5.1) Montrer que la suite (un) est strictement croissante

CONCOURS ESGT 2005

EPREUVE DE MATH´EMATIQUES Les 6 exercices sont ind´ependants.

Exercice I

Fournir deux valeurs remarquables solutions de l’´equation trigonom´etrique suivante : 6 sin³x−7 sin²x+ 1 = 0.

Exercice II

D´eterminer alg´ebriquement l’ensemble des points M d’affixe z = x+ iy (x, y r´eels) de telle mani`ere que le complexe Z = z+ 1

z−2i

soit imaginaire pur.

Exercice III

Soit les deux ´epreuves suivantes :

3.1) On proc`ede au jet d’un d´e non truqu´e et on note X la variable al´eatoire correspon- dant `a la face obtenue.

Fournir l’esp´erance math´ematique not´eem, la variance not´eeV et enfin l’´ecart-type not´eσ de la variable al´eatoire X.

3.2) On jette 2 d´es non truqu´es simultan´ement en notant Y la variable al´eatoire corre- spondant `a la somme des faces obtenues.

Calculer l’esp´erance math´ematique de Y et commenter le r´esultat obtenu.

Exercice IV

D´eterminer la nature et les ´el´ements de sym´etrie des coniques d’´equations suivantes : 4.1) x²+y²−2x+ 6y+ 12 = 0

4.2) y²+ 6y+x+ 4 = 0

Exercice V

On consid`ere la suite (u_n), n entier naturel, d´efinie par : u_n+1 =√

6 +u_n etu0 = 0.

5.1) Montrer que la suite (u_n) est strictement croissante.

5.2) Montrer que la suite (u_n) est major´ee par 3.

5.3) Montrer l’in´egalit´e suivante : 3−u_{n+1 6} 3−u_n 3

.

5.4) En d´eduire l’encadrement : 0₆3−u_{n+1 6} 1 3ⁿ

. Que peut-on en conclure lorsque n→+∞?

Exercice VI

Dans tout l’exercice suivant k est un param`etre entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2.

6.1) Fournir une primitive de la fonction gk :t7→gk(t) = t^klnt.

6.2) ´Etudier et tracer dans un rep`ere orthonorm´e la fonction : g2(t) =t²lnt

(On fournira les coordonn´ees du point d’inflexion B2).

6.3) ´Etudier les variations de g_k(t) et fournir les coordonn´ees du minimum A_k.