4 Comportement d’une fonction au voisinage d’un point en lequel elle est dérivable.

(1)

Lycée Pierre de Fermat 2020/2021

MPSI 1 TD

Dérivabilité 1 Étude de dérivabilité.

⊲ Exercice 1.1.

1. Soitf une fonction définie sur [−1,1], dérivable en 0 et de dérivée en 0 strictement négative. Montrer qu’il existeη∈R^∗₊ tel que ∀x∈]0, η[, f(x)< f(0) etf(−x)> f(0).

2. Soitf ∈ D¹([−1,1],R) telle quef(0) = 0 et f^′(0) >0. Existe-t-il η ∈ R^∗₊ tel que f est croissante sur [0, η] ?

⊲ Exercice 1.2.

Démontrer que la fonction f : R^∗ →R définie pour toutx∈R^∗ parf(x) = e^−sh(^|x|¹⁾ peut être prolongée par continuité en une fonction ˜f définie sur Rdont on étudiera la dérivabilité puis le caractèreC¹.

⊲ Exercice 1.3. Étudier la fonctiong:R→Rdéfinie parg(x) = 0 six∈R₋et par g(x) =e⁻^x¹² six∈R^∗₊. 1. Montrer que, pour toutn∈N, il existePn∈R[x] tel que

∀x∈R^∗

+, g⁽ⁿ⁾(x) = Pn(x) x²ⁿ e⁻^x¹²

2. Montrer quegest de classeC^∞ surRet préciser les dérivées successives en 0.

3. Représenter graphiquementg.

⊲ Exercice 1.4.

1. Étudier la dérivabilité en 0 def : [−1,1]→R,x7→1 six= 0 etx7→

√1 +x−√ 1−x

x six6= 0.

2. La fonction dérivée def est-elle continue en 0 ?

⊲ Exercice 1.5. Étudier, en fonction deα∈R^∗₊ la régularité dep

x(1−x)^α.

⊲ Exercice 1.6. Étudier la régularité def :x7→ x

1 +|x| et deg :x7→x|x|. Concernantf, on pourra étudier les dérivées successives sur leur domaine de définition. Concernantg, on pourra étudier la dérivabilité deg^′puis deg^′′sur leurs domaines de définition.

⊲ Exercice 1.7. Soitf une fonction dérivable ena∈R, calculer la limite, lorsquehtend vers 0 de f²(a+ 3h)−f²(a−h)

h .

2 Calculs de dérivées.

⊲ Exercice 2.1.

Déterminer les domaines de dérivabilité puis calculer les dérivées des fonctions suivantes et simplifier les expressions afin de pouvoir lire facilement le signe de la fonction dérivée :

1) a(x) = r

1 +q 2 +√

x 2)b(x) = ln(x+p

1 +x²) 3)c(x) = ln √

2 sinx+ 1 +√

2 sinx−1 4) d(x) = Arctan

lnx 3

5)e(x) =e^xArctan(e^x)−lnp

1 +e^2x

6)f(x) = sinx cos²x+ ln

1 + sinx cosx

7) g(x) = Arcsin 2x²

1 +x⁴

8)h(x) =x^x² 9)j(x) = Arctanx

x −ln x

√1 +x² 10)k(x) =√xArcsin(√x) +√

1−x

⊲ Exercice 2.2. Dérivation d’expressions intégrales.

Soient (q, h)∈ C⁰(R,R)².

Soientuetv deux solutions de l’équation différentielle

∀t∈R, y^′′(t) +q(t)y(t) = 0

(2)

telles queu(0)v^′(0)−u^′(0)v(0) = 1. Posonsψla fonction définie pour tout t∈Rpar ψ(t) =−u(t)

Z t 0

v(s)h(s)ds−v(t) Z 0

t

u(s)h(s)ds SoitW la fonction définie pour toutt∈[0,1] parW(t) =u(t)v^′(t)−u^′(t)v(t).

1. Montrer que, pour toutt∈R,W^′(t) = 0 et en déduire la valeur deW. 2. Montrer queψest deux fois dérivable sur [0,1] et établir que

∀t∈R, ψ^′′(t) +q(t)ψ(t) =h(t) 3. De quel problème de Cauchy en 0ψ est-elle solution ?

⊲ Exercice 2.3. Dérivation d’expressions polynomiales factorisées.

Soient (ai)_i∈[[^1,p]] ∈R^p (p∈ N^∗) fixés quelconques.Soient (αi)_i∈[[^1,p]] ∈N^∗p (p∈ N^∗) fixés quelconques. Posons f(x) =

Yp i=1

(x−ai) etg(x) = Yp i=1

(x−ai)^αⁱ.

1. Soit (f1, f2, . . . , fp)∈ D¹(I,R)^p. Montrer que que Yp i=1

fi∈ D¹(I,R) et que Yp i=1

fi

!′

= Xp i=1

f_i^′ Yp

j=1 j6=i

fj.

2. Simplifier f^′(x)

f(x) et g^′(x) g(x).

3. Calculer les dérivées de ln(f(x)²) et de ln(g(x)²).

⊲ Exercice 2.4. Formule de Leibniz.

1. Calculer les dérivées successives dex7→ 1 x.

2. En déduire les dérivées successives dex7→ln(3x) puis celles dex7→x²ln(x).

1. Montrer qu’il existe (a, b, c)∈R² tels quef(x) = 2x²+x+ 3

(x−1)(x+ 2) =a+ b

x−1 + c x+ 2. 2. En déduire une expression simple la dérivéen^ièmedef(x).

1. Calculer la dérivéen^ième dex7→xⁿ(1−x)ⁿ. 2. En déduire que

Xn k=0

n k

2

= 2n

n

.

⊲ Exercice 2.7. Règle de l’Hôpital.

1. Soientf et g deux fonctions continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel quef^′(c)(g(b)−g(a)) =g^′(c)(f(b)−f(a)). (On pourra considérer la fonctionx7→ f(x)(g(b)−g(a))− g(x)(f(b)−f(a)))

2. Supposons quefetgsont continues sur [a−1, a+1] et dérivables sur ]a+1, a−1[\{a}avecf(a) =g(a) = 0 etg^′ ne s’annulant pas au voisinage dea. Montrer que si f^′

g^′ tend versl∈Rlorsquextend versa, alors f

g tend versl lorsquextend versa.

3. En utilisant le résultat précédent, appelé règle de L’Hôpital, calculer

x→0lim

x−sin(x) x³ , lim

x→0

ln(1 +x)−x

x² lim

x→0

ln(cos(ax)) ln(cos(bx)).

4. Montrer directement le résultat suivant, qui ressemble à la règle ci-dessus, mais dont l’énoncé présente des hypothèses un peu différentes : supposons quefetgsont définies sur [a−1, a+1], vérifientf(a) =g(a) = 0, sont dérivables ena,g^′(a)6= 0 etg ne s’annule pas ailleurs qu’enasur un voisinage dea. Montrer que f

g tend versf^′(a)

g^′(a) lorsquextend versa(on pourra soit utiliser une approximation def etgau premier ordre, soit faire apparaître le quotient f(x)

g(x) comme un rapport de taux d’accroissement). Donner un exemple de cas où la règle de l’Hôpital permet de conclure alors que ce résultat ne s’applique pas et réciproquement.

(3)

5. Montrer sur un exemple que la “règle de l’Hôpital” se généralie en +∞: sif etg sont dérivables surR₊, de limites nulles en +∞, sig ne s’annule pas sur un voisinage de +∞et si f^′

g^′ a une limite l∈Ren +∞ alors f(x)

g(x) tend versl lorsquextend vers +∞.

3 Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis.

⊲ Exercice 3.1.

Le polynôme P(X) ∈ K[X] est scindé sur le corps K s’il possède dans K autant de racines comptées avec multiplicité que son degré.

1. Montrer que le polynôme dérivé d’un polynôme réel scindé dansRet à racines simples est un polynôme scindé dansRet à racines simples ou constant.

Application (Oral X MP).En déduire que, si un polynôme réel est scindé dansRet à racines simples, alors il ne peut pas avoir deux coefficients consécutifs nuls.

2. Montrer que le polynôme dérivé d’un polynôme réel scindé dansRest scindé dansRou constant.

⊲ Exercice 3.2. Extension du théorème de Rolle.

1. Soitf :R₊→R, continue surR₊, dérivable surR^∗

+, telle quef(0) =√

2 etf(x) tend vers√

2 lorsquex tend vers +∞. Montrer qu’il existec∈R^∗

+ tel quef^′(c) = 0.

2. Soitf : R → R une fonction dérivable qui admet une même limite finie en−∞ et +∞. Montrer qu’il existex0∈Rtel quef^′(x0) = 0. Montrer sur un exemple que si les limites en +∞et−∞sont différentes, la conclusion devient fausse.

3. (Oral Mines MP.) Soientλ∈R^∗etPune fonction polynomiale ayantqracines réelles distinctes. Montrer que la fonction P^′+λP possède également au moins q racines réelles distinctes. On pourra utiliser les questions précédentes et introduire un facteur intégrant pour l’expression considérée... Pourquoi est-il nécessaire de supposerλ6= 0 ?

⊲ Exercice 3.3.

Soitn∈N^∗fixé.

1. Soitgune fonction définie surRqui possède (n+1) zéros deux à deux distinctsa1< a2< . . . < an< an+1. On suppose quegestn-fois dérivable sur [a1, an+1]. Montrer qu’il existey∈]a1, an+1[ tel queg⁽ⁿ⁾(y) = 0.

2. Soit f une fonction définie sur R qui possède n zéros deux à deux distincts x1 < x2 < . . . < xn. On suppose quef est n-fois dérivable sur [x1, xn]. Montrer que pour toutx∈[x1, xn], il existey∈]x1, xn[ tel que

f(x) =(x−x1)(x−x2). . .(x−xn)

n! f⁽ⁿ⁾(y).

On pourra introduire une fonction judicieusement choisie à laquelle le résultat de la question précédente pourra s’appliquer et fournir la réponse.

⊲ Exercice 3.4.

Montrer qu’une fonction deC¹(R,R) est lipschitzienne sur tout segment. Est-elle lipschitzienne surR? est-elle uniformément continue surR?

⊲ Exercice 3.5.

Soitf une fonction continue surR₊, dérivable surR^∗₊, nulle en 0 et telle que f^′ est croissante surR^∗₊. Montrer que la fonctiong définie surR^∗₊ parg(x) = f(x)

x est croissante.

⊲ Exercice 3.6. Point fixe attractif.

Soitf

R → R

x 7→ 1 + Arctanx 2

etula suite définie paru0∈Ret, pour toutn∈N,un+1=f(u_n).

1. Calculerkf^′k^∞,^R= sup{|f^′(x)| |x∈R}. 2. Montrer quef admet un unique point fixex0.

3. Montrer que la suiteu converge vers x0 et majorer explicitement l’écart entre un et x0 en fonction de n∈Netu0∈R.

(4)

4 Comportement d’une fonction au voisinage d’un point en lequel elle est dérivable.

⊲ Exercice 4.1.

Soitfune fonction deRdansRdérivable à gauche en 1. Montrer que la suite définie par −nf(1) + Xn k=1

f

1− k n²

!

n∈N∗

converge lorsquentend vers +∞et préciser sa limite.

⊲ Exercice 4.2.

1. Soita∈R^∗₊fixé. Posons, pour toutn∈N^∗,Sn= Xn k=0

1 n+ka. (a) Montrer que∀x∈R^∗₊, a

x+a 6ln(x+a)−ln(x)6 a x. (b) En déduire que∀x∈]a,+∞[, ln(x+a)−ln(x)6 a

x6ln(x)−ln(x−a).

(c) Montrer que la suite (S_n)n∈N∗ converge vers ln(1 +a)

a .

2. Soitf ∈C⁰([0,1],[0,1]), nulle en 0 et dérivable à droite en 0 de dérivéef_d^′(0)6= 0. Soita∈R^∗

+fixé. Montrer que la suite (un)n∈N∗, définie pourn∈N^∗ parun=

Xn k=0

f 1

n+ka

,converge versf_d^′(0)ln(1 +a)

a .

⊲ Exercice 4.3. Théorème de Darboux et application.

Soitf : [0,1]→Rune fonction dérivable sur [0,1]. Le but de l’exercice est de prouver quef^′vérifie la “propriété des valeurs intermédiaires”, c’est à dire que pour tout (a, b)∈[0,1]², sif^′(a)< f^′(b), pour touty∈]f^′(a), f^′(b)[, il existe c ∈]a, b[ ou c ∈]b, a[ selon quea < b oub < a tel que f^′(c) = y. ATTENTION, cet exercice ne prétend pas prouver quef^′ est continue, ce qui serait faux !

1. Première démonstration : commencer par le casy = 0, montrer ensuite quef admet un minimum local sur ]a, b[ et conclure. Ramener ensuite le cas général à ce cas particulier.

2. Deuxième point de vue : définissonsg1etg2sur [a, b] parg1(a) =f^′(a),g1(x) = f(x)−f(a)

x−a pourx∈]a, b]

et g2(b) =f^′(b), g2(x) = f(x)−f(b)

x−b pour x∈[a, b[. Montrer que g1 et g2 sont continues sur [a, b] puis qu’elles ont une valeur commune dans leur image et conclure.

3. Application. Soitf ∈ D²(R,R) telle quef(x) admet des limites finies lorsque xtend vers +∞ et −∞. Montrer qu’il existec∈Rtel que f^′′(c) = 0.

⊲ Exercice 4.4.

Soitf une fonction dérivable sur [0,1] telle quef(0) = 0 etf(1) = 1. Soitn∈N^∗. 1. Montrer qu’il existenréels 0< x1< x2< . . . < xn <1 tels que

Xn k=1

f^′(xk) =n.

2. Montrer qu’il existenréels 0< y1< y2< . . . < yn<1 tels que Xn k=1

1

f^′(yk) =n.

5 Variations des fonctions.

⊲ Exercice 5.1. Inégalité des accroissements finis généralisée Soient (a, b)∈R²tels que a < b.

Soientf etg deux fonctions à valeurs réelles continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[.

On suppose que,∀x∈]a, b[,|f^′(x)|6g^′(x).

Montrer que∀(x, y)∈[a, b]², x6y⇒ |f(y)−f(x)|6g(y)−g(x).

⊲ Exercice 5.2. Inégalités.

Établir les inégalités suivantes 1. ∀x∈[0, π], sin(x)6 4

π²x(π−x), 2. ∀x∈i

0,π 4

h, Arcsin(tanx)< tanx p1−tan²x, 3. ∀x∈]0,1[∪]1,+∞[, 0< xlnx

x²−1 <1 2.

(5)

⊲ Exercice 5.3. Méthode du facteur intégrant et accroissements finis généralisés.

Soitf ∈ D¹(R₊,R) telle quef^′(x) +f(x) tend versl∈Rlorsquextend vers +∞. 1. (*) Montrer quef(x) tend versl lorsquextend vers +∞.

On pourra utiliser la version généralisée de l’inégalité des accroissements finis proposée dans l’exercice5.1.

2. (facile) Que dire def^′(x) lorsquextend vers +∞.

6 Formules de Taylor

⊲ Exercice 6.1.

Soitf ∈ C³(I,R),I un intervalle ouvert eta∈I.

1. Calculer la limite de f(a+ 3h)−3f(a+ 2h) + 3f(a+h)−f(a)

h³ lorsquehtend vers 0.

2. En déduire, pourx∈R^∗

+ fixé, la limite de

(x+ 3h)(x+h)³ (x+ 2h)³x

_h¹3

lorsquehtend vers 0.

⊲ Exercice 6.2.

Soient (a, b) ∈ R² tels que a < b et f ∈ C²([a, b],R). Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f(a) +f(b)

2 =

f a+b

2

+(b−a)² 8 f^′′(c).

⊲ Exercice 6.3.

Soitf une fonction deC²([a, b],R) ((a, b)∈R²,a < b) telle quef^′(a) =f^′(b) = 0. Montrer que

|f(b)−f(a)|6(b−a)²

4 sup{|f^′′(x)| |x∈[a, b]}.

⊲ Exercice 6.4.

Soit a ∈ R^∗₊ et f ∈ C²([0, a],R) telle que f(0) = 0. Pour tout n ∈ N tel que 1/n < a, on définit un par un =

Xn k=1

f k

n²

.

1. Montrer que cette suite converge et calculer sa limite. On pourra utiliser une encadrement issu de l’inégalité de Taylor Lagrange.

2. Quelle est la limite de la suitevn= Xn k=1

Arcsin k

n²

.

⊲ Exercice 6.5. Affaiblissement des hypothèses de l’exercice précédent.

Soitf :R→R, dérivable en 0 et telle quef(0) = 0. Montrer que la suiteun= Xn k=1

f k

n²

converge.

⊲ Exercice 6.6.

Montrer que la suiteun= 1−1 2+1

3−. . .+(−1)ⁿ⁺¹

n converge et calculer sa limite.

On pourra appliquer une formule de Taylor à la fonctionx7→ln(1 +x).

⊲ Exercice 6.7.

Soitf ∈ C²(R,R) telle que∀(x, y)∈R²,f(x+y)f(x−y)6(f(x))². Montrer que,∀x∈R,f(x)f^′′(x)6(f^′(x))².

7 L’indispensable : complétez, démontrez ou infirmez les assertions suivantes.

⊲ Exercice 7.1.

1. Sif est dérivable en 0 et sif^′(0)>0, alors il existeh∈R^∗₊ tel que f est croissante sur [−h, h]∩ Df. 2. La dérivée (resp. une primitive) d’une fonction paire (resp. impaire, positive, périodique, croissante, mo-

notone) est-elle paire (resp. impaire, positive, périodique, croissante, monotone) ?

3. Sif et gsont dérivables surR, la fonction max(f, g) est continue surRet dérivable surR. 4. Sif et gsont dérivables surR, la fonction exp(3f+ 2g) est dérivable surR.

5. Sif est définie sur [−1,1], dérivable sur ]−1,1[ et bornée sur [−1,1], alors il existex0∈]−1,1[ tel que f^′(x0) = 0.

(6)

6. Toute fonction croissante surRest dérivable à droite en tout point.

7. Toute fonction croissante et dérivable surRa une fonction dérivée positive ou nulle en tout point.

8. Toute fonction strictement croissante surRet dérivable enx0∈Ra une dérivée strictement positive en x0.

9. Sif est définie sur [−1,1], si f^′(1/2) = 0, alorsf admet en 1/2 un extremum local mais il ne s’agit pas nécessairement d’un maximum ou d’un minimum global.

10. Il existe des fonctions n’ayant pas forcément d’extremum. À quelle condition sur la régularité pouvez-vous en expliciter sur un segment ? la même condition est-elle également nécessaire surR?

11. Sif est dérivable sur [0,1], alors lim

t→0f^′(t) =f^′(0).

12. Si f est définie sur [0,1], dérivable sur ]0,1] et si lim

t→0f^′(t) existe dans R, alors f est dérivable en 0 et

t→0limf^′(t) =f^′(0).

13. Soitf une fonction deD¹(R,R) telle que lim

x→+∞f(x) =l∈R, alors lim

x→+∞f^′(x) = 0.

14. Soitf une fonction 1-périodique telle quef|[0,1] est dérivable. Alorsf est dérivable surR. 15. Soitf une fonction 1-périodique telle quef|[0,2] est dérivable. Alorsf est dérivable surR.

16. Montrer qu’il existe des fonctions pour lesquelles il existe une infinité de valeurs possibles pour le “c” qui apparaît dans le théorème de Rolle et dans le théorème des accroissements finis.

(7)

Correction des exercices

⊲ Corrigé de l’exercice 1.1

1. Appliquons la définition de lim

x→0

f(x)−f(0)

x−0 =f^′(0) en remplaçant leεde la définition par |f^′(0)| 2 >0 :

∃η∈R^∗

+ : ∀x∈[−η, η]\ {0} , f(x)

x −f^′(0)

6 |f^′(0)| 2 d’où

∃η∈R^∗₊ : ∀x∈[−η, η]\ {0}, −|f^′(0)|

| {z }2

=f^′(0) 2

6 f(x)

x −f^′(0)6 |f^′(0)|

| {z }2

= −f^′(0) 2 d’où

∃η∈R^∗₊ : ∀x∈[−η, η]\ {0}, f(x)6f^′(0) 2 . En particulier,

⋆ pour toutx∈]0, η],

f(x)

x 6f^′(0)

2 <0 |{z}⇒ x >0

f(x)<0

⋆ pour toutx∈[−η,0[,

f(x)

x 6f^′(0)

2 <0 |{z}⇒ x <0

f(x)>0 2. Non ! considérons la fonction définie pour toutx∈[−1,1] par f(x) =x

2 +ψe2(x). Alors

— f est dérivable sur [−1,1] car carψe2 est dérivable surR(voir le cours),

— f^′(0) = 1

2 >0 (carψe₂^′(0) = 0),

— pour toutx∈[−1,1]\ {0}, f^′(x) =1

2 − cos1

| {z }x

prend toutes les valeurs entre−1 et 1 une infinité de fois au voisinage de 0

+ 2xsin1

| {z }x

x→0→ 0

doncf^′ change une infinité de fois de signe au voisinage de 0 si bien quef n’est monotone sur aucun voisinage de 0 (sinon sa dérivée aurait un signe constant sur ce voisinage de 0).

⋆ f est dérivable surR^∗,

⋆ f est continue en 0,

⋆ Pourx >0,f(x) = exp

−sh 1

x

donc

f^′(x) = 1 x²ch

1 x

exp

−sh 1

x

= 1 x²

s 1 + sh²

1 x

exp

−sh 1

x

En posantu= 1

x (doncu→+∞lorsquex→0⁺), on obtient 06f^′(x) =u²

s

1 + 1

sh²(u)sh(u)e^−sh(u)= u|²e⁻{z¹²^sh(u)}

u→+∞→ 0

car∀u∈R₊ , shu>udonc u²e⁻¹²^sh(u)6u²e^−u_u→+∞→ 0

s

1 + 1 sh²(u)

| {z }

u→+∞→ 1

sh(u)e⁻¹²^sh(u)

| {z }

u→+∞→ 0 car lim

t→+∞te⁻¹²^t= 0

⋆ Par conséquent, lim

x→0 x>0

f^′(x) = 0.

⋆ De plus, par parité def,f^′ est impaire donc lim

x→0 x<0

f^′(x) =−lim

x→0 x<0

f^′(−x) =−lim

s→0 s>0

f^′(s) = 0.

On en déduit que lim

x→0 x6=0

f^′(x) = 0.

(8)

Par conséquent le théorème de prolongement de la dérivabilité s’applique si bien que

f est dérivable en 0, f^′(0) = 0.

De même, en remplaçant l’hypothèse «f est dérivable sur R^∗» par «f est de classe C¹ sur R^∗ », on peut appliquer le théorème de prolongementC¹et conclure quef ∈ C¹(R,R).

⊲ Corrigé de l’exercice 1.3 1. x7→ −1

x² ∈ C^∞(]0,+∞[,R) exp∈ C^∞(R,R)





donc par stabilité de la régularitéC^∞par composition,g∈ C^∞(]0,+∞[,R).

Ceci permet de justifier que, pour toutn∈Net toutx∈]0,+∞[,g⁽ⁿ⁾(x) a un sens.

Considérons la propriétéP(·) définie pour toutn∈N, par

P(n) : «∃Pn∈R[x] : ∀x∈R^∗₊ , g⁽ⁿ⁾(x) = Pn(x) x³ⁿ e⁻^x¹² »

⋆ Posons, pour toutx∈R,P0(x) = 1 de sorte deP0∈R[x].

Par définition de g,∀x∈R^∗₊ , g⁽⁰⁾(x) =e⁻^x¹² = P0(x) x^3×0 e⁻^x¹². Par conséquent,P(0) est vraie.

⋆ Soitn∈Nfixé quelconque tel queP(n) est vraie.

PuisqueP(n) est vraie,

∃Pn ∈R[x] : ∀x∈R^∗

+ , g⁽ⁿ⁾(x) =Pn(x) x³ⁿ e⁻^x¹²

En dérivant les deux membres de l’expression ci-dessus (le membre de gauche est dérivable surR^∗

+car gest de classeC^∞surR^∗

+, le membre de droite est dérivable car c’est le produit deg∈ C^∞(]0,+∞[,R) et de la fraction rationnelle x7→ Pn(x)

x³ⁿ qui est de classeC^∞ sur le complémentaire R^∗ de ses pôles donc elle est dérivable surR^∗₊) :

∀x∈R^∗

+ , g⁽ⁿ⁾(x) =

P_n^′(x)x³ⁿ−3nx³ⁿ⁻¹Pn(x)

x⁶ⁿ +Pn(x)

x³ⁿ × 2 x³

e⁻^x¹²

=

P_n^′(x)x³−3nx²Pn(x)

x³ⁿ⁺³ +2Pn(x) x³ⁿ⁺³

e⁻^x¹² Posons, pour toutx∈R,Pn+1(x) =x³P_n^′(x)−3nx²Pn(x) + 2P_n(x).

On a d’une partPn+1∈R[x] et d’autre part

∀x∈R^∗₊, g⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =Pn+1(x) x³⁽ⁿ⁺¹⁾e⁻^x¹² Par conséquent,P(n+ 1) est vraie.

2. Montrons queg est de classeC^k surRpour toutk∈Nce qui prouvera queg∈ C^∞.

• Méthode 1 : récurrence et utilisation du théorème de prolongement du caractère C¹. Considérons la propriétéP(·) définie pour toutn∈N^∗ par

P(n) : «g∈ Cⁿ(R,R) et∀i∈[[1, n]],g⁽ⁱ⁾(0) = 0 »

•• ⋆ g est de classeC¹ sur ]− ∞,0[∪]0,+∞[,

⋆— pourx <0,g(x) = 0 −→

x→0⁻

0,

— pourx >0,g(x) =e⁻^x¹² −→

x→0⁺0,

— g(0) = 0

doncgest continue en 0,

⋆— pourx <0,g^′(x) = 0 −→

x→0⁻0,

— pourx >0,g^′(x) = 2 x³e⁻^x¹². PosonsX= 1

x² de sorte queX −→

x→0⁺

+∞,

g^′(x) = 2X³²e^−X= 2X³² e^X −→

x→0⁺

0

(9)

d’après le théorème des croissances comparées, donc lim

x→0g|]−∞,0[∪]0,+∞[^′ (x) = 0.

Ainsi, d’après le théorème de prolongement du caractèreC¹,g∈ C¹(R,R) et, de plus,g^′(0) = 0.

Par conséquent,P(1) est vraie.

•• Soitn∈N^∗ fixé quelconque tel queP(n) est vraie.

⋆ g est de classeCⁿ⁺¹ sur ]− ∞,0[∪]0,+∞[ doncg⁽ⁿ⁾est de classeC¹sur ]− ∞,0[∪]0,+∞[.

⋆ PuisqueP(n) est vraie,g⁽ⁿ⁾est continue en 0.

⋆— pourx <0,g⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = 0 −→

x→0⁻

0,

— pourx >0,g⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =Pn+1(x) x³⁽ⁿ⁺¹⁾e⁻^x¹². PosonsX= 1

x→0⁺+∞, g⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =X³⁽ⁿ⁺¹⁾² Pn+1

1

√X

e^−X= X³⁽ⁿ⁺¹⁾²

e^X

| {z }

x→0−→⁺ 0

(th. des croissances comparées) Pn+1

1

√X

| {z }

x→0−→⁺Pn+1(0)

x→0−→⁺ 0

donc lim

x→0g|]−∞,0[∪]0,+∞[⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) = 0.

Ainsi, d’après le théorème de prolongement du caractèreC¹,g⁽ⁿ⁾∈ C¹(R,R) et, de plus,gⁿ⁺¹(0) = 0.

Par conséquent, g ∈ Cⁿ⁺¹(R,R) et, sachant que P(n) est vraie, ∀i ∈ [[1, n]], g⁽ⁱ⁾(0) = 0 d’où

∀i∈[[1, n+ 1]],g⁽ⁱ⁾(0) = 0.

Par conséquent,P(n+ 1) est vraie.

• Méthode 2 : utilisation du théorème de prolongement du caractère C^k. Soitn∈N^∗ fixé quelconque.

⋆ gest de classeCⁿ sur ]− ∞,0[∪]0,+∞[,

⋆ — pourx <0,g(x) = 0 −→

x→0⁻

0,

— pourx >0,g(x) =e⁻^x¹² −→

x→0⁺0,

— g(0) = 0,

doncg est continue en 0,

⋆ Soitk∈[[1, n]] fixé quelconque.

— pourx <0,g^(k)(x) = 0 −→

x→0⁻

0,

— pourx >0,g^(k)(x) = Pk(x) x^3k e⁻^x¹². PosonsX= 1

x→0⁺+∞, g^(k)(x) =X^3k²Pk

1

√X

e^−X= X^3k²

e^X

| {z }

x→0−→⁺0

(th. des croissances comparées) Pk

1

√X

| {z }

x→0−→⁺Pk(0)

x→0−→⁺0

donc lim

x→0g^(k)|]−∞,0[∪]0,+∞[(x) = 0.

Ainsi, d’après le théorème de prolongement du caractère Cⁿ, g ∈ Cⁿ(R,R) et, de plus, ∀k ∈ [[1, n]], g^(k)(0) = 0.

Ce résultat étant établi pour toutn∈N^∗,g∈ \

n∈N^∗

Cⁿ(R,R) =C^∞(R,R).

• Méthode 3 : utilisation du théorème de prolongement du caractère C^∞.

⋆ gest de classeC^∞sur ]− ∞,0[∪]0,+∞[,

⋆ — pourx <0,g(x) = 0 −→

x→0⁻

0,

— pourx >0,g(x) =e⁻^x¹² −→

x→0⁺0,

— g(0) = 0,

doncg est continue en 0,

⋆ Soitn∈N^∗ fixé quelconque.

— pourx <0,g⁽ⁿ⁾(x) = 0 −→

x→0⁻0,

(10)

— pourx >0,g⁽ⁿ⁾(x) =Pn(x) x³ⁿ e⁻^x¹². PosonsX= 1

x→0⁺+∞, g⁽ⁿ⁾(x) =X³ⁿ² Pn

1

√X

e^−X= X³ⁿ²

e^X

| {z }

x→0−→⁺0

(th. des croissances comparées) Pn

1

√X

| {z }

x→0−→⁺Pn(0)

x→0−→⁺0

donc lim

x→0g⁽ⁿ⁾|]−∞,0[∪]0,+∞[(x) = 0.

Ainsi, d’après le théorème de prolongement du caractère C^∞, g ∈ C^∞(R,R) et, de plus, ∀n ∈ N^∗, g⁽ⁿ⁾(0) = 0.

3.

0 −→i

−

→j

−1

−2 2 3 4 5 6

y= 1

Figure1 – Fonctiong de classeC^∞surRet plate en 0.

1. Il semble naturel de vérifier quef est continue en 0 avant de s’intéresser à la dérivabilité en 0 :

⋆ à la main avec l’utilisation de l’expression conjugué : f(x)−f(0) =

√1 +x−√1−x

x −1

= 1 +x−(1−x) x(√

1 +x+√

1−x)−1

= 2

√1 +x+√1−x−1

⋆ en utilisant les DL :

f(x)−f(0) =

√1 +x−√1−x

x −1

x→0=

1 + x

2 +o(x)

− 1−x

2 +o(x)

x −1

x→0=

x+o(x)

x −1

x→0= 1 +o(1)−1

x→0= o(1) donc lim

x→0 x6=0

f(x)−f(0) = 0 donc lim

x→0 x6=0

f(x) =f(0) si bien quef est continue en 0. Les théorèmes usuels sur la stabilité de la dérivabilité par composition, combinaison linéaire ou quotient ne permettent pas de dire sif est dérivable ou pas en 0. Il faut donc chercher la limite du taux d’accroissement def en 0.

(11)

⋆ À la main avec l’utilisation de l’expression conjugué :

f(x)−f(0)

x−0 =

√1 +x−√1−x

x −1

x

= 1

x

1 +x−(1−x) x(√1 +x+√1−x)−1

= 1

x

2

√1 +x+√1−x−1

= 2−√1 +x−√1−x x(√1 +x+√1−x)

= 1−√

1 +x+ 1−√ 1−x x(√1 +x+√1−x)

= 1

√1 +x+√1−x

| {z }

−→ 1

x→02







−

√1 +x−1 x−0

| {z }

−→√

·^′(1)

x→0

+

√1−x−1

−x

| {z }

−→√

·^′(1)

x→0







| {z }

−→ −1 2 +1

2 = 0

x→0

(1)

⋆ En utilisant les DL.Pourx∈[−1,0[∪]0,1], f(x)−f(0)

x−0 =

√1 +x−√ 1−x

x −1

x

x→0=

1 + ^x₂ −^x8²+o(x²)

−

1−^x2−^x8²+o(x²)

x −1

x

x→0=

x+o(x²)

x −1

x

x→0=

1 +o(x)−1 x

x→0= o(1) donc

⋆ f(x)−f(0)

x−0 admet une limite finie lorsquextend vers 0 doncf est dérivable en 0,

⋆ lim

x→0

f(x)−f(0)

x−0 = 0 doncf^′(0) = 0.

2. La fonction dérivée def est

∀x∈]−1,0[∪]0,1[, f^′(x) =

x

2√1 +x+ x

2√1−x−√

1 +x+√ 1−x x²

= 1

x² x

2√

1 +x+ x 2√

1−x−√

1 +x+√ 1−x

x→0= 1 x²

x 2

1−x

2 +o(x) ) +x

2 1 +x

2 +o(x)

)−x+o(x²)

x→0=

o(x²) x²

x→0= o(1) donc lim

x→0 x6=0

f^′(x) = 0 =f^′(0) doncf^′ est continue en 0.

Remarque : ce dernier calcul nous suggère une autre approche pour répondre à la première question en utilisant le théorème de prolongement du caractèreC¹

(12)

⋆ f est continue sur ]−1,1[ (voir le calcul de limite de la question 1),

⋆ f est de classeC¹sur ]−1,1[\{0}(d’après les théorèmes usuels),

⋆ f^′ admet une limite finie qui vaut 0 en 0 (voir le calcul ci-dessus).

Le théorème de prolongement du caractèreC¹ permet de conclure que f est de classe C¹ sur ]−1,1[ et quef^′(0) = 0.

— Méthode 1. Approximation linéaire au premier ordre de f.f dérivable en a donc il existe une fonctionεtelle quef(a+h) =f(a) +hf^′(a) +hε(h) avec la propriété lim

h→0ε(h) = 0. On montre alors qu’il exsite des fonctionsδet ν telles que

f²(a+ 3h) =f²(a) + 6hf(a)f^′(a) +hδ(h) et lim

h→0δ(h) = 0 =δ(0) et

f²(a−h) =f²(a)−2hf(a)f^′(a) +hν(h) et lim

h→0ν(h) = 0 =ν(0)

En injectant ces expressions dans la quantité proposée puis en passant à la limite surhtendant vers 0,

h→0lim

f²(a+ 3h)−f²(a−h)

h = 8f(a)f^′(a).

— Méthode 2. Approximation linéaire au premier ordre def².

f dérivable enadoncf² est aussi dérivable enasi bien qu’il existe une fonction εtelle quef²(a+h) = f²(a) +h(f²)^′(a) +hε(h) soitf²(a+h) =f²(a) + 2hf(a)f^′(a) +hε(h) avec la propriété lim

h→0ε(h) = 0.

Ainsi,

f²(a+ 3h)−f²(a−h)

h = f(a)²+ 6hf(a)f^′(a) + 3hε(3h)−f(a)²+ 2hf(a)f^′(a)−hε(−h)) h

= 8hf(a)f^′(a) + 3hε(3h) +hε(−h) h

= 8f(a)f^′(a) + 3ε(3h) +ε(−h)

| {z }

h→0→ 0 donc lim

h→0

f²(a+ 3h)−f²(a−h)

h = 8f(a)f^′(a).

— Méthode 3.

f²(a+ 3h)−f²(a−h)

h = (f(a+ 3h) +f(a−h))f(a+ 3h)−f(a−h) h

= (f(a+ 3h) +f(a−h))

3f(a+ 3h)−f(a)

3h +f(a−h)−f(a)

−h

et on évoque la continuité def enacarf est dérivable enaet la dérivabilité def enapour passer à la limite lorsquehtend vers 0. Le résultat est 8f(a)f^′(a).

— Méthode 4.

f²(a+ 3h)−f²(a−h)

h = f²(a+ 3h)−f²(a)−f²(a−h) +f²(a) h

= 3f²(a+ 3h)−f²(a)

3h +f²(a−h)−f²(a)

−h

où l’on reconnaît des taux d’accroissement def² ena, orf est dérivable enadoncf²est dérivable ena (produit de fonctions dérivables) et (f²)^′(a) = 2f(a)f^′(a), d’où le résultat par passage à la limite lorsque htend vers 0.

⊲ Corrigé de l’exercice 2.1 1. a(x) =

r 1 +q

2 +√x. Définie surR₊ et dérivable surR^∗

+ en appliquant le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions.

∀x∈R^∗

+, a^′(x) = 1

8√ x

q 2 +√

x+ (2 +√x)³²

(13)

2. b(x) = ln(x+p

1 +x²). Définie sur R et dérivable sur R en appliquant le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions.

∀x∈R, b^′(x) = 1

√x²+ 1 3. c(x) = ln √

2 sinx+ 1 +√

2 sinx−1

. Définie sur [

k∈Z

π

6 + 2kπ,5π 6 + 2kπ

et dérivable sur[

k∈Z

π

6 + 2kπ,5π 6 + 2kπ

en appliquant le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions.

∀x∈ [

k∈Z

π

6 + 2kπ,5π 6 + 2kπ

, c^′(x) = cosx

p(2 sinx+ 1)(2 sinx−1)

4. d(x) = Arctan lnx

3

. Définie sur R^∗₊ et dérivable surR^∗₊ en appliquant le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions.

∀x∈R^∗

+, d^′(x) = 3 x(9 + ln²x) 5. e(x) =e^xArctan(e^x)−lnp

1 +e^2x

. Définie surRet dérivable sur Ren appliquant le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions.

∀x∈R, e^′(x) =e^xArctan(e^x) 6. f(x) = sinx

cos²x+ln

1 + sinx cosx

. Définie sur [

k∈Z

i

−π

2 + 2kπ,π

2 + 2kπh

et dérivable sur [

k∈Z

i

−π

2 + 2kπ,π

2 + 2kπh en appliquant le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions.

∀x∈ [

k∈Z

i−π

2 + 2kπ,π

2 + 2kπh

, f^′(x) = 2 cos³x 7. g(x) = Arcsin

2x² 1 +x⁴

. Définie sur R et dérivable sur R\ {−1,1} en appliquant le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions.

∀x∈R, g^′(x) =







−4x

1 +x⁴ si x∈R\[−1,1]

4x

1 +x⁴ six∈]−1,1[

8. h(x) =x^x²Définie surR^∗₊et dérivable surR^∗₊en appliquant le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions.

∀x∈R^∗₊, h^′(x) =x^x²⁺¹(1 + 2 lnx) =x^x²⁺¹ln(ex²) 9. j(x) = Arctanx

x −ln x

√1 +x²

. Définie sur R^∗₊ et dérivable sur R^∗₊ en appliquant le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions.

∀x∈R^∗

+, j^′(x) =−Arctanx x² 10. k(x) =√xArcsin(√x) +√

1−x. Définie sur [0,1] et dérivable sur ]0,1[ en appliquant le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions.

∀x∈]0,1[, k^′(x) =Arcsin(√x) 2√x

(14)

1. uetv sont des solutions d’une équation d’ordre 2 surRdonc elles sont deux fois dérivables surI, donc u^′ et v^′ sont dérivables sur I doncuv^′ et u^′v sont dérivables surR (stab. de la dérivabilité par produit) doncW =uv^′−u^′v est dérivable surR(stab. de la dérivabilité par combinaison linéaire) et

W^′ = u^′v^′+uv^′′−u^′′v−u^′v^′

= uv^′′−u^′′v

= u(−qv)−(−qu)v caruetv sont solutions dey^′′+qy= 0

= 0

Par conséquent,W^′= 0 sur l’intervalle RdoncW est constante sur R.

Ainsi,W est la fonction constante égale à W(0) =u(0)v^′(0)−u^′(0)v(0) = 1 surR.

2. ⋆ Par hypothèse, h∈ C⁰(R,R) etv ∈ D²(R,R) (car sol. d’une équation différentielle du second ordre) doncv∈ C⁰(R,R). Par stabilité de la continuité par produit,vh∈ C⁰(R,R) donct7→

Z t 0

v(s)h(s)ds∈ C¹(R,R) et

t7→

Z t 0

v(s)h(s)ds ^′

=vh De même, uh∈ C⁰(R,R) donct7→

Z 0 t

u(s)h(s)ds∈ C¹(R,R) et

t7→

Z 0 t

u(s)h(s)ds ^′

=−uh

Par conséquent, par stabilité de la dérivabilité par produit,t7→u(t) Z t

0

v(s)h(s)ds∈ D¹(R,R) ett7→

v(t)Z 0 t

u(s)h(s)ds∈ D¹(R,R). Par stabilité de la dérivabilité par combinaison linéaire,ψ∈ D¹(R,R) et

∀t∈R, ψ^′(t) = −u^′(t) Z t

0

v(s)h(s)ds−u(t)v(t)h(t)−v^′(t) Z 0

t

u(s)h(s)ds+v(t)u(t)h(t)

= −u^′(t) Z t

0

v(s)h(s)ds−v^′(t) Z 0

t

u(s)h(s)ds

⋆ Des arguments analogues à ceux du premier point montrent queψ^′ ∈ D¹(R,R) et

∀t∈R, ψ^′′(t) = −u^′′(t) Z t

0

v(s)h(s)ds−u^′(t)v(t)h(t)−v^′′(t) Z 0

t

u(s)h(s)ds+v^′(t)u(t)h(t)

= −u^′′(t)

| {z }

=q(t)u(t) Z t

0

v(s)h(s)ds −v^′′(t)

| {z }

=q(t)u(t) Z 0

t

u(s)h(s)ds+ (uv^′−u^′v)(t)

| {z }

=W(t) = 1 h(t)

= −q(t)ψ(t) +h(t)

Ainsi,ψest deux fois dérivable sur Ret ψ^′′+qψ=h.

3. ψest solution de





∀t∈R , y^′′(t) +q(t)y(t) =h(t) y(0) = 0

y^′(0) = 0

.

1. Considérons la propriétéP(p) définie pour toutp∈N^∗ : P(p) : “∀(f1, . . . , fp)∈ D¹(I,R)^p ,

Yp i=1

fi∈ D¹(I,R) et Yp i=1

fi

!′

= Xp i=1

f_i^′ Yp

k=1 k6=i

fk “.

• P(1) est vraie de manière immédiate.

• Soitp∈N^∗ fixé quelconque tel que P(p) est vraie.

Soient (f1, . . . , fp+1)∈ D¹(I,R)^p+1 fixées quelconques.

(15)

⋆ Observons que

p+1Y

i=1

fi= Yp i=1

fi

| {z }

∈ D¹(I,R) d’aprèsP(p)

× fp+1

|{z}

∈ D¹(I,R) par hypothèse

orD¹(I,R) est un anneau donc

p+1Y

i=1

fi∈ D¹(I,R).

⋆ De plus, la formule permettant le calcul de la dérivée d’un produit de deux fonctions dérivables donne l’expression de

p+1Y

i=1

fi

!^′ :

p+1Y

i=1

fi

!^′

= Yp i=1

fi

!′

×fp+1+ Yp i=1

fi

!

×f_p+1^′

=



 Xp i=1

f_i^′ Yp

k=1 k6=i

fk



×fp+1+f_p+1^′ ×

p+1Y

k=1 k6=p+1

fk en utilisantP(p)

= Xp i=1

f_i^′

p+1Y

k=1 k6=i

fk+f_p+1^′ ×

p+1Y

k=1 k6=p+1

fk en utilisantP(p)

=

p+1X

i=1

f_i^′

p+1Y

k=1 k6=i

fk

Ainsi,P(p+ 1) est vraie.

2. En utilisant la formule prouvée dans la question précédente,

f^′(x) f(x) =

Xp i=1

(x−ai)^′ Yp

k=1 k6=i

(x−ak) Yp

i=1

(x−ai)

= Xp i=1

Yp

k=1 k6=i

(x−ak) Yp

i=1

(x−ai)

= Xp i=1

Yp

k=1 k6=i

(x−ak) Yp

i=1

(x−ai)

= Xp i=1

1 x−ai