CONTR ˆOLE CONTINU 2 - TOPOLOGIE PARCOURS A - 21 OCTOBRE 2016 - DUR ´EE : 3 HEURES
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NOTATIONS :
Dans tout le probl`eme, (E,k.k) d´esigne un espace vectoriel norm´e r´eel etE0 l’ensemble des formes lin´eaires continuesf deE dansR
On dit qu’une partie non videCdeEest convexe si
pour tousx,y∈Cett∈[0,1],tx+ (1−t)y∈C.
SiUest une partie deE on d´efinit
IntU={x∈U,∃r >0 tel que B(x, r)⊂U}
et
AdhU{x∈E,∀r >0B(x, r)∩U6=∅}
PREMI `ERE PARTIE :
Dans cette partie, l’espace E est suppos´e complet et Ad´esigne une partie ferm´ee non vide deE. Soient f :A→ Rune application continue et minor´ee etεun r´eel strictement positif fix´e.
I.1. Montrer que
kfkE0= sup
x∈E;kxk61
|f(x)|.
d´efinit une norme surE0.
I.2. Montrer qu’on peut construire une suite (Kn)n>0de parties deEet une suite (xn)n>1d’´el´ements deEtelles queK0=A et pour toutn>0,
xn+1∈Kn, f(xn+1)6inf
Kn
f+ 1
2n+1 etKn+1={x∈A|f(x)6f(xn+1)−εkx−xn+1k}.
I.3. Montrer que la suite (Kn) est d´ecroissante.
I.4. Montrer que pour tousn>1 etx∈Kn,kx−xnk6 1 2nε.
I.5. Montrer que la suite (xn) converge vers un pointx0∈Av´erifiant : ∩n>0Kn={x0}.
I.6. Montrer que pour toutx∈A,
f(x)>f(x0)−εkx−x0k.
DEUXI `EME PARTIE :
II.1. SoitCun convexe ouvert inclus dansEcontenant 0. Pour toutx∈E, on pose : p(x) = inf{α >0,1
αx∈C}.
a. Montrer que la d´efinition ci-dessus a un sens et qu’il existeM >0 tel que pour toutx∈E, 06p(x)6Mkxk.
b. Montrer queC={x∈E, p(x)<1}.
c. Montrer que pour toutλ >0 et toutx∈E,
p(λx) =λp(x).
d. Montrer que pour tousxety∈E,
p(x+y)6p(x) +p(y).
II.2. SoitKinclus dansEun convexe d’int´erieur non vide.
a. Montrer que IntKest convexe.
b. Montrer que siKest ferm´e alors Adh(IntK) =K.
TROISI `EME PARTIE :
Dans cette partie,F d´esigne un espace vectoriel norm´e r´eel.
III.1. Soientp :F →R+ une application v´erifiant :
∀x∈F, ∀λ >0, p(λx) =λp(x) (1)
∀x, y∈F, p(x+y)6p(x) +p(y), (2)
Gun sous espace vectoriel strict de F (i.e. G6=F) etg :G→Rune forme lin´eaire surGtelle que pour toutx∈G, g(x)6p(x). On fixeu∈F\Get on noteH=G⊕Rula somme directe deGet de la droite vectorielle engendr´ee paru.
a. Montrer que pour tousy0, y00∈G,p(y0+u)−g(y0)>g(y00)−p(y00−u).
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b. Montrer qu’il existe une application lin´eaireh :H→Rprolongeantg(i.e. pour touty∈G,h(y) =g(y)) et v´erifiant : pour toutx∈H,h(x)6p(x).
Dans toute la suite du probl`eme. on admettra le r´esultat de prolongement suivant :
Pour toute forme lin´eairegd´efinie sur un sous espace vectorielGdeF et v´erifiant les hypoth`eses ci-dessus, il existe une forme lin´eairef :F →Rprolongeantget v´erifiant : pour toutx∈F,f(x)6p(x).
III.2. SoientAetBdeux convexes non vides et disjoints inclus dansF. On suppose queAest ouvert. On noteD, ensemble diff´erence entreAetB, l’ensembleA−B={d∈F | ∃a∈A, b∈B|d=a−b}.
a. V´erifier queDest un convexe ouvert et 0∈/D.
b. Soitx0∈Dfix´e. On noteC=D− {x0}l’ensemble diff´erence entreDet le singleton{x0}. L’ensembleCest donc un convexe ouvert contenant 0 et on peut poser comme dans la partie II)
p(x) = inf{α >0| 1 αx∈C}.
On noteG=Rx0la droite vectorielle engendr´ee parx0et pour toutt∈R,g(tx0) =−t. Montrer que pour toutx∈G, g(x)6p(x).
c. En d´eduire qu’il existe une forme lin´eairef continue surF, non nulle et telle que : sup
x∈A
f(x)6 inf
y∈Bf(y).
On dira alors quef s´epareAetB.
QUATRI `EME PARTIE :
Dans cette partie, l’espaceEest suppos´e complet,Y d´esigne l’espace vectoriel produitE×Rmuni de la norme : k(x, t)kY =kxk+|t|
etY0l’ensemble des formes lin´eaires continues surY. IV.1. a. Montrer que l’application :
ϕ :
E0×R → Y0 (γ, α) 7→ Φγ,α
d´efinie par : Φγ,α(x, t) =γ(x) +αtest lin´eaire et bijective, d’inverse lin´eaire.
b. Calculerkϕ(γ, α)kY0 en fonction dekγkE0 et|α|.
Dans la suite de cette partie,C d´esignera un convexe ferm´e born´e non vide inclus dansE,f une forme lin´eaire continue surE,εun r´eel strictement positif fix´e etx0∈Cun ´el´ement v´erifiant :
∀x∈C, f(x)>f(x0)−εkx−x0k (l’existence dex0a ´et´e ´etablie dans la partie I).
On notera :
C1={(x, t)∈E×R|t6f(x0)−εkx−x0k}etC2={(x, t)∈C×R|t>f(x)}.
IV.2. Montrer que IntC1etC2 sont deux convexes non vides disjoints deY.
IV.3. a. Montrer en utilisant les r´esultats pr´ec´edents qu’il existe (h, α)∈E0×Rtel que la forme lin´eaireϕ(h, α) soit non nulle et s´epare IntC1etC2. La d´efinition de la s´eparation de deux parties par une forme lin´eaire a ´et´e donn´ee dans la partie III.
b. Montrer que la forme lin´eaireϕ(h, α) s´epare aussiC1 etC2.
IV.4. Montrer queα6= 0. En d´eduire qu’il existeg∈E0tel que la forme lin´eaireϕ(g,1) s´epareC1etC2. IV.5. Montrer quekgkE0 6εet quef+gatteint son minimum surCau pointx0∈C.
IV.6. En d´eduire que l’ensemble
E00 ={θ∈E0| ∃y0∈C, θ(y0) = sup
y∈C
θ(y)}
des formes lin´eaires continues qui atteignent leur maximum surC est dense dansE0, c’est-`a-dire que pour toutε >0 et pour toutf∈E0on aB(f, ε)∩E00 6=∅.
