Inégalité de Cauchy-Schwarz

(1)

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Il s’agit d’une propriété constituée d’une seule inégalité générale.

Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Soit



x1;x2; ... ;x_n



ⁿ et



y1; y2; ... ; y_n



ⁿ.

On a : ² ²

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x y x y

  



^

 

 ^.

Démonstration :

1^er cas :



x1;x2 ; ... ;x_n

 

 0 ; 0 ; ... ; 0



On a :

1

0

n i i i

x y





 ^et ² ²

1 1

0

n n

i i

x y

 

 

 

^.

Donc l’inégalité est vraie (il s’agit même d’une égalité).

2^e cas :



x1;x2 ; ... ;x_n

 

 0 ; 0 ; ... ; 0



Pour tout réelt, on pose

   

²

1 n

i i

i

t x t y



 



 ^.

Il s’agit d’une astuce pour démarrer (à apprendre).

 t 

  

^{2 2} ²



1

2

n

i i i i

i

t x t tx y y



 



 

 t 

 

^{2 2} ²

1 1 1

2

n n n

i i i i

i i i

x x

t t t y y

  

     

     

     

     



  

 t 

 

² ² ²

1 1 1

2

n n n

i i i i

i i i

t

t x t x y y

  

     

     

      

     



  

(2)

 

^t

 est de la forme at² bt c avec ²

1 n

i i

a x





^,

1

2

n i i i

b x y





^, ²

1 n

i i

c y





^.

0

a car les x_i ne sont pas tous nuls.

 est donc une fonction polynôme du second degré.

D’autre part, d’après l’expression initiale de ,  t  ^

 

^t ^⁰^.

En effet, c’est une somme de carrés dans.

Son discriminant réduit est donc négatif ou nul.

On applique le lemme suivant tout à fait important :

Un polynôme du second degré dont le signe est constant admet un discriminant négatif ou nul.

Ce lemme se démontre aisément à l’aide de la règle du signe d’un polynôme du second degré.

Ce lemme peut être visualisé graphiquement de manière très simple.

' b'2 ac

  

2

2 2

1 1 1

'

n n n

i i i i

i i i

x y x y

  

    

    

 

    

    



  

(

1

' 2

n i i i

b b x y



 



⁾

Donc on a :

2

2 2

1 1 1

0

n n n

i i i i

i i i

x y x y

  

    

    

    





 

 

 ^ ^.

Par suite, on a :

2

2 2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x y x y

  

    

    





 ^

 

 ^. D’où

2

2 2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x y x y

  

    

    





 ^ 

 

 ^.

Par suite, ² ²

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x y x y

  



^

 

 ^.

Dans les exercices, on ne refait pas la démonstration.

On applique directement l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

(3)

Il est possible de préciser le cas d’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Cas particulier lorsque l’on prend les y_i égaux aux x_i. Dans ce cas, l’inégalité est en fait une égalité.

(4)

Exercices d’application

1. Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Soit



x1;x2; ... ;x_n



ⁿ.

Démontrer que : ²

1 1

n n

i i

x n x

 



^ 



^.

Solution :

L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit : ² ²

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b

  



^

 

 ^.

Méthode :

On effectue un choix judicieux pour les a_i et les b_i (vous n’êtes pas habitués).

On pose a_i x_i et b_i 1 pour tout entieri compris entre 1 etn.

On obtient alors : ²

1 1

n n

i i

x n x

 



^ 



^.

Soit



^x¹^;^x²^{; ... ;}^xⁿ



^

 

^^*^ ⁿ^.

Démontrer que : ²

1 1

1

n n

i

i i i

x n

  x

   

   

   



 

  ^ ^. Solution :

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b

  



^

 

 ^. On pose a_i  x_i et 1

i i

b  x pour tout entieri compris entre 1 etn.

(5)

 

² ²

1 1 1

1 1

n n n

i

i i i i

x x

  

 

  

 

 

^



1 1

1

n n

i

i i i

n x

  x

 





1 1

1

n n

i

i i i

n x

  x

 





2

1 1

1

n n

i

i i i

n x

  x

   

   

   



 

  

 (on élève au carré les deux membres qui sont tous les deux positifs ou nuls)

Soit



^x¹^;^x²^{; ... ;}^xⁿ





 

^* ⁿ.

Soit une permutation (bijection) de l’ensemble



1 ; 2 ; ... ;n



dans lui-même.

Démontrer que : _{ } ²

1 1

n n

i i i

i i

x x_ x

 



^



^.

(6)

Définition :

Unepermutation de l’ensemble E



1 ; 2 ; ... ;n



est une application deE dansE telle que deux éléments distincts ont deux images distinctes (c’est-à-dire que pour tout

couples

 

^{i j}^; d’éléments deE, on : i j Þ ^

 

ⁱ ^{ }

 

^j ^).

Commentaire :

Le mot permutation vient du verbe « permuter » qui signifie « échanger », « changer d’ordre ».

Une permutation sur l’ensemble E



1 ; 2 ; ... ;n



a pour effet de mettre les éléments dans un autre ordre.

Plutôt que de dire que deux éléments distincts deE ont deux images distinctes, on peut dire que chaque élément deE admet un unique antécédent.

Information (propriété) :

Le nombre de bijections ou de permutations deE est égal àn !.

La démonstration de cette propriété est assez simple.

Nous n’utiliserons cependant pas cette propriété dans l’exercice.

Lien avec notre exercice :

Notre bijection est ici juste pour changer l’ordre des indices, quel que soit l’ordre.

Question : « Quel est l’intérêt d’une bijection ? »

Retrouver le résultat par une autre manière en développant



_{ }



²

1 n

i i

i

x x_





 ^.

(7)

Solution :

Exemple pour n4 (afin de mieux comprendre).

Donnons un exemple de bijection de {1 ; 2 ; 3 ; 4} dans lui-même.

L’applicationdéfinie de{1 ; 2 ; 3 ; 4} dans lui-même par ^

 

¹ ^³^, ^

 

² ^¹^, ^

 

³ ^⁴^, ^

 

⁴ ^²^est

une bijection (on peut donner une illustration à l’aide d’un diagramme sagittal).

Dans ce cas, on a alors : _{ }

4

2 2 2 2 2

3 1 4 2

1 i i

x_ x x x x



   



(les termes ne sont plus écrites dans le même

ordre) et _{ }

4

1 3 2 1 3 4 4 2

1

i i

i

x x_ x x x x x x x x



   



^).

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a b a b

  



^

 

 ^. On pose a_i x_i et b_i x__{ }_i pour tout entieri compris entre 1 etn.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne : _{ } ² _{ }²

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x x_ x x_

  



^

 

 ^.

Par suite, on a : _{ } ² ²

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x x_ x x

  



^

 

 ^.

On utilise le lemme suivant : _{ }² ²

1 1

n n

i i

x_ x

 

 

 ^.

Il s’agit d’une même somme écrite de deux manières différentes.

Cela donne enfin _{ } ²

1 1

n n

i i i

i i

x x_ x

 



^



^.