Notons tout de suite que par l’in´egalit´e triangulaire, la fonction valeur absolue G(x) =|x| est convexe sur R

(1)

cours 13, le lundi 7 mars 2011

IV. Espaces L^p IV.1. Convexit´e

Quand deux pointsx0, x1 ∈Rsont donn´es, on peut parcourir le segment [x0, x1] qui les joint en posant pour tout t∈[0,1]

x_t = (1−t)x0+tx1.

Si on pense à un mouvement où t représente le temps, la position de x_t au temps t= 0 est bien le pointx0 donné, et c’estx1 au temps 1.

Définition. Si G est une fonction réelle définie sur un intervalle I de la droite réelle, on dit que G est convexe si pour tous les points x0, x1 de I et pour tout t ∈[0,1], on a l’inégalité

G (1−t)x0+tx1

≤(1−t)G(x0) +tG(x1).

L’in´egalit´e signifie que sur le segment [x0, x1], le graphe de la fonction G est au dessous de la corde qui joint les points (x0,G(x0)) et (x1,G(x1)).

Toute fonction affine, de la forme G(x) =ax+b, est convexe, ainsi que−G : dans le cas affine, l’inégalité de convexité devient une égalité ; on verra un peu plus loin de vrais exemples de fonctions convexes. Notons tout de suite que par l’inégalité triangulaire, la fonction valeur absolue G(x) =|x| est convexe sur R; en effet,

(1−t)x0+tx1

≤(1−t)x0

+tx1

= (1−t)|x0|+t|x1|.

La fonction |x| = max(x,−x) est le maximum de deux fonctions affines. Plus g´en´e- ralement, on peut voir que le max d’une famille finie de fonctions affines est convexe.

En fait, si le sup G d’une famille quelconque (Gi)i∈I de fonctions convexes sur I est une fonction finie sur I, alors G est une fonction convexe sur I. On a en effet pour touti

Gi((1−t)x0+tx1)_≤(1−t)Gi(x⁰) +tGi(x¹)≤(1−t)G(x⁰) +tG(x¹), d’o`u le r´esultat en prenant le sup en i.

Le lemme qui suit permet de construire la plupart des exemples concrets de fonctions convexes.

Lemme. Si g est une fonction réelle croissante sur un intervalle I, sia est un point fixé de I, b une valeur réelle et si on pose

∀x∈I, G(x) =b+ Z x

a

g(y) dy, alors G est convexe sur I.

(2)

Preuve. —Six0 < x1 sont deux points de I, si 0< t <1 et si on posez = (1−t)x0+tx1, on a x0 < z < x1; on peut ´ecrire d’apr`es la croissance de g, et en remarquant que z−x0 =t(x1−x0), x1−z = (1−t)(x1−x0),

G(z)−G(x0) = Z z

x0

g(y) dy≤(z−x0)g(z) =t(x1−x0)g(z) et

G(x1)−G(z) = Z x1

z

g(y) dy≥(x1−z)g(z) = (1−t)(x1−x0)g(z).

En multipliant la première inégalité par 1−t et la deuxième par t on obtient (1−t) G(z)−G(x0)

≤t(1−t)(x1−x0)g(z)≤t G(x1)−G(z) , qui devient, apr`es regroupement des multiples de G(z),

G (1−t)x0+tx1) = G(z)≤(1−t)G(x0) +tG(x1), ce qui prouve que G est convexe sur I.

Exemples.

— On a d´ej`a dit que les fonctions affines sont convexes.

— La fonction exponentielle est convexe sur R, ainsi que G_s : x ∈ R → e^sx pour tout s r´eel. En effet, cette fonction G_s est une primitive de la fonction g_s:x→se^sx,

∀x∈R, G_s(x) = e^sx= 1 + Z x

0

se^sy dy = 1 + Z x

0

g_s(y) dy,

et gs est croissante sur R; c’est tout `a fait clair quand s >0, et quand s < 0, x →e^sx est d´ecroissante, donc x→se^sx croissante.

— La fonction x →ln(1/x) =−ln(x) est convexe sur ]0,+∞[. Elle est en effet une primitive de la fonction croissante x→ −1/x.

— Pourp >1 la fonctionx → |x|^p est convexe surR: la d´eriv´eex→psign(x)|x|^p⁻¹ est continue et croissante. On note que

a+b

2

^p ≤ |a|^p+|b|^p 2

ce qu’on peut r´ecrire sous la forme |a+b|^p ≤2^p⁻¹ |a|^p+|b|^p .

Pour p = 1 la convexité de x → |x| est vraie aussi, conséquence immédiate de l’inégalité triangulaire comme on a vu ; mais on peut dire aussi que la fonction valeur absolue est obtenue en intégrant à partir de a= 0, avec valeur initialeb= 0, la fonction croissante g qui vaut−1 pour x <0 et 1 pour x≥0,

G(x) =|x|= Z x

0

g(y) dy.

— Pour 0< p < 1 la fonction x→ −x^p est convexe sur [0,+∞[ : on peut l’obtenir en intégrant à partir de a = 1 la fonction croissantex→ −px^p⁻¹, définie pour x > 0,

∀x >0, −x^p =−1− Z x

1

py^p⁻¹dy.

La dérivée est intégrable en 0, ce qui permet de prolonger en x = 0 la représentation intégrale.

On dit qu’une fonctionf est concave quand −f est convexe. Il est plus raisonnable de dire que pour 0< p <1, la fonction x →x^p est concave sur [0,+∞[.

(3)

Corollaire.Si ϕest d´efinie sur un intervalle ouvert I, siϕ⁰⁰(x)existe etϕ⁰⁰(x)≥0 pour tout x∈I, alors ϕ est convexe sur I.

Preuve. — Puisque ϕ⁰⁰ existe, la d´eriv´ee ϕ⁰ est continue, et elle est croissante sur I puisque ϕ⁰⁰(x)≥0. On a donc, si a est un point quelconque choisi dans I,

∀x∈I, ϕ(x) =ϕ(a) + Z x

a

ϕ⁰(y) dy, ce qui permet d’appliquer le lemme pr´ec´edent.

Au d´ebut de cette section, on est parti d’une fonction croissante g, et on a montr´e que ses primitives G sont convexes. On va maintenant faire le chemin inverse.

Lemme ^hhdes trois pentesⁱⁱ. On suppose que ϕ est une fonction convexe d´efinie sur un intervalle I⊂R. Si u, v, wsont trois points de I tels que u < v < w, on a

ϕ(v)−ϕ(u)

v−u ≤ ϕ(w)−ϕ(u)

w−u ≤ ϕ(w)−ϕ(v) w−v . Preuve. — Posonst = (v−u)/(w−u) ; alors 0< t < 1 et

v=u+ (v−u) =u+t(w−u) = (1−t)u+tw, donc par la convexit´e de ϕ on a

(1) ϕ(v) =ϕ((1−t)u+tw)≤(1−t)ϕ(u) +tϕ(w) =ϕ(u) +t ϕ(w)−ϕ(u) , donc

ϕ(v)−ϕ(u)≤t(ϕ(w)−ϕ(u)) et ϕ(v)−ϕ(u)

v−u ≤ ϕ(w)−ϕ(u) w−u . Pour l’autre in´egalit´e, on transforme (1) en

(1−t)(ϕ(w)−ϕ(u))≤ϕ(w)−ϕ(v) donc ϕ(w)−ϕ(u)

w−u ≤ ϕ(w)−ϕ(v) w−v .

Théorème.Soit ϕ une fonction convexe sur un intervalle I, et soity un point intérieur

`

a l’intervalle I; la fonction py d´efinie par

∀x∈I\ {y}, p_y(x) = ϕ(x)−ϕ(y) x−y

est croissante ; la fonction ϕ admet une dérivée à droite ϕ⁰_d(y) et une dérivée à gauche ϕ⁰_g(y), et

−∞< ϕ⁰_g(y)≤ϕ⁰_d(y)<+∞.

Il en r´esulte que ϕ est continue au point y. Pour tout r´eel α tel que ϕ⁰_g(y)≤α ≤ϕ⁰_d(y), la fonction ϕ majore la fonction affine x→ϕ(y) +α(x−y),

∀x ∈I, ϕ(y) +α(x−y)≤ϕ(x).

(4)

Preuve. — Considérons un pointyintérieur à I ; d’après le lemme précédent, la fonction pentep_y :x→(ϕ(x)−ϕ(y))/(x−y), définie pour x6=yélément de I, est croissante (on va donner les détails plus loin) ; la pente p_y(x) a donc une limite à droite ϕ⁰_d(y) et une limite à gauche ϕ⁰_g(y) quand x tend vers le point y, et le lemme précédent indique aussi que ϕ⁰_g(y)≤ϕ⁰_d(y).

Donnons les précisions annoncées ; considérons quatre points u, u1, v1, v dans I tels que u < u1 < y < v1 < v; ces points existent parce que yest intérieur à I. Appliquons le

hhlemme des trois pentesⁱⁱaux pointsu < u1 < y,u1 < y < v1 et y < v1 < v; on obtient ϕ(y)−ϕ(u)

y−u ≤ ϕ(y)−ϕ(u1) y−u1

≤ ϕ(v1)−ϕ(y)

v1−y ≤ ϕ(v)−ϕ(y) v−y ,

doncp_y(u)≤p_y(u1)≤p_y(v1)≤p_y(v) : la pentep_y est croissante, donc admet des limites

à gauche et à droite ; en passant à la limite quand v1, u1 tendent vers y on obtient ϕ(y)−ϕ(u)

y−u ≤ϕ⁰_g(y)≤ϕ⁰_d(y)≤ ϕ(v)−ϕ(y) v−y ,

ce qui montre que les deux demi-dérivées sont finies, et entraˆıne la continuité de ϕ au point y. Si on choisit α entre les deux demi-dérivées en y, on aura

ϕ(y)−ϕ(u)

y−u ≤α≤ ϕ(v)−ϕ(y) v−y ,

ce qui montre que ϕ(v)−ϕ(y) ≥ α(v−y) pour tout v > y et ϕ(y)−ϕ(u) ≤α(y−u) ce qui donne aussi ϕ(u)−ϕ(y) ≥ α(u−y) pour tout u < y. Il y a aussi ´egalit´e quand u=y, doncϕ(y) +α(x−y)≤ϕ(x) pour tout x∈I.

Remarque. Dans le cas ^hhhabituelⁱⁱ, on a ϕ⁰_g(y) = ϕ⁰_d(y), le seul choix possible est α = ϕ⁰(y) et la dernière affirmation de l’énoncé revient à dire que le graphe de la fonction convexe ϕ est au-dessus de sa tangente au point (y, ϕ(y)),

∀x ∈I, ϕ(x)≥ϕ(y) +ϕ⁰(y) (x−y).

Remarque. La fonction convexe ϕadmet une dérivée à droite à valeurs dans [−∞,+∞[ en tout pointy∈I qui n’est pas un majorant de I (pourϕ(x) =−√

x, qui est convexe sur I = [0,+∞[, la dérivée à droite vaut −∞au point y = 0) ; de même, la fonction convexe ϕ admet une dérivée à gauche à valeurs dans ]−∞,+∞] en tout point qui n’est pas un minorant de I.

Dans le cas d’un intervalle fermé [a, b], il est possible que la fonction convexe ϕ ne soit pas continue aux extrémités a et b, comme on le voit dans l’exemple où ϕ= 0 sur ]a, b[

et ϕ(a) = 1, ϕ(b) = 2. Les propriétés d’une fonction convexe sont plus agréables si on considère l’intérieur de l’intervalle de définition. Elles sont résumées dans le corollaire qui suit.

Corollaire.Soit ϕ: I →Rune fonction convexe sur un intervalle I; sur l’intérieur de I, la fonction ϕ est continue, admet une dérivée à gauche et à droite finies, qui sont deux fonctions croissantes ; la dérivée à droite est continue à droite, et la dérivée à gauche est continue à gauche. L’ensemble D des points y de I où ϕ⁰(y) < ϕ⁰(y) est au plus

(5)

dénombrable, la fonctionϕ est dérivable en tout point y∈ I\D, et pour tous x, y dans l’intérieur de I on a

ϕ(y)−ϕ(x) = Z y

x

ϕ⁰(u) du.

Preuve. — Si y0 < y1 sont deux points intérieurs à I, on obtient, en appliquant les résultats du théorème précèdent à y=y0 et à y=y1, les inégalités

(2) ϕ⁰_g(y0)≤ϕ⁰_d(y0)≤ ϕ(y1)−ϕ(y0) y1−y0

≤ϕ⁰_g(y1) ≤ϕ⁰_d(y1).

Cela montre que les dérivées, à droite ou à gauche, sont deux fonctions croissantes.

La suite de la preuve est moins importante. Montrons la continuité à droite de ϕ⁰_d en y0; par (2) et par la définition de la dérivée à droite, il existey1 > y0 tel que

ϕ⁰_d(y0)≤ ϕ(y¹)−ϕ(y⁰)

y1−y0 ≤ϕ⁰_d(y0) +ε;

par la continuit´e deϕau pointy0, on peut trouverh0>0 assez petit pour quey0+h0< y1

et pour que pour touth∈]0, h0[, on ait ϕ(y1)−ϕ(y0+h)

y1−y0−h ≤ ϕ(y1)−ϕ(y0) y1−y0

+ε≤ϕ⁰_d(y0) + 2ε; d’après (2), appliqué à y0+h < y1,

ϕ⁰_d(y⁰)≤ϕ⁰_d(y⁰+h)≤ ϕ(y1)−ϕ(y0+h)

y1−y0−h ≤ϕ⁰_d(y⁰) + 2ε,

ce qui termine la preuve de la continuité à droite deϕ⁰_d. La preuve de la continuité à gauche deϕ⁰_g est analogue.

L’ensemble D des points de discontinuité (qui sont des sauts) de la fonction croissanteϕ⁰_d est au plus dénombrable, et de plus, les propriétés d’encadrement des dérivées gauche et droite,

t−h < t < t+h ⇒ ϕ⁰_g(t−h)≤ϕ⁰_d(t−h)≤ϕ⁰_g(t) ≤ϕ⁰_d(t)≤ϕ⁰_g(t+h)≤ϕ⁰_d(t+h) entraˆınent que ϕ⁰_g admet exactement le même ensemble D de discontinuités. En chaque pointt de I\D, la fonctionϕest dérivable et ϕ⁰(t) =ϕ⁰_g(t) =ϕ⁰_d(t).

Le calcul de l’intégrale de la dérivée peut se faire au moyen du théorème de Riemann sur la convergence des sommes de Riemann vers l’intégrale. Si on découpe [x, y] en n parties

égales au moyen de pointsxi,i= 0, . . . , n, on aura d’après (2), en choisissant de former la somme de Riemann en sélectionnant dans chaque intervalle [xi−1, xi] le point final xi,

Xn

i=1

ϕ⁰_d(xi)(xi−xi−1)≥ Xn

i=1

(ϕ(xi)−ϕ(xi−1))=ϕ(y)−ϕ(x), donc en passant à la limite par le théorème de Riemann,

Z y x

ϕ⁰(u) du≥ϕ(y)−ϕ(x).

On obtient l’inégalité inverse en sélectionnant le point initialxi−1 de chaque intervalle de subdivision [xi−1, xi],

Xn

i=1

ϕ⁰_d(xi−1)(xi−xi−1)≤ Xn

i=1

(ϕ(xi)−ϕ(xi−1))=ϕ(y)−ϕ(x).

Remarque.Dans le cas d’un intervalle fermé [a, b], il est possible que la fonction convexeϕ ne soit pas continue aux extrémitésaetb, comme on l’a vu dans l’exemple oùϕ= 0 sur ]a, b[

etϕ(a) = 1,ϕ(b) = 2 ; dans ce cas,ϕ(b)−ϕ(a) n’est pas l’intégrale deϕ⁰entre aetb. Mais si ϕest continue sur I, la description intégrale s’étend aux extrémités.

(6)

IV.2. Les espaces L^p et L^p

On suppose que p est un nombre réel tel que 1≤ p <+∞. On désigne par L^p_K(E,F, µ) l’ensemble des fonctionsF-mesurablesf définies sur E, à valeurs dansK=RouCtelles

que Z

E

|f(x)|^pdµ(x)<+∞.

On pose pour toute fonction f ∈ L^p kfk_p =Z

E

|f(x)|^pdµ(x)¹/p

.

Il est clair que pour tout α ∈ K, la fonction αf reste dans L^p et kαfk_p = |α| kfk_p. La fonction u→ |u|^p est convexe, on a vu que

|u+v|^p ≤2^p⁻¹ |u|^p+|v|^p ,

ce qui permet de montrer que la somme de deux fonctions de L^p est dans L^p, et on voit ainsi que L^p est un espace vectoriel.

L’espace L^∞_K(E,F) est formé des fonctions F-mesurables bornées à valeurs dans K. On le munit de la norme du sup ou norme uniforme, qu’on désignera par la notation (non consacrée)

kfk_u = sup{|f(x)|:x ∈E}.

Pour cette norme l’espaceL^∞est complet : une limite uniformef d’une suite de fonctions bornées reste bornée, et c’est aussi une limite simple de fonctionsF-mesurables, donc la limite f est F-mesurable bornée.

Semi-norme sur L^p, convexit´e de la boule unit´e

Proposition. Quand 1 ≤ p < +∞, l’application f ∈ L^p(E,F, µ) → kfk_p est une semi-norme sur L^p, c’est-`a-dire que

— pour tout scalaire α ∈K et toute fonction f ∈ L^p, on akαfk_p =|α| kfk_p;

— pour toutes f, g ∈ L^p, on a l’inégalité triangulaire kf +gk_p ≤ kfk_p+kgk_p. Preuve. — On a déjà mentionné la propriété d’homogénéité kαfk_p = |α| kfk_p. Pour prouver l’inégalité triangulaire, considérons l’ensemble

B_p :=

f ∈ L^p(E,F, µ) : Z

E

|f|^pdµ≤1}.

C’est un ensemble convexe : si f et g sont deux fonctions dans B_p, on note que pour tous x∈E et 0≤t≤1, par la convexit´e de u→ |u|^p et par sa croissance pour u≥0,

(1−t)f(x) +tg(x) ^p ≤

(1−t)|f(x)|+t|g(x)|

^p ≤(1−t)|f(x)|^p+t|g(x)|^p, doncZ

E

|(1−t)f(x) +tg(x)|^pdµ(x)≤(1−t) Z

E

|f(x)|^pdµ(x) +t Z

E

|g(x)|^pdµ(x)≤1.

L’inégalité triangulaire en résulte : si a > kfk_p et b > kgk_p considérons f1 = a⁻¹f et g1 =b⁻¹g qui sont dans la boule unité B_p, ainsi que la combinaison convexe

a

a+bf1+ b

a+bg1 = f +g

a+b ∈B_p;

(7)

par l’homogénéité de la fonction k.k_p on en déduit que kf +gk_p ≤ a+ b, et on fait tendre a vers kfk_p et b vers kgk_p. À la limite,

kf +gk_p ≤ kfk_p+kgk_p. On a donc l’inégalité triangulaire, et une semi-norme sur L^p. L’espace quotient L^p, normé

L’ensemble

N_p =n

f :kfk_p = 0o

=n f :

Z

E

|f|^pdµ= 0o

est le noyau de la semi-norme k.k_p. Comme on a une semi-norme, le noyau est un sous- espace vectoriel : si f, g∈ N_p, alors

kαf +βgk_p ≤ |α| kfk_p+|β| kgk_p = 0 ;

de fa¸con générale, tous les éléments f d’une classe fixée fbde L^p/N_p ont la même semi- norme (on peut invoquer l’inégalité triangulaire : si f1, f2 sont dans la même classe, on a kf2k_p ≤ kf1k_p +kf2 −f1k_p = kf1k_p, et on échange ensuite f1 et f2) ; on peut donc attribuer cette semi-norme constante à la classe, en posant

kfkb _p =kfk_p

pour un représentant f quelconque. On obtient une semi-norme sur le quotient, qui est en fait une norme : en effet kfbk_p = 0 signifie que kfk_p = 0 quand f est un représentant de cette classe f, doncb f appartient à N_p et fb=N_p, qui est le 0 de l’espace quotient,

kfkb _p = 0 ⇒ fb= 0L^p.

Remarquons que N^p co¨ıncide avec le sous-espace vectoriel des fonctions n´egligeables N =n

f :f est F-mesurable et nulleµ-presque partout o ,

qui est indépendant de la valeur de p; en effet, si l’intégrale de la fonction mesurable positive |f|^p est nulle, on en déduit que |f|^p, donc aussi f, est nulle µ-presque partout.

Inversement, si f ∈ N, on a R

E|f|^pdµ= 0 donc f ∈ N^p. L’espace L^∞

L’espaceN des fonctions négligeables est contenu dans tous les espaces L^p pourp <+∞, mais les fonctions négligeables ne sont pas nécessairement bornées. On introduit

N∞ =N ∩ L^∞,

l’espace des fonctionsµ-négligeablesbornées. L’espace L^∞_K (E,F, µ) est formé des classes de fonctions F-mesurables bornées à valeurs dans K,

L^∞_K(E,F, µ) =L^∞_K(E,F)/N∞.

L’espace L^∞(E,F) était déjà normé (par la norme uniforme), et on peut voir que son sous-espace N∞ est fermé pour cette norme. On est dans le cadre du quotient d’un

(8)

espace normé par un sous-espace vectoriel fermé : les éléments d’une même classe n’ont pas la même norme uniforme ; par définition, la norme d’une classe fb∈L^∞(E,F, µ) est l’inf des normes des éléments de la classe. Cela revient à définir la norme ainsi : si f est un représentant de la classe fb, alors kfkb ∞ est le plus petit M tel que |f| ≤ M presque partout. On dit que M est le sup essentiel de la fonction f.

Posons en effet M = kfkb ∞ et soit f un élément quelconque de la classe fb; par définition de la norme quotient, il existe f_n équivalente à f telle que kf_nk_u <M + 2⁻ⁿ, pour tout entier n ≥0, où cette fois la norme est la ^hhvraieⁱⁱ norme du sup ; on a donc

|f_n| ≤M + 2⁻ⁿ partout, et comme f est ´egale `a f_n µ-presque partout, µ {x∈E :|f(x)|>M + 2⁻ⁿ}

≤µ {f 6=f_n}

= 0.

En faisant variernon obtient une famille dénombrable d’ensembles négligeables, dont la réunion N =

|f|>M est encore un ensembleµ-négligeable ; il en résulte queµ-presque partout, on a |f| ≤ M. Réciproquement, si |f| ≤ M µ-presque partout, on trouve une fonction feéquivalente à f qui est partout ≤M, donc kfbk∞ ≤M.

On peut dire tout de suite que L^∞, quotient d’un espace de Banach par un sous- espace vectoriel fermé, est complet d’après la théorie générale, mais on donnera aussi un argument ad hoc plus loin.

Remarque :classes de fonctions et fonctions définies presque partout. À chaque fonction µ-intégrable f (donc, mesurable définie presque partout) correspond une unique classe, un unique élément de L¹(E,F, µ). En effet, toutes les ^hhcorrectionsⁱⁱ fede la fonction f forment une classe, élément de L¹.

L’espace norm´e L^p est complet

Th´eor`emede Fischer-Riesz, 1907.L’espace L^p_K(E,F, µ)est complet, pour 1≤p≤+∞.

Preuve. — On a déjà vu le cas de L^∞, on suppose ici que 1 ≤ p < +∞. On suppose que (fb_n) est une suite de Cauchy dans L^p. On choisit des représentants (f_n) ⊂ L^p, qui sont des ^hhvraies fonctionsⁱⁱ réelles ou complexes F-mesurables. On peut trouver une sous-suite (n_k) telle que

kfb_n_k+1 −fb_n_kk_p =kf_n_k+1 −f_n_kk_p <2⁻^k

pour toutk ≥0. Comme la suite de d´epart est de Cauchy, il suffit de trouver une limitefb dans L^p pour la sous-suite (fbnk). Posons

u0 = f_n0, u_k+1 =f_n_k+1 −f_n_k pour tout entier k≥0, de sorte que

Uk :=u0+· · ·+uk =fnk, Ubk=fbnk;

il faut donc faire convergerdans l’espace norm´e L^p la s´erie de vecteursP

ub_k, c’est-`a-dire montrer que la suite (Ub_k) des sommes partielles converge vers une limite dans L^p. Posons

∀x∈E, V_k(x) = Xk

|u_j(x)|;

(9)

c’est une suite croissante, de limite ponctuelle V(x) =

+∞X

j=0

|u_j(x)|

`

a valeurs dans [0,+∞]. La suite croissante (V_k(x))^p tend vers (V(x))^p, où on a convenu que (+∞)^p = +∞. Par l’inégalité triangulaire pour la norme de L^p, et en notant que les fonctions h ∈ L^p et |h| ont la même (semi)-norme,

khk^p_p = Z

E

|h|^pdµ=

|h|

^p

p, on voit que

Z

E

V^p_kdµ=

Xk j=0

|u_j| ^p

p ≤X^k

j=0

ku_jk_pp

≤

ku0k_p +X

j>0

2⁻^jp

=: M<+∞.

Par le th´eor`eme de convergence monotone, on obtient que Z

E

V^pdµ= lim

k

Z

E

V^p_kdµ≤M <+∞; l’ensemble

N ={V^p = +∞}={x ∈E : V(x) = +∞} ∈ F est donc de mesure nulle. Quand x /∈N, on a

V(x) =

+∞X

j=0

|u_j(x)|<+∞,

ce qui permet de consid´erer la fonctionf d´efinie parf(x) =P+∞

j=0u_j(x) pour toutx /∈N, ce qui est vrai µ-presque partout, et f(x) = 0 sinon. Cette fonction f est F-mesurable, et

|f|^p ≤^+∞X

j=0

|u_j|p

≤V^p

est intégrable, donc f ∈ L^p. Il reste à prouver que les sommes partielles Uk tendent vers f pour la norme de L^p. On a en dehors de N, c’est-à-dire µ-presque partout,

|f −U_k|^p = X

j>k

u_j

p ≤ X

j>k

|u_j|

p ≤V^p

et |f(x)−U_k(x)|^p →0 pour tout x /∈ N, ce qui donne une convergence vers 0 domin´ee par la fonction int´egrable V^p. Donc

kfb−fb_n_kk^p_p =kf −U_kk^p_p = Z

E

|f−U_k|^pdµ→0.

La classe fbde f est un élément de L^p, limite de la suite de Cauchy (fb_n). On a montré que L^p est complet.

(10)

L’espace L^∞ est complet aussi, on l’a déjà expliqué par des raisons générales et promis une preuvead hoc; cette preuve n’utilise pas de résultat d’intégration, seulement un peu de théorie de la mesure et les résultats sur la convergence uniforme. Si (f_n) est de Cauchy dans L^∞ et si on choisit une sous-suite (f_n_k) telle quekf_n_k+1−f_n_kk∞ <2⁻^k, il existe pour tout k un ensemble µ-négligeable N_k tel que

∀x /∈Nk, |f_n_k+1(x)−fnk(x)|<2⁻^k. En dehors de l’ensemble n´egligeable N =S

kNk, la s´erie de fonctions fn0 +X

k>0

(fnk+1 −fnk) converge normalement ; sa somme f donne la limite voulue.