D20493. Quelle famille !
Une famille H d’hyperboles ont en commun leur excentricité e, un foyer F et un pointG de la directrice correspondant àF.
Déterminer l’enveloppe de ces courbes, les lieux de leurs centres et de leurs sommets, et l’enveloppe de leurs asymptotes.
Solution
Par un point M passent deux hyperboles H dont les directrices sont les tangentes menées de G au cercle de centre M et de rayon M F/e. M est un point de l’enveloppe quand les deux hyperboles se confondent, donc quand les deux directrices sont confondues ;M est alors un point du cercle et comme M G=M F/e,M appartient au cercle C1 de diamètreIJ,I et J étant les points qui divisent le segment F Gdans le rapporte. Ce cercle est l’enveloppe des hyperboles.
L’hyperbole H tangente à C1 en M lui est aussi tangente en M1, autre extrémité de la corde M M1 de C1 passant par G. La directrice D est la perpendiculaire menée en Gà M G, et la parallèle A menée par F à M G est l’axe focal de l’hyperbole ; si Gse projette en gsurA, les sommetsiet j de H divisent le segmentF g dans le rapporteet sont les projections de I etJ surA; son centreoest la projection surAdu centreOde C1. Ainsi les lieux du centre et des sommets sont les cercles C2, C3, C4 de diamètres F O, F I, F J.
Les asymptotes font avec oF l’angle fixe arccos(1/e) ; elles joignento aux points fixes T etT0 d’intersection de C1 etC2.
