Par exemple, il n'existe pasde suite(un)n∈N telleque u 0= −1 et pourtout n∈N un+1=un− 1 u n

(1)

LyéeJeanPERRIN

(2)

1

Une relationu

n+¹=^f(^un) ^dénit-elle^toujours ^une^suite^?

2

Quelles sontles limites possiblesd'une suiteréurrente?

3

Le seret del'étudedes suitesdu typeu

n+¹=^f(^un)

4

En résumé

(3)

Préisons d'abord un peu les hoses. On onsidère une fontion

f dénie sur une partieI de R^et ^à^valeurs ^réelles, ^ainsi

qu'un élément a de I. Et la question est de savoir s'il

existeune suite(^uⁿ)ⁿ_∈N ^telle ^que

u

0=â et ^pour^tout ⁿ∈N ûⁿ₊¹=^f(ûn)^.

(4)

Préisons d'abord un peu les hoses. On onsidère une fontion

f dénie sur une partieI de R^et ^à^valeurs ^réelles, ^ainsi

qu'un élément a de I. Et la question est de savoir s'il

existeune suite(^un)n∈N ^telle ^que

u

0=â et pourtout n∈N ûⁿ+¹=^f(ûⁿ)^.

Il me semble que oui! Il sut dedénir u

1

omme égal

à f(â)^,êt âinsi^de ^suite.

(5)

C'est tout e que ela vous inspire, Téhessin? Vous êtes sûr de

pouvoirontinuer?

(6)

C'est tout e que ela vous inspire, Téhessin? Vous êtes sûr de

pouvoirontinuer?

Ben, oui,jeposeu

2=^f(^u1)^,^puis...^!^?^Ah,^je^vois^le ^pro-

blème :ilfaudraitque f soit dénieen u

1

!

(7)

Cequi n'aen eet auuneraison de seproduire. Par exemple, il

n'existe pasde suite(^un)n∈N ^telle^que

u

0= −¹ et ^pour^tout ⁿ∈N ^uⁿ+¹=^uⁿ−

1

u

n

.

(8)

Cequi n'aen eet auuneraison de se produire. Par exemple, il

n'existe pasde suite(^uⁿ)ⁿ_∈N ^telle^que

u

0= −¹ et pourtout n∈N ^uⁿ₊¹=^uⁿ−

1

u

n

.

Car, aveg:_R^∗_→_R^,^x_7→^x₋¹

x

,ona g(₋¹)₌^0,^don ^g ^n'est ^pas^dénie

eng(₋¹)^.^Il ^faut ^également^s'assurer ^qu'auun^des ^termes^suivants ^ne^va

être égalà −^1.

(9)

( n)n∈N

u

0= −¹ et pourtout n∈N ^uⁿ+¹=^uⁿ−

1

u

n

.

Car, aveg:R^∗→R,x7→^x−

1

x

,ona g(₋¹)₌^0,^don ^g ^n'est ^pas^dénie

eng(₋¹)^.^Il ^faut ^également^s'assurer ^qu'auun^des ^termes^suivants ^ne^va

être égalà −^1.

D'aord, mais si on avait pris une valeur stritement

( )

(10)

Tout à fait! Et le point lé dans e que vous venez de dire est

queg

¡]⁰^,¹[^¢_⊂]⁰^,¹[^,^e ^qui,^ave^la^dénition^suivante,^se

traduitpar ]⁰^,¹[^est ^stable^par^g ^.

(11)

Tout à fait! Et le point lé dans e que vous venez de dire est

queg

¡]⁰^,¹[^¢_⊂]⁰^,¹[^,^e ^qui,^ave^la^dénition^suivante,^se

traduitpar ]⁰^,¹[^est ^stable^par^g ^.

Celaveut don direque si onprend u

0

dans ]⁰^,¹[^,^on^est ^sûr ^que^tous ^les

termes resteront dans et intervalle.

(12)

Dénition

Soit f une fontion déniesur unepartieI deR^et^à ^valeurs^réelles.^On^dit

qu'unepartieS deI est stablepar f lorsque

pour tout x∈^S ^f(^x)_∈^S^.

(13)

Euh...Eh bien euh...

(14)

Euh...Eh bien euh...

Jevois. Voyonsle débutd'unpetitexerie deBasurles suites.

(15)

Soit f lafontion déniesur l'intervalle [⁰;²]^par

f(^x)₌^2x⁺¹

x+¹

Étudiezles variations def sur l'intervalle[⁰;²]^.

Montrezque si x∈[¹;²]^, ^alors^f(^x)_∈[¹;²]^.

Les suites(^un) ^et(^vn) ^sont^dénies ^sur _N ^par

u

0=¹êtûⁿ+¹=^f(ûⁿ)

(16)

Exerie

f(^x)₌^2x⁺¹

x+¹

u

0=¹êtûⁿ+¹=^f(ûⁿ)

v

0=²^et^vⁿ+¹=^f(^vⁿ)

É É É É

(17)

f(^x)₌^2x⁺¹

x+¹

u

0=¹êtûⁿ+¹=^f(ûⁿ)

(18)

Exerie

f(^x)₌^2x⁺¹

x+¹

u

0=¹êtûⁿ+¹=^f(ûⁿ)

v

0=²^et^vⁿ+¹=^f(^vⁿ)

É É É É

(19)

f(^x)₌^2x⁺¹

x+¹

u

0=¹êtûⁿ+¹=^f(ûⁿ)

(20)

Exerie

f(^x)₌^2x⁺¹

x+¹

u

0=¹êtûⁿ+¹=^f(ûⁿ)

v

0=²^et^vⁿ+¹=^f(^vⁿ)

É É É É

(21)

Maintenant, si a est élément d'une partie S de I stable par f,

alors on pourra dénir f(^f(^a)) ^puisque ^f(^a)_∈^S^, ^puis

f(^f(^f(â)))^puisque^f(^f(â))_∈^S^,êt.Îl^sut^don^de^hoi-

siru

0

dans S.

(22)

Dénition

Soit f unefontion déniesur unepartieD de R^,ûnîntervalleÎ ^stable^par

f et unréel a∈^I^.

Onpeutalorsonstruireune suite(^un) ^dénie^par







u

0=^a

pourtout n∈N, u

n+¹=^f(^uⁿ)

Une tellesuite ainsidénieest appeléeune suiteréurrente.

(23)

Quellessontles limites possiblesd'unesuite réurrente?...

(24)

Ben, u

n+¹=^f(^un)^, ^et ^don ^lim

n→+∞

u

n+¹= ^lim

n→+∞

f(^un)^. ^Si

onappelleℓ ^la^limite ^de(ûn)^,ônâ^don ℓ=^f(ℓ)

(25)

Ben, u

n+¹=^f(^un)^, ^et ^don ^lim

n→+∞

u

n+¹= ^lim

n→+∞

f(^un)^. ^Si

onappelleℓ ^la^limite ^de(ûn)^,ônâ^don ℓ=^f(ℓ)

Il sutdon de résoudrel'équation x=^f(^x)^.

(26)

Êtes-voussûrque

¡

f(ûn)^¢ônverge^vers^f(ℓ)^?Êt^mêmeên^suppo-

santqueelasoitvrai,lalimiteℓ^n'est^pasnéessairement une solutiondef(^x)₌^x^!

(27)

Êtes-voussûrque

¡

Ah bon!? Alorslà, jenevois vraimentpaspourquoi.

(28)

Êtes-voussûrque

¡

Ah bon!? Alorslà, jenevois vraimentpaspourquoi.

Lasubtilitésortvraimentduadre delaterminale.Retenezseule-

mentquef doitêtreontinuesurunintervalleI quidoit

lui-même êtreun intervalle fermé.

(29)

Théorème

Soit I unintervallefermé deR^,^soit ^f ûne ^fontionôntinue ^deÎ ^versÎ^,êt

soit (ûn)ûne ^suite^d'éléments ^deÎ ^telle ^que ûn+¹=^f(ûn)^pour ^tout ^n.^Si (ûn) êst onvergente,alors salimite est unpoint xedef.

(30)

Attention

Vous aurezbiennotéleSI(^uⁿ) ^estonvergente,alorssalimite est....Ilfaudra don bienommenerparmontrerque

lasuiteest onvergente.

(31)

Exerie

Soit (^un) ^la^suite ^numérique^dénie ^sur_N ^par^:

u

0=⁰ ^et ^uⁿ+¹=p

3u

n+⁴

Montrezque (^uⁿ) ^est ^majorée ^par ^4.

( )

(32)

deBa.

Exerie

u

0=⁰ ^et ^uⁿ+¹=p

3u

n+⁴

Montrezque (^un) ^est ^stritement^roissante.

( )

(33)

Exerie

u

0=⁰ ^et ^uⁿ+¹=p

3u

n+⁴

( )

(34)

deBa.

Exerie

u

0=⁰ ^et ^uⁿ+¹=p

3u

n+⁴

Montrezque (^un) ^est ^stritement^roissante.

( )

(35)

Exerie

u

0=⁰ ^et ^uⁿ+¹=p

3u

n+⁴

( )

(36)

Maiss'iln'yaqu'unesolution àl'équationf(^x)₌^x,^est-

e que (ûn) ^ne ^va ^pas ^toujours ônverger ^versêtte ^so-

lution?

(37)

e que (ûⁿ) ^ne ^va ^pas ^toujours ônverger ^versêtte ^so-

lution?

Non! Prenez parexemplelasuitedénie par

u

0=¹ ^et,^pour ^toutⁿ∈N ^uⁿ₊¹=^32uⁿ

(38)

lution?

u

0=¹ ^et,^pour ^toutⁿ∈N ^uⁿ+¹=^32uⁿ

La fontionf : ^x_7→^32x âdmetûn ûnique^point ^xe^quiêst...

(39)

lution?

u

0=¹ ^et,^pour ^toutⁿ∈N ^uⁿ₊¹=^32uⁿ

La fontionf : ^x_7→^32x âdmetûn ûnique^point ^xe^quiêst...

(40)

...etpourtant lasuitene onverge pasvers0,n'est-e pas?

(41)

Si vous ledites...

(42)

Si vous ledites...

Observezbien le termegénéral u

n+¹=^32uⁿ^...

(43)

Si vous ledites...

Observezbien le termegénéral u

n+¹=^32uⁿ^...

(44)

Il faudrait rajouterenTerminale ,arauBa,dans 257exer-

ies sur 258, la fontion f est roissante. Voyons un

exemple.

(45)

exemple.

Exemple

Soit (^uⁿ) ^la^suite ^dénie^par







u

0= −¹/²

u

n+¹=p

1+^uⁿ

(46)

Il faudrait rajouterenTerminale ,arauBa,dans 257exer-

exemple.

Exemple

Soit (^un) ^la^suite ^dénie^par







u

0= −¹/²

u

n+¹=p

1+^uⁿ

Détermineztout d'abordles pointsxes éventueles def.

(47)

O

(48)

O

(49)

u₀ O

(50)

u₀ O

(51)

u₀ O

(52)

u₀ O

u₁

(53)

u₀ O

u₁

(54)

u₀ O

u₁

(55)

O

u0 u1

u₁

(56)

O

u0 u1 u2

u₁

(57)

O

u0 u1 u2 u3

u₁

(58)

O

u0 u1 u2 u3u4

u₁

(59)

L'inégalité a

0<ϕ^,^ave ϕ=(¹₊^p⁵)/^2, ^se ^onserve.

En eet, si a

n<ϕ^pour ^un^ertain ^n,

alors

p

1+^aⁿ<p

1+ϕ^,

'est-à-dire a

n+¹<ϕ^.

Onadon montré que a

n<ϕ^pour ^tout ^n.

(60)

L'inégalité a

En eet, si a

alors

p

1+^aⁿ<p

1+ϕ^,

'est-à-dire a

n+¹<ϕ^.

n<ϕ^pour ^tout ^n.

(61)

L'inégalité a

En eet, si a

alors

p

1+^aⁿ<p

1+ϕ^,

'est-à-dire a

n+¹<ϕ^.

n<ϕ^pour ^tout ^n.

(62)

L'inégalité a

En eet, si a

alors

p

1+^aⁿ<p

1+ϕ^,

'est-à-dire a

n+¹<ϕ^.

n<ϕ^pour ^tout ^n.

(63)

L'inégalité a

En eet, si a

alors

p

1+^aⁿ<p

1+ϕ^,

'est-à-dire a

n+¹<ϕ^.

n<ϕ^pour ^tout ^n.

(64)

Cei prouve que l'intervalle[₋¹^,ϕ[^est ^stable^par^f^.

Donu

n+¹−^uⁿ=p

1+^uⁿ−^uⁿ>⁰

et don que(ûn) êst ^roissanteêt ^majorée ^parϕ^.

Elle estdon onvergente.

Enn, lafontion f étant ontinuesur [₋¹^,ϕ]^, ^la^suite^onverge ^vers^un

point xedef,

à savoirii ϕ^.

Onendéduit que lim

n→+∞

u

n=ϕ

(65)

Donu

n+¹−^uⁿ=p

1+^uⁿ−^uⁿ>⁰

point xedef,

à savoirii ϕ^.

Onendéduit que lim

n→+∞

u

n=ϕ

(66)

Donu

n+¹−^uⁿ=p

1+^uⁿ−^uⁿ>⁰

point xedef,

à savoirii ϕ^.

Onendéduit que lim

n→+∞

u

n=ϕ