Programme de colle série 11
ECS 1 Dates à déterminer
1 Variables aléatoires discrètes - Cours et exercices
Variable aléatoire discrète, s.c.e. associé à une variable aléatoire discrète.
Loi d'une variable aléatoire discrète : dénition, et caractérisation.
Fonction de répartition, propriétés, lien avec la loi.
Fonction d'une variable aléatoire.
Existence et dénition de l'espérance. Théorème de transfert. Propriétés de l'espérance. Mo- ments d'ordre supérieurs.
Existence et dénition de la variance. Formule de Huygens. Cas de la variance nulle. Variable aléatoire centrée réduite.
Loi géométrique : dénition, fonction de répartition, espérance, variance.
Loi de Poisson : dénition, espérance, variance.
Démonstrations à connaître :
Propriétés de l'espérance (bornes et linéarité).
Variance de la loi de Poisson.
2 Applications linéaires - Cours et exercices
Dénition et caractérisation d'une application linéaire. Image de 0.
Espace vectoriel des applications linéaires. Composée de deux applications linéaires : linéarité et distributivité.
Noyau et image d'une application linéaire. Noyau et injectivité, image et surjectivité.
Isomorphismes, composée d'isomorphismes, espaces vectoriels isomorphes.
Endomorphismes, puissances d'un endomorphisme, formule du binôme de Newton.
Projecteur, projecteurs associés. Noyau et image d'un projecteur. Caractérisation des projec- teurs (p◦p=p), des projecteurs associés.
Démonstrations à connaître :
Relation entre noyau et injectivité.
Im(f) est un sous-espace vectoriel de F. Noyau et image d'un projecteur.
3 Applications linéaires en dimension nie - Cours et exercices
L'image d'une base par une application linéaire la caractérise. Familles génératrices de Im(f). Rang.
Image d'une famille libre/génératrice par une application injective/surjective. Caractérisation des bijections par l'image d'une base.
Espaces isomorphes et dimension.
Théorème du rang. Injectivité⇐⇒ surjectivité⇐⇒ bijectivité si les espaces de départ et d'ar- rivée ont même dimension. Cas def ◦g=IdE oug◦f =IdF.
Forme linéaire. Hyperplan. Hyperplan et noyau de forme linéaire non nulle.
Démonstrations à connaître : Théorème du rang.
Cas de f ◦g=IdE ou g◦f =IdF.
4 Comparaisons de fonctions - Cours et exercices
Attention : les développements limités ne font pas partie de ce chapitre.
Fonctions équivalentes au voisinage d'un point, dénition et caractérisation en termes de limite.
Transitivité des équivalents. Équivalents et limites, et signe de la fonction.
Produit et quotient d'équivalents. Passage à la valeur absolue. Passage à la puissance.
Équivalents usuels au voisinage de 0 (ln, exp, cos, sin, puissance).
Fonction négligeable devant une autre fonction au voisinage d'un point, dénition et caractéri- sation en termes de limite du quotient.
Relation entre équivalence et négligeabilité.
Somme et produit de fonctions négligeables. Passage à la puissance, à la valeur absolue. Tran- sitivité. Fonction négligeable devant 1.
Rappel des croissances comparées.
5 Intégrales sur un intervalle quelconque - Cours et exercices
Convergence de l'intégrale d'une fonction continue sur [a, b[.
Intégrales de Riemann, intégrale de l'exponentielle décroissante, convergence et valeurs.
Linéarité et relation de Chasles sur les intégrales convergentes.
Croissance et positivité de l'intégrale.
Intégration par parties, changement de variable (en se ramenant au cas de fonctions continues sur un segment, sauf dans le cas d'un changement de variable ane).
Cas d'une fonction continue positive d'intégrale nulle. Condition nécessaire et susante de convergence (majoration) dans le cas des fonctions continues positives.
Théorèmes de convergence : comparaison, équivalences, négligeabilité.
Convergence absolue. Toute fonction continue peut s'écrire comme diérence de deux fonctions continues positives. Convergence absolue implique convergence.
Cas d'une fonction continue sur ]a, b[.
Démonstrations à connaître :
Intégrales de Riemann, convergence et valeurs.
Intégrale de l'exponentielle décroissante, convergence et valeurs.
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