D´ef.:groupe sym´etrique S(E) =permutations de E = bijectionsE →E D´ef.:corps: groupe (K,+,0) plus loi·distributive sur + (x·(y+z) =x·y+x·z, (x+y)·z=x·z+y·z), telle que (K

Alg`ebre lin´eaire : notions importantes

1 Espaces vectoriels 1.1 Pr´eliminaires

D´ef.: groupe : ensemble G plus loi∗ :G×G→ G associative (∀x, y, z :x∗(y∗z) = (x∗y)∗z), avec ´el. neutre (∃e,∀x:e∗x=x∗e=x) et sym´etrique (∀x,∃¯x:x∗x¯= ¯x∗x=e).

ab´elien = commutatif : x∗y=y∗x; notation additive :∗= +, e= 0, x∗y¯=x−y.

Ex.: (Z,+), (R^∗,·), ({z∈C| |z|= 1},·) groupes ab´eliens, (N,+) non.

D´ef.:groupe sym´etrique S(E) =permutations de E = bijectionsE →E

D´ef.:corps: groupe (K,+,0) plus loi·distributive sur + (x·(y+z) =x·y+x·z, (x+y)·z=x·z+y·z), telle que (K^∗,·) est un groupe ; corpscommutatifsi (K^∗,·) ab´elien. (K^∗≡K\ {0}) Convention :a+b·c≡a+ (b·c) ; neutre et sym´etrique pour·not´es 1 et x⁻¹.

Ex.:Q,R,C corps commutatifs,Znon.

1.2 Espace vectoriel

D´ef.:espace vectorielsur le corps K(K–e.v.) : groupe (E,+, o) avec?:K×E→E t.q. 1? x=x, λ ?(µ ? x) = (λ·µ)? xet λ ?(x+y) =λ ? x+λ ? y, (λ+µ)? x=λ ? x+µ ? x.

Ex.: Un corpsKest L–e.v. pour tout sous-corpsL⊂K, par ex.Q⊂R⊂C Prop.:K,E^I ={f :I →E}=

(fi)_i∈I etE^(I) =

f ∈E^I | {i∈I |fi 6=o} fini sontK–e.v.

Ex.:R³, Kⁿ, K[X]'K^(N), K^N, E^I, Q

i∈IE_i avec +,·par composante.

1.3 Sous-espace vectoriel

D´ef.:A+B={a+b;a∈A, b∈B}, C·A={λ·a;λ∈C, a∈A}.

D´ef.:sous-espace vectoriel(s.e.v.) : sous-ensembleF 6=∅d’unK–e.v.E, t.q.F+F ⊂F,K·F ⊂F («stable pour + et·»).

Ex.:{o},E sont s.e.v. deE; tout autre s.e.v. est sous-espace propre.

Ex.:Kn[X] (polynˆomes de deg≤n) est sev deK[X].

Prop.:F s.e.v. ssio∈F et∀λ, µ∈K, ∀x, y∈F :λx+µy∈F.

Ex.:

x∈R³ |x2 = 0 est s.e.v.,

x∈R² |x1= 1 non.

Prop.:F ⊂E est s.e.v. de (E,+,·) ssi (F,+,·) est espace vectoriel.

Ex.: Ladroite vectorielle engendr´ee para∈E,K·a={λa;λ∈K}, est s.e.v. de E.

Ex.:R·(1 +i) est s.e.v. du R–e.v. C;Kn[X] (polynˆomes de deg≤n) est sev deK[X].

Ex.: Dans R^N (suites r´eelles), C = {(x_n)|limx_n∈R}, C₀ = {(x_n)|limx_n= 0}, S = {(x_n)| ∀n > N, x_n=xN} sont des s.e.v.

1.4 Somme de s.e.v.

D´ef.:somme des s.e.v. F, G :F+G={x+y; x∈F, y ∈G}.

Prop.: SiF etGsont s.e.v. duK–ev E, alorsF+Gest s.e.v. de E.

Ex.:R·(1,0) +R·(1,1) =R², R·1 +R·i=C. Cor.: SiF₁, ..., F_n s.e.v. de E, alorsPn

i=1F_i≡F₁+· · ·+F_nest s.e.v. de E 1.5 Combinaisons lin´eaires, partie g´en´eratrice

D´ef.: [x₁, ..., x_n] =K·x₁+· · ·+K·x_n={λ₁x₁+· · ·+λ_nx_n|λ₁, ..., λ_n∈K}sont lescombinaisons lin´eaires(CL) des vecteursx1, ..., xn du K-ev E.

Prop.: [x1, ..., xn] est s.e.v. (car somme des droites vectorielles engendr´ees par lesxi).

D´ef.: siF = [x₁, ..., x_n], on dit que {x₁, ...x_n} est partieg´en´eratricede F. 1.6 Somme directe, suppl´ementaires

D´ef.: s.e.v. F, G lin´eairement ind´ependants ssi F ∩G= {o};F +G est alorssomme directe not´eeF⊕G, etF etGsontsuppl´ementaires dans l’e.v. F+G.

Ex.: fonctions num´eriquesR^R=

f ∈R^R|f paire ⊕

f ∈R^R|f impaire . 1

Prop.:E =F ⊕G ⇐⇒ ψ:F ×G→E, (y, z)7→y+z bijective

⇐⇒ ∀x∈E, ∃₁! (y, z)∈F ×G:x=y+z [unicit´e de la d´ecomposition].

D´ef.:projecteursur F parall`element `a G:p_F :x7→y pourx=y+z∈F ⊕G, (y, z)∈F×G 1.7 Famille libre

D´ef.: (v1, ..., vn) libre ssi λ1x1+· · ·+λnxn= 0 =⇒ (λ1, ..., λn) = (0, ...,0) ;

D´ef.: (v1, ..., vn) li´eessi non libre, c-`a-d.∃(λ₁, ..., λn)6= (0, ...,0) t.q. λ1x1+· · ·+λnxn= 0.

Rem.: On dit{v₁, .., v_n} libre si (v₁, ..., v_n) libre. (R´eciproque fausse siv_i =v_j!) Ex.:{(1,0),(1,1)}est libre ;{v} est libre ssiv6=o,A={v₁, ..., v_n}li´e sio∈A.

Prop.:F = (v₁, ..., v_n) libre ssi ΨF :Kⁿ→E, (λ₁, ..., λ_n)7→λ₁v₁+· · ·+λ_nv_n est injective ssi [v₁, ..., v_n] = [v₁]⊕ · · · ⊕[v_n]

1.8 Base

D´ef.:basede E = famille libre et g´en´eratrice deE

Ex.:e= ((1,0),(0,1)) base deR², de mˆeme on a la base canonique deRⁿ. Rem.: base pas unique, p.ex. ((1,1),(0,1)) aussi base de Rⁿ.

Thm.: (b1, ..., bn) base deE ⇐⇒ ∀x∈E,∃₁!λ∈Kⁿ:x=λ1b1+· · ·+λnbn

⇐⇒ E = [b1]⊕ · · · ⊕[bn].

D´ef.: (λ₁, ..., λ_n) sont lescoordonn´eesde x=λ₁b₁+· · ·+λ_nb_n, par rapport `a la base (b₁, ..., b_n).

1.9 dimension

D´ef.: e.v. dedimension finiess’il poss`ede partie g´en´eratrice finie.

Ex.:Rⁿ. — Contre-exemple :K[X]

Thm.: (fondamental) si E= [v₁, ..., v_n], alors (x₁, ..., x_n+1) toujours li´ee.

Cor.: (thm de la dimension) toutes les bases deE ont le mˆeme cardinal D´ef.: sibest une base de E, on appelle dimE:= cardbladimension de E.

Cor.: dimE =n =⇒ famille libre (g´en´eratrice) a au plus (au moins) nvecteurs.

Thm.: (caract.des bases) Une famille den= dimE vecteurs est libre ssi g´en´eratrice ssi base.

Thm.: (de la base incompl`ete) siL est libre et G⊃Lg´en´eratrice, il existe base B:L⊂B ⊂G.

Cor.: tout ev admet une base.

Cor.: si dimE =n, alors tout sev F admet un suppl´ementaireGet dimE = dimF+ dimG.

Cor.: pour F, Gs.e.v. de E, dim(F +G) = dimF + dimG−dim(F ∩G).

1.10 Familles (infinies) de vecteurs

Rappel : famillef = (f_i)_i∈I de vecteurs : applicationf :I →E;i7→f_i. Ex.:I ={1,2}:f = (f1, f2), fi∈E.I =N, E =K[X] :f = (X^k)k∈N. D´ef.: familles presque nullesE^(I)=

f ∈E^I | {i∈I |fi6= 0} fini

D´ef.: application lin´eaire attach´ee `a une famille f ∈E^I : Ψ_f :K^(I)→E, (λ_i)_i∈I 7→P

i∈Iλ_if_i. D´ef.: famillef libre, g´en´eratrice, base ssi Ψ_f injective, surjective, bijective.

Thm.: (b_i)_i base de E ⇐⇒ ∀x∈E,∃₁!λ∈K^(I):x=P

iλ_ix_i. D´ef.: Pourx=P

λibi, (λi)_i∈I sont les coordonn´eesde x par rapport `a la base b= (bi)_i∈I. Ex.: base canonique deK^(I) :e= (e_i)_i∈I avec e_i= (δ_ij)_j∈I.

Thm.:b= (b_i)_i∈I base deE, (f_i)_i∈I famille deF =⇒ ∃₁!f ∈ L(E, F) :∀i, f(b_i) =f_i. 1.11 Intersection et somme de familles de sous-espaces vectoriels

Prop.:F, G sev, alors F∩Gsev ; siF_i sev ∀i∈I,T

iF_i est sev.

Ex.: DansR³,F =K·(1,0,0) +K·(0,1,0), G=K·(1,2,0) +K·(0,1,2) =⇒ F∩G=K·(1,2,0).

D´ef.: PourA⊂E, vectA:= T

sev F⊃A

F est le s.e.v. engendr´e par A.

Prop.: vectA={x∈E| ∃n∈N,∃x₁, ..., xn∈A:x∈[x1, ..., xn]}, ens. des CL d’´el´ements de A.

2

D´ef.:somme de s.e.v. (Fi)_i∈I :P

iFi = vectS

iFi. D´ef.:somme directe de s.e.v. : L

iFi =P

iFi avec ∀i:Fi∩P

j6=iFj ={o}.

Prop.:E =L

iFi ⇐⇒ Ψ :Q0

iFi →E,(xi)_i∈I 7→P

ixi bijective. (d´etail :Q0

=E^(I)∩Q ...) 1.12 Op´erations ´el´ementaires sur une famille

D´ef.: pourf ∈E^I, vectf = vect imf;rangde la famille : rangf = dim vectf.

D´ef.: op´erations ´el´ementaires sur famille (fi)_i∈I ∈E^I :f_i⁰=λfi (λ6= 0) ; f_i⁰=fi+fj, (j 6=i).

Prop.: les op´erations ´el´ementaires ne changent pas vectf.

D´ef.: famillef⁰ ´equivalente`a f (not´e f⁰∼f) ssif⁰ s’obtient def par op´erations ´el´ementaires.

Thm.: (Gauss) pour (f₁, ..., f_n) il existef⁰ ∼f t.q. (f₁⁰, ..., f_r⁰) libre etf_i⁰=opour i > r= rangf.

2 Applications lin´eaires

2.1 D´efinitions, exemples, r`egles de calcul

D´ef.:applications (K–)lin´eaires L(E, F) : ensemble des f ∈F^E (E, F ´etant K–e.v.) t.q. ∀x, y∈ E :f(x+y) =f(x) +f(y) et∀λ∈K:f(λ x) =λ f(x).

Ex.: ∀α ∈ K, l’homoth´etie h_α : E → E;x 7→ α x est application lin´eaire (si K commutatif). Pour α= 0 etα= 1, on obtient l’application nulleoE et l’identit´e idE.

Ex.: app.lin. attach´ee `a une familleF = (v₁, ..., v_n) : ΨF :Kⁿ→E, (λ₁, ..., λ_n)7→λ₁v₁+· · ·+λ_nv_n. Prop.:f ∈F^E lin´eaire ssi∀λ, µ∈K,∀x, y∈E :f(λx+µy) =λf(x) +µf(y).

Cor.: (r`egles de calcul)f ∈ L(E, F) =⇒ f(o_E) =o_F, f(−x) =−f(x).

D´ef.: formes lin´eaires (dual) E⁰=L(E,K), endomorphismesL(E) = End(E) =L(E, E).

Ex.:∀x∈Kⁿ, Ψx est forme lin´eaire sur Kⁿ. 2.2 Image, image r´eciproque, noyau.

D´ef.: image de A ⊂ E : f(A) = {f(x);x∈A}; imf = f(E) ; noyau de f ∈ L(E, F) : kerf = f⁻¹(o) ={x∈E|f(x) =o};image r´eciproque f⁻¹(B) ={x∈E|f(x)∈B}.

Prop.: Sif ∈ L(E, F); E₁, F₁ s.e.v. deE, F =⇒ f(E₁), f⁻¹(F₁) s.e.v. deF,E ( imf, kerf).

Thm.: kerf ={o} ⇐⇒ f injective.

Rem.: imf =F ⇐⇒ f surjective

2.3 Applications bilin´eaires, alg`ebres

D´ef.:ϕ:E×F →Gbilin´eaire ssi ∀x∈E, y∈F :ϕ(x,·)∈ L(F, G), ϕ(·, y)∈ L(E, G) Prop.: (compos´ee)◦:L(E, F)× L(F, G)→ L(E, G), (f, g)7→g◦f est bilin´eaire.

Ex.:?:K×E→E est bilin´eaire (consid´erant Kcomme esp.vect.).

Ex.:produit scalaire Kⁿ×Kⁿ→K, x·y=Pn i=1xiyi.

D´ef.:alg`ebre (E,+,·, ϕ) : e.v. (E,+,·) avec application bilin´eaireϕ:E² →E.

Ex.: polynˆomes, avec ϕ=·(produit) ; endomorphismes L(E), avec ϕ=◦.

Rem.: (L(E),◦) unitaire, associative. (K[X],·) de plus commutative.

Rem.: pour [f, g] =f◦g−g◦f,L(E) est alg`ebre non unitaire, non associative, non commutative.

2.4 Isomorphismes

D´ef.:isomorphismes Iso(E, F) = app.lin.bijectives ; ev isomorphes : E'F ⇐⇒ Iso(E, F)6=∅ Prop.:f ∈Iso(E, F) =⇒ f⁻¹ ∈Iso(F, E) ;g∈Iso(F, G) =⇒ g◦f ∈Iso(E, G).

Thm.: (bi)_i∈I base de E =⇒ E 'K^(I); E'F ⇐⇒ dimE = dimF.

D´ef.:automorphismes Aut(E) := Iso(E, E), groupe lin´eaire GL(E) := (Aut(E),◦).

Rem.: GL(E) =L(E)∩S(E) sous-groupe deS(E) mais pas un s.e.v. deL(E) : (app.nulleo6∈GL(E).

Ex.: homoth´etie h_α ∈GL(E) ⇐⇒ α6= 0 (ouE ={o}).

2.5 Th´eor`eme du rang Thm.: rangf+ dim kerf = dimE

3

Cor.: rangf ≤min(dimE,dimF),f injective si rangf = dimE, surjective si rangf = dimF 3 Matrices

3.1 D´efinitions

D´ef.:matrice `a mlignes,n colonnes, coefficients ds K: (Aij)∈ M_m,n(K) =K{1,...,m}×{1,...,n}

D´ef.: matrice ligne (m= 1), colonne (n= 1), carr´ee (m=n).

D´ef.: MatBF =A= matrice des coord. de la familleF = (Pm

i=1A_ijb_i)j∈J ds la base B= (b_i)_i∈I 3.2 Op´erations

D´ef.: transpos´ee^t:M_m,n(K)→ M_n,m(K), ^t(A)_ji= (A_ij).

D´ef.:produit matriciel M_m,n(K)× M_n,p(K)→ M_m,p(K) : A·B =C avec C_ij =Pn

k=1A_ikB_kj. Rem.: C_ij est produit scalaire de lai^e ligne de Aavec la j^e colonne de B.

3.3 Matrice d’une app.lin.

D´ef.: MatB,Cf = MatCf(B) pour f ∈ L(E, F) ;B,C bases de E, F. Ex.:f :R²→R²;f(x, y) = (x−y,2y−x) =⇒ Mate,ef =

1 −1

−1 2

. (e base canonique) Cor.: rangf = rang MatB,Cf (B,C bases quelconques)

Prop.:f ∈ L(E, F), B,C bases respect. =⇒ MatCf(v) = MatB,Cf·MatBv Cor.:F famille =⇒ MatCf(F) = Mat_B,Cf ·MatBF

Prop.: matrice de la compos´eeE→^f F →^g G: MatB,Dg◦f = MatC,Dg·MatB,Cf.

Thm.: base de imf,kerf `a partir de Matf avec op´erations ´el´ementaires (m´ethode de Gauss) 3.4 Matrices carr´ees

D´ef.:M_n(K) =M_n,n(K) ; triangulaire sup´erieure (Aij = 0 sii > j), inf´erieure (0 sii < j), diagonale (0 sii6=j) ;sym´etriquesi ^tA =A,antisym´etriquesi ^tA =−A.

Prop.: (M_n,·) est une alg`ebre.

D´ef.:A inversible ssi∃B =A⁻¹:AB=BA= 1l.

Prop.:A inversible ssi rangA=n.

3.5 changement de base

D´ef.: matrice de passage de la baseB `a la nlle baseC :P = MatBC Prop.: coord. de v∈E ds nlle base : MatCv=P⁻¹MatBv.

Cor.: matrice d’une famille F deE : MatCF =P⁻¹MatBF.

Cor.:P⁻¹= MatCB

Prop.: matr. d’une app.lin. ds nlls bases B⁰,C⁰ : MatB⁰,C⁰f = (MatCC⁰)⁻¹·MatB,C(f)·MatBB⁰. Cor.: matr. d’un endom. ds nlle baseC : MatC,Cf =P⁻¹ MatB,B(f)·P.

4 Syst`emes lin´eaires

D´ef.: Syst.lin. `am ´eq., ninconnues : famille d’´eq. : (a_i1x₁+· · ·+a_inx_n=b_i)_i=1...m (S).

Prop.: (S) ⇐⇒ AX =B avec A∈ M_m,n(K), X ∈ M_n,1(K), B ∈ M_m,1(K) Prop.: (S) ⇐⇒ fA(x) =b avec fA∈ L(Kⁿ;K^m), Mat_e,e⁰fA= (aij)

D´ef.:r = rang(S) = rangA= rangfA

D´ef.: (S) incompatible⇐⇒ AX =B n’admet pas de solutionX∈ M_n,1(K). (A, B donn´ees) Prop.: (S) incompatible⇐⇒ b6∈imf_A ⇐⇒ B 6∈vect

A^j _j=1..n (colonnes)

Prop.: Solutions de (S) :f_A⁻¹(b) =x0+ kerfA avec fA(x0) =b(x0 : solution particuli`ere) D´ef.: Syst`eme de Cramer : m=netA inversible (⇐⇒ r = rang(S) =n).

Prop.: Pour un syst`eme de Cramer, il exise 1 unique solution :X=A⁻¹B.

D´ef.: inconnues, ´equations principales :{x_j1, ..., x_jr} et{i₁, ..., i_r}t.q. sous-syst`eme de Cramer.

Prop.: R´esolution pratique : triangularisation de Gauss / Gauss-Jordan 4