ÉCS2
Bilinéarité, distributivité et sommes doubles
Pourquoi faut-il unesomme double pour dévelop- perpar bilinéarité/distributivité(1)?
1 Un exemple qui explique tout
Que vaut(a1+a2)(b1+b2)?
(a1+a2)(b1+b2) =a1b1+a1b2+a2b1+a2b2
qui est une somme de4termes, qu’on peut écrire : (a1+a2)(b1+b2) =
2
X
i=1 2
X
j=1
aibj = X
16i,j62
aibj.
Eta priori,(a1+a2)(b1+b2)6=a1b1+a2b2=
2
X
i=1
aibi
L’écriture de ce produit à l’aide de symboles «X
» nécessite deux indices distincts ...
2 Exemple du développement d’un produit scalaire
SoitB= (−→e1, . . . ,−→en)une base d’un espace euclidien E.
Soit−→u =
n
X
i=1
xi−→ei et −→v =
n
X
i=1
yi−→ei. On souhaite dé- velopperh−→u ,−→vi.
Développons pas à pas pour observer la nécessité de recourir à deux indices :
h−→u ,−→vi=hx1−→e1+x2−→e2+· · ·+xn−→en, y1−→e1+y2−→e2+· · ·+yn−→eni Par linéarité à gauche :
h−→u ,−→vi=x1h−→e1, y1−→e1+y2−→e2+· · ·+yn−→eni+ x2h−→e2, y1−→e1+y2−→e2+· · ·+yn−→eni+ ...
xnh−→en, y1−→e1+y2−→e2+· · ·+yn−→eni Par linéarité à droite :
h−→u ,−→vi=x1y1h−→e1,−→e1i+· · ·+x1ynh−→e1,−e→ni+ x2y1h−→e1,−→e1i+· · ·+x2ynh−→e1,−→eni+ ...
xny1h−→e1,−→e1i+· · ·+xnynh−→e1,−→eni
Notons que cette somme compte exactement n×n=n2
n×n=n2
n×n=n2 termesdu typexiyjh−→ei,−→eji.
Voyons comment écrire cette somme à l’aide de «X
».
Utilisons une somme indexée pour exprimer les membres de droite (j’utilise la lettre « j » car cela concerne le « second vecteur−→v ») :
h−→u ,−→vi=x1
*
−
→e1,
n
X
j=1
yj−→ej
+ +
x2
*
−
→e2,
n
X
j=1
yj−→ej +
+ ...
xn
*
−
→en,
n
X
j=1
yj−→ej +
Par linéarité à droite : h−→u ,−→vi=
n
X
j=1
(x1yjh−→e1,−→eji) +
n
X
j=1
(x2yjh−→e2,−→eji) +
...
n
X
j=1
(xnyjh−→en,−→eji)
On observe qu’on obtient une somme de n termes tous du type
yjx
i h−e→n,−→eji
oùivarie de1àn, d’où :
h−→u ,−→vi=
n
X
i=1
n
X
j=1
xiyjh−e→n,−→eji
=
n
X
i=1 n
X
j=1
xiyjh−→en,−→eji= X
16i,j6n
xiyjh−→en,−→eji
L’erreur couranteconsistant à ne pas utiliser deux indices distincts conduit à :
h−→u ,−→vi=
* n X
i=1
xi−→ei,
n
X
i=1
yi−→ei
+
— Attention, ce qui suit est faux ! ! ! — h−→u ,−→vi=
n
X
i=1
xiyih−→ei,−→eii=
n
X
i=1
xiyi||−→ei||2.
• Un tel développement ne contient quennn termes au lieu den2 termes ;
• il ne contient aucun terme du typex1y2h−→e1,−→e2i, et plus généralement xiyjh−→ei,−→ejiavec i6=j, qui pour- tant sont présents dans la somme initiale (il y en a exac- tementn×(n−1) =n2−n).
3 Un autre exemple de bilinéa- rité : la covariance
Soit U et V deux variables s’exprimant à l’aide de variablesXi et Yj :
U =
m
X
i=1
Xi et V =
n
X
i=1
Yi.
Volontairement, j’ai utilisé le même indice «i» dans ces sommes.
On sait que la covariance est bilinéaire, donc : Cov(U,V) =Cov
m
X
i=1
Xi,
n
X
i=1
Yi
!
— Attention, ce qui suit est faux ! ! ! — Cov(U,V) =
m
X
i=1
Cov Xi,
n
X
i=1
Yi
!
Gros problème : j’utilise i dans les deux sommes imbriquées l’une dans l’autre, ce qui entraîne des pro- blèmes. Dans cette ligne, est-ce quei va de1 à m ou1 à n? ? ? Le premieriest-il toujours égal au second ? ? ?
— Chic, ce qui suit est juste ! ! ! —
m
X
i=1
Cov
Xi,
n
X
j=1
Yj
=
m
X
i=1 n
X
j=1
Cov(Xi,Yj)
Cov(U,V) = X
16i6m,16j6n
Cov(Xi,Yj).
(1). Bilinéarité et distributivité sont de termes pour décrire la même situation.
Lycée HenriPoincaré 1/1 lo
