1. a. La dérivée s'exprimant comme un produit, on peut obtenir la dérivée seconde et les suivantes par la formule de Leibniz.

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Problème

1. a. La dérivée s'exprimant comme un produit, on peut obtenir la dérivée seconde et les suivantes par la formule de Leibniz.

f

⁰

(x) = e

^x

exp(e

^x

− 1) = e

^x

f (x) f

⁽ⁿ⁾

(x) = f

⁰⁽ⁿ⁻¹⁾

(x) =

n−1

X

k=0

n − 1 k

e

^x

f

^(k)

(x)

Il est clair par récurrence que tous les termes de cette somme sont strictement positifs.

b. L'inégalité demandée est vériée pour n = 0 car la fonction est croissante et une valeur approchée de f

¹_e

est 1,559 qui est largement inférieur à 2e . Supposons l'inégalité vériée jusqu'à n −1 et majorons à partir de l'expression de la question précédente :

|f

⁽ⁿ⁾

(x)| ≤

n−1

X

k=0

n k

e

¹^e

2ek

^k

≤ 2e

¹^e⁺¹

n−1

X

k=0

n k

k

^k

≤ 2e

¹^e⁺¹

n−1

X

k=0

n k

(n − 1)

^k

≤ 2e

¹^e⁺¹

(1 + n − 1)

ⁿ⁻¹

≤ 2en

ⁿ

e

¹^e

n

Comme 2 < e < 3 , e

¹^e

≤ 3

¹²

< 2 donc

^e_nⁿ¹

< 1 pour n ≥ 2 . 2. a. Pour x ∈] −

¹_e

,

¹_e

[ notons

a

_n

(x) = (nx)

ⁿ

n!

et formons le quotient de deux termes consécutifs. Après simplication, on trouve

a

n+1

(x) a

n

(x) = x

n + 1 n

n

qui converge vers ex quand n → +∞ . Comme < ex < 1 , le principe de comparai- son logarithmique montre que (a

_n

(x))

_n∈_N

est dominée par une suite géométrique qui converge vers 0 ; elle converge donc elle même vers 0.

b. Pour x ∈] −

¹_e

,

¹_e

[ notons

s

_n

(x) =

n

X

k=0

T

_k

k! x

^k

On reconnaît dans s

n

(x) un développement de Taylor en 0 de f . L'écart avec f (x) est le reste de la formule de Taylor à l'ordre n que l'on majore avec l'inégalité de Lagrange

|f (x) − s

_n

(x)| ≤ |x|

ⁿ⁺¹

(n + 1)! M

_n+1

(x)

où M

_n+1

est le borne supérieure de f

⁽ⁿ⁺¹⁾

sur l'intervalle d'extrémités 0 et x . On majore M

_n+1

avec 1.(b) :

|f (x) − s

_n

(x)| ≤ |x|

ⁿ⁺¹

(n + 1)! 2e(n + 1)

ⁿ⁺¹

= 2ea

_n+1

et le théorème d'encadrement montre avec 2.(a) la convergence de (s

_n

(x))

_n∈_N

vers f (x)

3. a. C'est encore la comparaison logarithmique qui permet de conclure. Posons a

k

=

k^p p!

, alors

a

k+1

a

k

= k + 1

k

p

1 k + 1 → 0

donc (a

k

)

_k∈_N

est dominée par toute suite géométrique dont la raison est dans ]0, 1[ , en particulier

¹₂

. Il existe donc un nombre réel A tel que

1 e

n

X

k=1

k

^p

k! ≤ A

n

X

k=0

1

2

ⁿ

≤ 2A(1 − 1

2

ⁿ⁺¹

) ≤ 2A Comme la suite est croissante, ceci assure la convergence.

b. Notons

s

n

(p) = 1 e

n

X

k=1

k

^p

k!

de sorte que pour chaque p , U

p

est la limite de (s

n

(p))

n∈N

c. Notons

s

n

(p) = 1 e

n

X

k=1

k

^p

k!

Alors (s

n

(p))

_n∈N

converge vers U

p

. En particulier, U

0

= 1 car s

n

(0) =

¹_e

P

n k=1

1

converge vers 1. La démonstration de

k!

(

n

X

k=1

1 k! )

_n∈_N

→ e

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s'obtient à partir de la dénition de la fonction exponentielle ou de l'inégalité de Taylor Lagrange.

Considérons s

_n

(p + 1) :

s

n

(p + 1) = 1 e

n

X

k=1

k

^p+1

k! = 1

e

n

X

k=1

k

^p

(k − 1)! = 1

e 1 +

n−1

X

k=1

(k + 1)

^p

k!

!

= 1 e 1 +

n−1

X

k=1

1 k!

p

X

i=0

p i

k

ⁱ

!!

= 1 e 1 +

p

X

i=0

p i

ⁿ⁻¹

X

k=1

k

ⁱ

k!

!

= U

₀

+

p

X

i=0

p i

s

_n−1

(i).

On en déduit la formule demandée en passant à la limite pour n → ∞ .

d. D'après l'expression de f

⁽ⁿ⁾

trouvée en 1.(a), les suites T

_n

et U

_n

vérient la même relation de récurrence qui permet de calculer tous les termes à partir du premier.

Comme T

0

= e

⁰

= 1 = U

0

, les deux suites sont égales

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