les suites
Dans l’histoire des mathématiques, la notion de suite se rencontre au cours des siècles dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul.
On y a recours dès 1700 avant notre ère en Egypte, ou encore au IIIe siècle avant J.-C., quand Archimède, spécialiste des procédés d'approximation, utilise des suites pour des calculs d'aires et de volumes.
Plus tard, une suite célèbre verra le jour, la suite de Fibonacci. Leonardo Fibonacci l’abordera dans son ouvrage « Liber abaci » (1202) sous la forme d’un problème récréatif :
« Partant d'un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après deux mois ».
L’évolution du nombre de couples sur les cinq premiers mois est illustrée ci- contre.
On peut écrire le nombre de lapins tous les trois mois sous la forme d’une suite : 1, 1, 2, 3, 5, 8 … Dans cette suite de nombres entiers, chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Une telle suite est infinie. Cette suite engendre en outre le nombre d’or, qui est souvent utilisé pour théoriser l’esthétique et pour définir les critères de beauté et d’harmonie. Il est ainsi utilisé dans les arts, l'architecture, …
Les mathématiciens du XVIIe siècle s’y intéresseront à nouveau. Dans l'Encyclopédie Raisonnée de d'Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries, et à leur convergence. De nombreux mathématiciens utiliseront ensuite les suites pour approcher des valeurs numériques. L'étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont le but est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. De nos jours, les suites sont encore très utilisées en mathématiques financières et dans de nombreux domaines scientifiques.
1.1 Introduction
1.1.1 Découverte
Des questions seront distribuées en classe, elles sont reproduites en fin de chapitre Nous remplirons le tableau suivant pour formaliser nos découvertes.
Suite El 1 El 2 El 3 El 4 Elément 𝑛 (formule ?)
Comment passer à l’élément
suivant ?
Type de suite : formalisation
Somme des angles d’un polygone
Nombres triangulaires
Taux d’intérêt
Groupe Rectangle –
Diviseurs
Groupe Arrosage
Triangle de Pascal
Carrés creux
Décimales
Les suites apparaissent ici naturellement. On a remarqué qu’à chaque terme correspond une position donnée sans la suite.
On a pu remarquer des points communs entre certaines suites.
1.1.2 Caractérisation
A partir de ce paragraphe, nous considérerons les suites de nombres réels. Soient les différentes suites de nombres suivantes. Pour chaque suite, détermine intuitivement l’élément suivant.
Exercice 1
Suite Description
a. 1, 2, 3, 4, 5, …
b. 1, − 2, 4, − 8, 16, …
c. 1,1
4 ,1 9 , 1
16 , 1 25 , …
d. 7, 5, 3, 1, − 1, …
e. 1,0, −1
2 , −2 3 , −3
4 , …
f. 2, 6, 18, 54, 162, …
g. 2, 5, 8, 11, 14, …
h. 3
2 ,3 4 ,3
8 , 3 16 , 3
32 , …
i. 1, 2, 6, 24, 120, …
En notant 𝑢𝑛 le 𝑛𝑖è𝑚𝑒 terme de la suite (avec 𝑛 ∈ ℕ0), remplis le tableau ci-dessous et indique, comment tu passes d’un terme au suivant :
Suite 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6 Méthode
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Sépare les différentes suites en trois familles et explique ce qui a guidé ton choix.
Suite Numéro de
famille Critère de choix
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Donne une formule pour le calcul du 𝑛𝑖è𝑚𝑒 terme 𝑢𝑛 de la suite.
Suite 𝑢𝑛 = ?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
1.1.3 Définitions générales
Une suite est une succession infinie d’éléments appelés termes de la suite. Elle est notée (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ. 𝑢𝑛 est appelé le terme général et peut être donné sous forme explicite ou récurrente.
La forme récurrente définit le terme suivant par rapport au terme précédent, la forme explicite permet de calculer la valeur de n’importe quel terme directement.
Nous considérons dans la suite des suites d’indice 𝑛 ≥ 1, dont les différents termes sont notés : 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, … , 𝑢𝑛, …
La suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 est une suite arithmétique lorsqu’il existe un réel 𝑟 non nul tel que, pour tout naturel 𝑛 > 1
𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1+ 𝑟 Le réel 𝑟 est appelé la raison de la suite arithmétique.
La suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0est une suite géométrique lorsqu’il existe un réel 𝑞 non nul et différent de 1 tel que, pour tout naturel 𝑛 > 1
𝑢𝑛= 𝑞 . 𝑢𝑛−1
Le réel 𝑞 est appelé la raison de la suite géométrique.
Lorsque la suite n’est ni géométrique, ni arithmétique, on diraqu’elle est quelconque.
Soit une suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0,
• (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 est croissante signifie que pour tout 𝑛, 𝑢𝑛+ 1 ≥ 𝑢𝑛
• (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 est décroissante signifie que pour tout 𝑛, 𝑢𝑛+ 1 ≤ 𝑢𝑛. Une suite peut être ni croissante, ni décroissante.
C’est le cas par exemple de la suite définie par : 𝑢𝑛= (−1)𝑛
Les termes de cette suite sont alternativement égaux à 1 et -1. Dans le cas d’une suite dont les termes sont alternativement positifs et négatifs, on parle de suite alternée.
Exercice 2
(P1 : Connaître) Ecris les 5 premiers termes des suites suivantes. Indique si la définition qui t’est donnée est explicite ou récurrente, et si la suite est arithmétique, géométrique ou quelconque.
a. 𝑢𝑛= 𝑛2− 1 (𝑛 ∈ ℕ0)
b. { 𝑢1= −5
𝑢𝑛= 𝑢𝑛−1+ 3 (𝑛 ∈ ℕ\{0,1})
c. 𝑢𝑛= 𝑛2− 5𝑛 + 4 (𝑛 ∈ ℕ0)
d. 𝑢𝑛 =23𝑛 (𝑛 ∈ ℕ0)
e. { 𝑢1= 3
𝑢𝑛= 2𝑢𝑛−1+ 1 (𝑛 ∈ ℕ\{0,1})
1.2 Suites arithmétiques (SA)
1.2.1 Forme explicite d’une SA
Soit (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 une SA de 1er terme 𝑢1et de raison 𝑟. Par définition, on a (voir 1.1.3) : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1+ 𝑟
Il est utile de disposer d’un moyen de calculer le nième terme de la suite sans connaître la valeur du terme précédent, c’est-à-dire de disposer d’une forme explicite définissant la suite.
Avec la définition de la suite, on a :
𝑢2= 𝑢1+ 𝑟
𝑢3= 𝑢2+ 𝑟 = (𝑢1+ 𝑟) + 𝑟 = 𝑢1+ 2𝑟 𝑢4 = 𝑢3+ 𝑟 = (𝑢1+ 2𝑟) + 𝑟 = 𝑢1+ 3𝑟 𝑢5 = 𝑢4+ 𝑟 = (𝑢1+ 3𝑟) + 𝑟 = 𝑢1+ 4𝑟
… En étendant ce raisonnement pour tout 𝑛, on trouve :
𝑢𝑛= 𝑢1+ (𝑛 − 1)𝑟
1.2.2 Calcul d’un terme à partir d’un autre
D’après le point précédent, on a, pour une SA (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 : 𝑢𝑛= 𝑢1+ (𝑛 − 1) 𝑟 Pour 2 termes d’indices quelconques k et l, on a donc :
𝑢𝑘 = 𝑢1+ (𝑘 − 1) 𝑟 et 𝑢𝑙 = 𝑢1+ (𝑙 − 1) 𝑟 C’est-à-dire :
𝑢𝑘 = 𝑢1+ 𝑘𝑟 − 𝑟 et 𝑢𝑙 = 𝑢1+ 𝑙𝑟 − 𝑟 On peut en déduire la différence entre les termes uk et ul :
𝑢𝑘− 𝑢𝑙 = 𝑢1+ 𝑘𝑟 − 𝑟 − (𝑢1+ 𝑙𝑟 − 𝑟)
⇔ 𝑢𝑘− 𝑢𝑙 = 𝑢1+ 𝑘𝑟 − 𝑟 − 𝑢1− 𝑙𝑟 + 𝑟
⇔ 𝑢𝑘− 𝑢𝑙 = 𝑘𝑟 − 𝑙𝑟
⇔ 𝑢𝑘− 𝑢𝑙 = (𝑘 − 𝑙)𝑟
On a donc pour toute SA (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0de raison 𝑟 et pour tous 𝑘, 𝑙 ∈ ℕ0 : 𝑢𝑘 = 𝑢𝑙+ (𝑘 − 𝑙)𝑟
Exercice 3 (P2 : Appliquer)
a. Soit la suite arithmétique dont le premier terme est égal à 3 et dont la raison vaut 2.
i. Ecris les cinq premiers termes de la suite, ii. exprime la suite sous forme explicite, iii. définis la suite sous forme récurrente.
b. Parmi les suites suivantes : 8, 6, 4, 2, … 1,1
3 ,1 5 ,1
7 , … −3, −5
2 , −2, −3
2 , … 2, −4, 8, 16, … Quelles sont celles qui sont des suites arithmétiques ? Dans le cas de suites arithmétiques :
i. détermine la raison,
ii. exprime la suite sous forme explicite, iii. calcule le dixième terme,
iv. définis la suite sous forme récurrente.
c. Soit une suite arithmétique (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 dont la raison vaut 0,5 et telle que 𝑢8= 17.
Calcule 𝑢7, 𝑢5 et 𝑢1.
d. Soit une suite arithmétique (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 telle que 𝑢7= 13 et 𝑢13= 20,5 : i. détermine la raison,
ii. détermine le premier terme.
e. Détermine le réel 𝑥 tel que les 3 réels 2𝑥 − 1, 𝑥 + 2 et 1 − 3𝑥 soient égaux à trois termes consécutifs d’une suite arithmétique.
1.2.3 Somme des 𝐧 premiers termes d’une SA Introduction : la punition de Gauss
A partir de du schéma suivant, donne la valeur de la somme des 100 premiers naturels.
1 2 3 … 98 99 100
100 99 98 … 3 2 1
Généralisons ce raisonnement à la somme des 𝑛premiers termes d’une suite arithmétique :
𝑢1 𝑢2 𝑢3 … 𝑢n−2 𝑢n−1 𝑢n
𝑢n 𝑢n−1 𝑢n−2 … 𝑢3 𝑢2 𝑢1
Formalisation
On peut réécrire le raisonnement fait à la page précédente de manière plus formelle. La somme des 𝑛termes consécutifs d’une SA dont le premier terme est 𝑢1 et le dernier 𝑢𝑛 se note 𝑆𝑛 et vaut :
𝑆𝑛 = 𝑛 𝑢1+ 𝑢𝑛
2 En effet,
𝑆𝑛= 𝑢1+ 𝑢2+ ⋯ + 𝑢𝑛 n termes
+ 𝑆𝑛= 𝑢𝑛+ 𝑢𝑛−1+ ⋯ + 𝑢1 n termes
= 2𝑆𝑛= (𝑢1+ 𝑢𝑛) + (𝑢2+ 𝑢𝑛−1) + ⋯ + (𝑢𝑛+ 𝑢1)
Or,
n sommes de 2 termes
𝑢2+ 𝑢𝑛−1= 𝑢1+ 𝑟 + 𝑢𝑛− 𝑟 = 𝑢1+ 𝑢𝑛
𝑢3+ 𝑢𝑛−2= 𝑢1+ 2𝑟 + 𝑢𝑛− 2𝑟 = 𝑢1+ 𝑢𝑛
… Donc,
n sommes de 2 termes égales à (𝑢1+ 𝑢𝑛)
⟺ 2𝑆𝑛= 𝑛 (𝑢1+ 𝑢𝑛)
⟺ 𝑆𝑛= 𝑛 (𝑢1+ 𝑢𝑛)
2
Exercice 4 (P2 : Appliquer)
a. Soit la suite arithmétique définie par 𝑢𝑛= 3𝑛 + 5, 𝑛 ∈ ℕ0. Calcule la somme des 6 premiers termes de la suite.
b. Détermine la somme des 20 premiers termes de la suite 1,4, 7, 10, …
c. Calcule :
i. 𝑆 = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 37 ii. 𝑆 = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 30
d. La somme des 8 premiers termes d’une suite arithmétique est 54 et son premier terme est 4. Ecris cette suite sous forme explicite.
1.3 Suites géométriques (SG)
1.3.1 Forme explicite d’une SG
Soit (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 une SG de 1er terme 𝑢1et de raison 𝑞. Par définition, on a (voir 1.1.3) : 𝑢𝑛 = 𝑢1.𝑞𝑛−1
Il est utile de disposer d’un moyen de calculer le nième terme de la suite sans connaître la valeur du terme précédent, c’est-à-dire de disposer d’une forme explicite définissant la suite.
Avec la définition de la suite, on a :
𝑢2= 𝑞. 𝑢1
𝑢3= 𝑞. 𝑢2= 𝑞. (𝑞. 𝑢1) = 𝑞2. 𝑢1
𝑢4= 𝑞. 𝑢3= 𝑞. (𝑞. 𝑢2) = 𝑞3. 𝑢1
𝑢5= 𝑞. 𝑢4= 𝑞. (𝑞. 𝑢3) = 𝑞4. 𝑢1
… En étendant ce raisonnement pour tout 𝑛, on trouve :
𝑢𝑛= 𝑞𝑛−1. 𝑢1
1.3.2 Calcul d’un terme à partir d’un autre
D’après le point précédent, on a, pour une SG (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 : 𝑢𝑛= 𝑞𝑛−1. 𝑢1
Pour 2 termes d’indices quelconques 𝑘 et 𝑙, on a donc :
𝑢𝑘 = 𝑞𝑘−1. 𝑢1 et 𝑢𝑙= 𝑞𝑙−1. 𝑢1
On peut en déduire le quotient des termes uk et ul : 𝑢𝑘
𝑢𝑙 =𝑞𝑘−1. 𝑢1
𝑞𝑙−1. 𝑢1
⇔ 𝑢𝑘
𝑢𝑙 =𝑞𝑘−1 𝑞𝑙−1
⇔ 𝑢𝑘
𝑢𝑙 = 𝑞𝑘−1−(𝑙−1)
⇔ 𝑢𝑘
𝑢𝑙 = 𝑞𝑘−𝑙 On a donc pour toute SG (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0de raison 𝑞, pour tous 𝑘, 𝑙 ∈ ℕ0 :
𝑢𝑘 = 𝑢𝑙 ∙ 𝑞𝑘−𝑙
Exercice 5 (P2 : Appliquer)
a. Soit la suite géométrique dont le premier terme est égal à 5 et dont la raison vaut 1,5.
i. Ecris les cinq premiers termes de la suite, ii. exprime la suite sous forme explicite, iii. définis la suite sous forme récurrente.
b. Parmi les suites suivantes, quelles sont celles qui sont des suites géométriques ? Dans le cas de suites géométriques :
1,3 2 ,9
4 ,27
8 , … −1, −0.1 , −0.01, −0.001, … 1 3 ,1
2 ,3 5 ,2
3 , … 2, 1, 2−1, 2−2, … i. détermine la raison,
ii. exprime la suite sous forme explicite, iii. calcule le dixième terme,
iv. définis la suite sous forme récurrente.
c. Soit une suite géométrique (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 dont la raison vaut 2 et telle que 𝑢7= 52. Calcule 𝑢20, 𝑢6 et 𝑢1.
d. Soit une suite géométrique (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 telle que 𝑢4= 1500 et 𝑢7= 768 : v. détermine la raison,
vi. détermine le premier terme.
e. Détermine le réel 𝑦 tel que les 3 réels 3, 𝑦 − 1 et 2𝑦 − 1 soient égaux à trois termes consécutifs d’une suite géométrique.
1.3.3 Somme des 𝐧 premiers termes d’une SG
La somme des 𝑛termes consécutifs d’une SG (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 dont le premier terme est 𝑢1 et le dernier 𝑢𝑛 se note 𝑆𝑛 et vaut :
𝑆𝑛=𝑢1(1−𝑞𝑛) (1−𝑞)
En effet,
𝑆𝑛= 𝑢1+ 𝑢2+ ⋯ + 𝑢𝑛 En multipliant les deux membres par la raison q, on obtient :
⇔ 𝑞. 𝑆𝑛 = 𝑞. 𝑢1+ 𝑞. 𝑢2+ ⋯ + 𝑞. 𝑢𝑛
En utilisant la définition de la raison d’une suite SG : 𝑢𝑛= 𝑞 . 𝑢𝑛−1, (voir 1.1.3)
⇔ 𝑞. 𝑆𝑛= 𝑢2+ 𝑢3+ ⋯ + 𝑢𝑛+1 En soustrayant l’équation 2 à l’équation (1) :
⇔ 𝑆𝑛− 𝑞. 𝑆𝑛= 𝑢1− 𝑢𝑛+1
⇔ 𝑆𝑛. (1 − 𝑞) = 𝑢1− 𝑢𝑛+1
On utilise la forme explicite de la suite (voir 1.3.1) 𝑢𝑛= 𝑞𝑛−1. 𝑢1 pour trouver 𝑢𝑛+1= 𝑞𝑛. 𝑢1. En substituant cette expression dans l’équation précédente :
Equation (1)
Equation (2)
⇔ 𝑆𝑛. (1 − 𝑞) = 𝑢1− 𝑢1𝑞𝑛
⇔ 𝑆𝑛=u1(1−𝑞(1−𝑞)𝑛)
Exercice 6 (P2 : Appliquer)
a. Soit la suite géométrique définie par 𝑢𝑛= 3 ∙ 2𝑛, 𝑛 ∈ ℕ0. Calcule la somme des 6 premiers termes de la suite.
b. Détermine la somme des 20 premiers termes de la suite 3, −9, 27, −81, …
c. Calcule :
i. 𝑆 = 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 64 ii. 𝑆 = 9 − 3 + 1 −13+ ⋯ −2431
d. Je paie actuellement un loyer de 550€. Mon loyer augmentera chaque mois de 0,1 %.
Détermine la valeur de mon loyer dans 3 ans. Quelle somme totale aurai-je versé à mon propriétaire après 3 ans.
