Programme de colle série 7
ECS 1
Semaines du 18 et 25 janvier
1 Polynômes - Cours et exercices
Polynôme, coecient, fonction polynôme. Opérations sur les polynômes.
Espace vectoriel des polynômes.
(P Q)(X) = 0⇔P(X) = 0 ouQ(X) = 0.
Degré, coecient dominant. Degré de la somme, du produit.
Polynômes dérivés. Expression des polynômes dérivés successifs.
Formule de Taylor pour les polynômes.
Théorème de division euclidienne. Quotient, reste de la division. Degré du quotient.
Multiple, diviseur.
Racine d'un polynôme. Lien entre racines et divisibilité. Nombre maximal de racines d'un polynôme.
Ordre de multiplicité d'une racine. Lien avec les dérivées successives. Nombre maximal de racines d'un polynôme avec multiplicité.
Théorème de d'Alembert-Gauss. Factorisation dansC[X]. Racines conjuguées, factorisation dans R[X].
Démonstrations à connaître :
Degré de la somme et du produit.
Expression des polynômes dérivés successifs.
Lien entre racines et divisibilité.
