G10452. Pile ou face équitable
Jules et Romain conviennent de lancer une pièce de monnaie, Julesn+ 1 fois et Romainnfois ; Jules gagne s’il obtient plus de Pile que Romain ; Romain gagne s’il obtient autant ou plus de Pile que Jules. Ce jeu est-il équitable ? Solution
Notons P J, F J, P R, F R les nombres de Pile et Face obtenus par Jules et Romain.P J+F J =n+ 1,P R+F R=n. Jules gagne siP J > P R, il perd siP J ≤P R qui équivaut à F J > F R car (P J−P R) + (F J−F R) = 1.
A chaque partie que gagne Jules correspond, avec la même probabilité, une partie où Pile et Face sont échangés, et que gagne Romain ; de même pour une partie perdue par Jules. Ainsi Jules a même probabilité de gagner et de perdre, le jeu est équitable. Il n’y a pas de partie nulle et les probabilités de gain et de perte sont 1/2 pour chaque joueur.
Autre solution
Louis Moreau de Saint-Martin observe la partie au moment où chacun des joueurs a fait sesnpremiers lancers. Si l’un a une avance en nombre de Pile (tous deux ont la même probabilité d’y parvenir), cela détermine le résultat de la partie, quel que soit le résultat du lancer supplémentaire de Jules. Si au contraire ils sont à égalité à ce stade, c’est le lancer supplémentaire de Jules qui fait le résultat final. Dans un cas comme dans l’autre, les deux joueurs ont les mêmes chances.
