Calcul de la dérivée seconde 1 Schéma numérique x j+1 - x

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Cnam-Paris-2008-2009 CSC012 F.Guiraud

Lundi 19 Janvier 2009

Dérivation numérique (suite)

Calcul de la dérivée seconde 1 Schéma numérique x j+1 - x

j = ∆x . On part de la dérivée première centrée f "

c (x)=

h

2 ) (x x ' f 2 ) (x x ' f lim

0

− ∆

∆ − +

h→

avec

f ‘ c ( x + ∆x

2 ) = f(x+∆x) - f(x) ∆x et f ‘

c ( x - ∆x

2 )= f(x) - f(x- ∆x)

∆x

soit f "

c (x) #

f(x+ ∆x) -f(x)

∆x - f(x) -f(x- ∆x) ∆x

∆x + O(∆x ² )

f "

c (x) # f(x+(∆x ) ) -2 f(x) + f(x-(∆x ) )

∆x ² + O(∆x ² )

Calcul des dérivées troisième et quatrième

f "′

c ( x) #

f″ c (x+ ∆x 2 ) - f″

c (x- ∆x 2 ) ∆x ; f "

c ( x + ∆x 2 ) =

f(x+ 3 ∆x

2 ) -2 f(x+ ∆x

2 ) + f(x- ∆x 2 )

∆x ² ;

f "

c ( x - ∆x 2 ) =

f(x+ ∆x

2 ) -2 f(x - h

2 ) + f(x- 3h 2 )

∆x ² ; donc : f "′

c ( x) #

f(x+ 3 ∆x

2 ) -3 f(x+ ∆x

2 ) + 3f(x- ∆x

2 ) - f(x- 3 ∆x 2 )

∆x ³

f ( 4 )

c ( x) #

f″' c (x+ ∆x 2 ) - f″'

c (x- ∆x 2 ) ∆x ; f "′

c ( x + ∆x

2 ) # f(x+2 ∆x) -3 f(x+ ∆x) + 3f(x) - f(x- ∆x)

∆x ³

f "′

c ( x - ∆x 2 ) #

f(x+ ∆x) -3 f(x) + 3f(x- ∆x) - f(x-2 ∆x)

∆x ³

donc : f ( 4 )

c ( x) # f(x+2 ∆x) -4f(x+ ∆x)+6 f(x)-4f(x- ∆x) + f(x-2 ∆x)

∆x ⁴

Si f est au moins 6 fois dérivable, on montre que

| f ( 4)

( x) - f ( 4)

c ( x) | ≤ C ∆x ² où C est un majorant de f ( 6)

( x) sur [a,b]

2 Application : flexion d’une poutre encastrée

On considère une poutre OA de longueur L encastrée à chacune de ses extrémités, soumise à une force transversale répartie sur sa longueur selon une densité f(x).

On montre que la flexion y(x) de la poutre au point M d’abscisse x vérifie l’équation différentielle : d ⁴ y(x)

dx ⁴ = C f(x), C étant une constante dépendant de la poutre, On subdivise le segment [0,l] en n intervalles de longueur h = L

n , d’extrémités x

k = kh, 0≤ k ≤ n.

On pose pour tout k, tel que 0≤ k ≤ n, y

k = y(x k ) et f

k = f( x

k ), densité de la force au point x k On prend comme approximation de d ⁴ y(x)

dx ⁴ l’ approximation f ( 4)

c ( x) soit : d ⁴ y

dx ⁴ (x

k ) #

y k-2 -4y

k-1 +6y

k -4y

k+1 +y

k+2

h ⁴ pour 3≤ k ≤ n.-3

Conditions aux limites y(0)=0, y(L) = y

n =0, y’(0)= 0, y’(L)=0 dérivée décentrée à droite en x = L y ’ d =

y n+1 - y

n

h = 0 donc y

n+1 = y

n = 0.

dérivée décentrée à gauche en x = 0 y ’ g =

y 0 - y

-1

h = 0 donc y

0 = y

-1 = 0

Cette formule, compte tenu des conditions aux limites, reste valable pour k=1 ou k =2 et k= n-1 ou k = n-2 D’autre part, une approximation de la charge s’exerçant sur le segment [x

k - h 2 , x

k + h

2 ] est hf(x

k )= hf

k

Ecrire le système linéaire et le résoudre dans le cas où la charge est équirépartie, L = 10, n = 100, : C h ⁵ f = 1

9 donc

Représenter graphiquement y en fonction de x

%force uniforme n=50;l=10;

h=l/n;

e=ones(n-1,1);A= spdiags([e -4*e 6*e -4*e e], -2:2, n-1, n-1);

f=l/9;

Y=A\e*f hold on for k=1:n-1

plot(k,-Y(k),'*') end

hold off

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

x 10⁴

]