MPSI B DS 1 : Divers exercices élémentaires et théorème de Erdös-Szekeres 21 septembre 2019
Exercice 1
SoitE un ensemble quelconque etpun entier naturel non nul, on dénit une application Φ
P(E)p −→ F(E,{0,· · ·, p}) (A1, A2,· · · , Ap) ϕA1,A2,···,Ap en posant
∀x∈E, ϕA1,A2,···,Ap(x) =Card{i∈ {1,· · · , p} tels quex∈Ai}
1. Exemple. Dans cette question seulement, E = {1,2,3,4,5}, p = 3, A1 = {1,2,3}, A2={3,4,5}, A3={2}. Précisez la fonctionϕA1,A2,A3.
2. On dénit une partieU deP(E)pen posant :
(A1, A2,· · · , Ap)∈ U ⇐⇒A1⊂A2⊂ · · · ⊂Ap=E
Montrer que la restriction deΦàU dénit une bijection de U dansF(E,{1,· · ·, p}). En déduire le nombre d'éléments deU lorsqueE contientnéléments.
Exercice 2
1. Calculer les sommes suivantes F =
n
X
k=0
k(k!), B=
n
X
k=0
1 k+ 1
n k
.
2. Pour tout entiern≥1, on note
Pn =
n
Y
k=1
2k−1 2k .
a. Montrer par récurrence que
Pn < 1
√2n+ 1.
b. En remarquant que
Pn =
n
Y
k=1
2k−1 2k ×(2k)
(2k),
exprimerPn uniquement avec des factorielles et une puissance de 2. En déduire une expression dePn faisant intervenir un coecient du binôme.
c. Soit k entier tel que 0 ≤ k < n. Montrer que 2nk
< k+12n
. Que peut-on en déduire pour 2nn? Montrer que
22n 2n+ 1 ≤
2n n
≤ 22n
√2n+ 1.
Exercice 3. Théorème de Erdös-Szekeres
Dans toute ce problème,m désigne un nombre entier,E une partie de Nà m éléments etf une fonction injective dénie dansE et à valeurs réelles.
SiAest une partie deE, on désigne parfAla restriction def àAc'est à dire la fonction dénie deAversRet telle que
∀a∈A, fA(a) =f(a)
Cet exercice porte sur les restrictions monotones def. Par convention, on décide qu'une fonction dont le domaine de dénition se réduit à un point est à la fois croissante et décroissante.
1. Exemple. Soitm= 6et f dénie parE={1,· · ·, m}
f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 4, f(4) = 6, f(5) = 5, f(6) = 1
a. Trouver toutes les partiesAdeE contenant au moins deux éléments et telles que fA soit croissante.
b. Trouver toutes les partiesAdeE contenant au moins deux éléments et telles que fA soit décroissante.
2. a. Montrer que pour toutpdansE, il existe au moins une partieAdeE telle que A⊂ {1,· · · , p}
p∈A fA croissante
On désigne parip le plus grand élément de l'ensemble des cardinaux des parties vériant ces conditions.
b. Calculer lesip pour l'exemple de la question 1.
3. a. Montrer que pour toutpdansE, il existe au moins une partieAdeE telle que A⊂ {1,· · · , p}
p∈A
fA décroissante
On désigne parjp le plus grand élément de l'ensemble des cardinaux des parties vériant ces conditions.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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b. Calculer lesjppour l'exemple de la question 1.
c. Présenter les résultats des questions 2.b et 3.b. sous la forme d'un tableau dont la dernière ligne est formée par les couples(ip, jp)
4. Soitpet qdansE tels quep < q a. Montrer quef(p)< f(q)⇒ip< iq
b. Montrer quef(q)< f(p)⇒jp< jq
5. Montrer que l'application dénie dansE qui àpassocie(ip, jp)est injective.
6. Théorème de Erdös-Szekeres.
Soitaet bentiers naturels non nuls etm=ab+ 1. Montrer que, pour toute fonction injective f dénie dans E (ensemble à m éléments) et à valeurs réelles, il existe une partieAdeE contenant strictement plus deaéléments telle quefA soit croissante ou bien il existe une partieB deEcontenant strictement plus deb éléments telle quefB
soit décroissante.
7. Soita≥2 et bdeux entiers naturels xés, m=ab et E={0,· · · , m−1}. Pour tout x∈ N, notons q(x), r(x) le quotient et le reste de la division euclidienne dexpara. On dénit la fonctionf dansE par
f(x) = (q(x) + 1)a−r(x)
a. Préciser les partiesAdeEtelles quefA soit décroissante. Quel est le plus grand cardinal possible ?
b. Préciser les parties B de E telles quefB soit croissante. Quel est le plus grand cardinal possible ?
c. Que peut-on en conclure relativement au théorème de la question 6. ?
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