Correction devoir sur fonction ln et exp. Tstg

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Correction devoir sur fonction ln et exp. Tstg

QCM :

1.d

;

2.a

;

3.a

et

4.c

.

1.

800× 1,045

³

≈912,93

soit 912,93 € au centime près.

2.

f  x =800× 1,045

^x

a.

1,045

^x

=e

^{xln1,045}. h : x

1,045

^x est donc une fonction de la forme

e

^u où u est la fonction linéaire

x x× ln 1,045

.

Comme

e

^u

 ' =u ' ×e

^u^{et que}^{u '}^: ^x

ln 1,045

on a :

h '  x= ln 1,045×1,045

^x. Par suite

f '  x=800 ln 1,045×1,045

^x^.

b. Pour tout

x

de [0;18], 800>0 ,

ln 1,045 

>0 car 1,0451 et 1,045^x0 donc

f '  x 0

et la fonction

f

est strictement croissante sur [0;18].

3. a. Par lecture graphique,

f 4,5≈975

et par le calcul

f  4,5≈ 975,24

au centime près.

b. par lecture graphique,

f  x =1600

pour

x≈ 15,75

soit environ 15 ans et 9 mois.

Par le calcul, on doit résoudre :

800× 1,045

^x

=1600

^⇔

1,045

^x

=2

^⇔

e

^{xln1,045}

=2

^⇔

xln1,045=ln 2

⇔

x= ln  2

ln 1,045

^⇔

x≈ 15,75 années

Remarque : Les intérêts sont perçus en fin d'année donc il faut prendre 16 années de placement pour assurer le double de ce que l'on a placé.