() () () () () () () () TYPES BAC FONCTION LN.

TYPES BAC FONCTION LN.

I. On considère l’équation (E1) : e ^x x ⁿ 0 où x est un réel strictement positif et n un entier naturel non nul.

1. Montrer que l’équation (E1) est équivalente à l’équation (E2) : ln (x) x n 0 2. Pour quelles valeurs de n l’équation (E1) admet-elle deux solutions ?

II. Pour chaque réel a, on considère la fonction f _a définie sur par f _a ( x) e ^{x a} 2 x e ^a . 1. Montrer que pour tout réel a, la fonction f a possède un minimum.

2. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?

III. On considère la suite ( ) ^{u n} définie par u 0 1 et, pour tout entier naturel n, u n 1 2 u n . 1. On considère l’algorithme suivant :

Variables n est un entier naturel u est un réel positif Initialisation Demander la valeur de n

Affecter à u la valeur 1 Traitement

Pour i variant de 1 à n : Affecter à u la valeur 2u

Fin de Pour

Sortie Afficher u

a. Donner une valeur approchée à 10 ^{ 4} près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit n = 3.

b. Que permet de calculer cet algorithme ?

c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n :

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ( ) ^{u n ?}

2.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 0 u n 2.

b. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u n .

c. Démontrer que la suite ( ) ^{u n} est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

3. On considère la suite ( ) ^{v n} définie, pour tout entier naturel n, par v n ln ( ) ^{u n ln(2).}

a. Démontrer que la suite ( ) ^{v n} est la suite géométrique de raison ¹

2 et de premier terme v 0 ln(2).

b. Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de v n en fonction de n, puis de u n en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{u n .}

d. Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de n telle que u _n 1,999.

Variables n est un entier naturel u est un réel

Initialisation Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 1 Traitement

Sortie

n 1 5 10 15 20

Valeur affichée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999

IV. D’APRES BAC C 1992.

n étant un entier naturel non nul, on se propose d’étudier la famille des fonctions f n , définies sur [0 ; + [ par :

 

 f n (x ) x ⁿ (1 ln( x)) si x 0

f n (0) 0 .

On désigne par ( ) ^{C n} la représentation graphique de f n dans le plan rapporté à un repère orthonormal Étude générale des fonctions f n .

1.

a. Déterminer lim

x 0

f n (x). Interpréter graphiquement.

b. Déterminer la limite de f n en + . 2.

a. Étudier suivant les valeurs de x le signe de l’expression : f n 1) (x ) f n ( x) et préciser les valeurs de x pour lesquelles elle s’annule.

b. En déduire la position relative des courbes ( ) ^{C n et} ( ^{C n 1} ) et montrer que toutes les courbes

( ) ^{C n} passent par trois points fixes dont on précisera les coordonnées.

3.

a. Étudier les variations de f n et dresser son tableau de variations.

b. Pour n > 1, déterminer en fonction de n, une équation de la tangente à ( ) ^{C n} en chacun des points d’abscisses 1 et e.

4. Soit a un réel positif différent de 0 et de e. On considère les deux points M ϵ ( ) ^C n et M ϵ ( ^C n 1 )

de même abscisse a. On trace : la droite (OM ), la droite passant par M et parallèle à l’axe des

abscisses et la droite d’équation x 1. Montrer que ces droites sont concourantes.