Lycée Chrestien de Troyes_PC_mathématiques
TD 8 Compléments d’algèbre PC
N°1 Soit E = 3, donner trois sev E1, E2 et E3
1. Montrer que si la somme E1 E2 E3 est directe alors (E1 E2={0} et E1 E3={0} et E2 E3={0}) 2. Etudier la réciproque.
N°2 E un -espace vectoriel de dimension finie. F et G deux sous-espaces vectoriels de E. F' un supplémentaire de F G dans F et G' un supplémentaire de F G dans G.
Montrer que : F+G = (F G) F' G'
N°3 Soit 𝐸 un 𝕂_espace vectoriel et 𝑓𝜖ℒ(𝐸). 𝜆 , 𝜆 , 𝜆 trois scalaires distincts deux à deux.
1. Montrer que 𝐾𝑒𝑟 (𝑓 − 𝜆 𝐼𝑑 ) et 𝐾𝑒𝑟 (𝑓 − 𝜆 𝐼𝑑 ) sont en somme directe.
2. En déduire que la somme 𝐾𝑒𝑟 (𝑓 − 𝜆 𝐼𝑑 ) ⨁ 𝐾𝑒𝑟 (𝑓 − 𝜆 𝐼𝑑 ) ⨁𝐾𝑒𝑟 (𝑓 − 𝜆 𝐼𝑑 ) est directe.
3. On suppose dans cette question que : dim(𝐸) = 4
dim 𝐾𝑒𝑟 (𝑓 − 𝜆 𝐼𝑑 ) = 1 et dim 𝐾𝑒𝑟 (𝑓 − 𝜆 𝐼𝑑 ) = 1 et dim 𝐾𝑒𝑟 (𝑓 − 𝜆 𝐼𝑑 ) = 2
Montrer que 𝑓 est diagonalisable (c’est-à-dire qu’il existe une base de 𝐸 dans laquelle la matrice de 𝑓 est diagonale)
N°4 E un -espace vectoriel . Soit f un endomorphisme de E et 𝑝𝜖ℕ∗
1,..., p
p scalaires distincts deux à deux.
Montrer que les noyaux des endomorphismes f iIdE, i
1,p sont en somme directe.N°5
Matrices triangulaires
n {0,1}, une matrice A = (aij) n
est dite triangulaire supérieure si et seulement si : (i,j) {1,…,n} 2, (i >j aij = 0).
On note Tn,s l’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordre n.
1. Est-ce que Tn,s est un sous-espace vectoriel de n
. Si oui quelle est sa dimension ? 2. Montrer que : A Tn,s , B Tn,s, AB Tn,s3. Soit A Tn,s . Donner une CNS pour que A soit inversible.
4. Montrer que si A Tn,s et A inversible alors A1 Tn,s
N°6
soit
:
1
n n
f X X
P X P X
1. Montrer que f est un isomorphisme
2. Former la matrice A de f relativement à la base canonique de n
X 3. Inverser la matrice A.4. En déduire que, pour i, j tels que i < j on a : j
1 k 0k i
k j
i k
