Programme de colle série 6
ECS 1
Semaines du 4 et 11 janvier
1 Probabilités sur un espace ni - Cours et exercices
Dénition d'expérience aléatoire, d'univers, d'événement. Événement impossible, événement certain.
Dénition de système complet d'événements. Décomposition d'un événement sur un système complet d'événements.
Dénition de probabilité. Lien avec les opérations sur les événements. Formule de Poincaré pourn= 3. Croissance de P.
Lien entre probabilité et système complet d'événements.
Dénition de l'équiprobabilité, et calcul de la probabilité d'un événement avec des cardinaux.
Dénition de probabilité conditionnelle. Formule des probabilités composées. Formule des probabilités totales. Formule de Bayes.
Dénition de l'indépendance de deux événements. Lien entre indépendance et probabilité condition- nelle. Indépendance et complémentaire. Indépendance d'une famille d'événements.
Démonstrations à connaître :
P(A) = 1−P(A),P(∅) = 0, siA⊂B alorsP(B\A) =P(B)−P(A),P(A∪B) =P(A) +P(B)− P(A∩B).
Formule des probabilités composées.
Formule de Bayes.
2 Nombres complexes - Cours et exercices
Nombre complexe. Dénition de partie réelle, partie imaginaire, imaginaire pur. Écriture algébrique.
Conjugué : lien avec la partie réelle et imaginaire, opérations sur le conjugué.
Module : propriétés (lien avecz∈R ouz∈iR), opérations. Inégalité triangulaire, cas d'égalité.
Argument d'un complexe. Lien avec les parties réelles et imaginaires. Notation exponentielle.
Formule de Moivre. Formules d'Euler.
Les racinesn-ièmes de l'unité sont hors-programme, et ont été vues en temps qu'exemple.
Interprétation géométrique d'un nombre complexe.
Formules d'addition du sinus et cosinus. Formules de duplication. Formules de linéarisation.
Démonstrations à connaître :
Relations entre |Re(z)|,|Im(z)|et|z|. Inégalité triangulaire et cas d'égalité.
Formules d'addition de sinus et cosinus.
3 Dérivabilité - Cours et exercices
Dérivabilité à gauche et à droite en un point, demi-tangente à la courbe.
Dérivabilité en un point, lien avec les dérivées à droite et à gauche, tangente à une courbe.
Dérivabilité implique continuité.
Linéarité de la dérivée, dérivée du produit, du quotient, de la composée.
Dérivée sur un intervalle, fonction dérivée. Formules de toutes les dérivées classiques.
Dérivée de la fonction réciproque.
Fonctions de classeC1. Espace vectoriel C1(I).
Caractérisation d'un extremum par la dérivée. Théorème de Rolle.
Égalité et inégalité des accroissements nis.
Caractérisation des fonctions constantes et monotones par la dérivée.
Étude de tangente. Fonction arc tangente : dénition, calcul de la dérivée.
Démonstrations à connaître :
Caractérisation d'un extremum par la dérivée.
Théorème de Rolle.
Existence et dérivabilité de arc tangente.
