

´

egalement convergente.

2. Si la s´erie de terme g´en´eral u_n (n≥ n₀) est divergente, alors la s´erie de terme g´en´eralv_n (n ≥n₀) est

´

egalement divergente.

On d´eduit ces deux assertions du th´eor`eme 7 (appliqu´e aux deux s´eries de termes g´en´eraux u_n (n≥n₁) etv_n (n≥n1)) et de la remarque au bas de la page 2.

Contrairement au th´eor`eme 7, on ne peut rien direa priori de l’ordre entre

+∞

X

n=n₀

u_n et

+∞

X

n=n₀

v_n car on n’a pas d’information sur l’ordre entre les premiers termes u_n0 et v_n0, u_n0+1 et v_n0+1, . . ., u_n1−1 et v_n1−1 des deux suites (u_n)_n≥n0 et (v_n)_n≥n0.

5 Six s´ eries de r´ ef´ erence

Th´eor`eme 8 (six s´eries de r´ef´erence) 1. Soit−1< q <1.

(a) La s´erie g´eom´etrique de terme g´en´eralqⁿ (n≥0) converge et on a :

+∞

X

n=0

qⁿ = 1 1−q.

(b) La s´erie g´eom´etrique d´eriv´ee de terme g´en´eralnqⁿ⁻¹ (n≥1) converge et on a :

+∞

X

n=1

nqⁿ⁻¹= 1 (1−q)².

(c) La s´erie g´eom´etrique d´eriv´ee seconde de terme g´en´eraln(n−1)qⁿ⁻²(n≥2) converge et on a :

+∞

X

n=2

n(n−1)qⁿ⁻²= 2 (1−q)³. 2. Soitλ∈]0,+∞[.

(a) La s´erie exponentielle de terme g´en´eral λⁿ

n! (n≥0) converge et on a :

+∞

X

n=0

λⁿ n! =e^λ.

(b) La s´erie exponentielle d´eriv´ee de terme g´en´eralnλⁿ⁻¹

n! (n≥1) converge et on a :

+∞

X

n=1

nλⁿ⁻¹ n! =e^λ.

(c) La s´erie exponentielle d´eriv´ee seconde de terme g´en´eraln(n−1)λⁿ⁻²

n! (n≥2) converge et on a :

+∞

X

n=2

n(n−1)λⁿ⁻² n! =e^λ.

El´´ ements de preuve du th´eor`eme 8

1. Le r´esultat 1.(a) a ´et´e d´emontr´e dans le th´eor`eme 2. Pour les preuves de 1.(b) et 1.(c), on renvoie `a l’exercice 70.

2. Le r´esultat 2.(a) sera d´emontr´e dans le chapitre Compl´ements sur l’int´egration`a l’aide de la formule de Taylor avec reste int´egral. Les r´esultats 2.(b) et 2.(c) se d´eduisent de 2.(a), en revenant `a la d´efinition de la convergence d’une s´erie et en effectuant un changement d’indice.