Alg`ebre lin´eaire, corrig´e du travail ´ecrit III
Jonathan Scott 15 juin 2006
1. S´erie 19, exo 6.
2. On poseW = ImA et calculePW~b. Ensuite, on r´esoutA~x=PW~b. Or,
1 0 2
0 1 −2
−1 0 −2
0 −1 2
x y z
=
x+ 2z y−2z
−x−2z
−y+ 2z
= (x+ 2z)
1 0
−1 0
+ (y−2z)
0 1 0
−1
.
On pose w~1 =
1 0
−1 0
et w~2 =
0 1 0
−1
. Alors (w~1, ~w2) est une base orthogonale de W. De plus, kw~1k2=kw~2k2= 12+ (−1)2= 2. Donc
PW~b = 1 2
*
1 2
−2
−1
,
1 0
−1 0
+
1 0
−1 0
+1 2
*
1 2
−2
−1
,
0 1 0
−1
+
0 1 0
−1
= 3
2
1 0
−1 0
+3 2
0 1 0
−1
= 3
2
1 1
−1
−1
.
R´esoudreA~x=PW~b:
1 0 2 3/2
0 1 −2 3/2
−1 0 −2 −3/2
0 −1 −2 −3/2
→
1 0 2 3/2
0 1 −2 3/2
0 0 0 0
0 0 0 0
alorsx= 3/2−2z,y= 3/2 + 2z. Donc les~x∈R3 qui minimisentkA~x−~bksont tous les vecteurs de la forme (3/2−2z,3/2 + 2z, z),z∈R.
3. (a) NON. Une isom´etrie est inversible. SiT est inversible, alors [T]B est inversible (avec [T]−1B = [T−1]B) pour n’importe quelle baseB de V. A n’est pas inversible car la forme echelonn´ee r´eduite deAa une ligne nulle.
1
(b) OUI.p(x) =T7(q(x)) =T5(T2(q(x))) alors on prendr(x) =T2(q(x)).
(c) OUI. Sin= 9 alorsk~vk= 3.
4. (a) L’adjoint de T est l’unique op´erateur T∗ ∈ L(V) qui v´erifie hT v, wi = hv, T∗wi pour tout v, w∈V.T estauto-adjoint siT =T∗.T estnormal siT∗◦T =T◦T∗.
(b) Par exemple :T(x, y) = (y, x) est auto-adjoint, donc normal.T(x, y) = (−y, x) est normal, car T∗(x, y) = (y,−x), et T(T∗(x, y)) =T(y,−x) = (x, y), tandis queT∗(T(x, y)) =T∗(−y, x) = (x, y).
(c) SoitB une base orthonormale deV de vecteurs propres deT. Alors [T]Best diagonale, disons
[T]B=
λ1 0
. ..
0 λn
.
Puisque B est orthonormale,
[T∗]B = [T]∗B=
λ¯1 0 . ..
0 ¯λn
.
Donc
[T◦T∗]B = [T]B[T]∗B =
λ1¯λ1
. ..
0 λnλ¯n
= [T]∗B[T]B= [T∗◦T]B.
Par cons´equent,T◦T∗=T∗◦T etT est normal.
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