[b Modèle d’évolution discret, suites c\ Table des Matières

[b Modèle d’évolution discret, suites c\

Table des Matières

I. Limite d’une suite 1

I. A. Limite finie d’une suite : lim

n −→+∞ u n = L . . . . 1

I. B. Limite infinie d’une suite : lim n −→+∞ u _n = ±∞ . . . . 2

I. C. Limite d’une suite géométrique et d’une suite arithmétique . . . . 3

I. D. Opérations sur les limites . . . . 4

I. D. 1. Multiplication par un réel . . . . 4

I. D. 2. Addition . . . . 4

I. D. 3. Multiplication . . . . 5

I. D. 4. Inverse . . . . 5

I. D. 5. division . . . . 6

I. D. 6. Les formes indéterminées . . . . 6

I. E. Comparaison de limites . . . . 7

II. Suites arithmético-géométriques 8 II. A. Introduction . . . . 8

II. B. Définition . . . . 8

II. C. Propriete . . . . 8

[b Modèle d’évolution discret, suites c\

I. Limite d’une suite

I. A. Limite finie d’une suite : lim

n −→+∞ u n = L

tActivité 1

Évolution de la valeur d’un objet

Une voiture neuve coûte p ₀ = 25 000 (euros). Chaque année, le prix de la voiture perd 10% de sa valeur, on note p n le prix au bout de n année.

1. Calculer p 1 puis p 2 .

2. Exprimer p _{n +} 1 en fonction de p _n . (forme de récurrence) 3. Quelle est la nature de la suite ¡

p n ¢ .

4. En déduire p n en fonction de n. (expression explicite) 5. Déterminer le sens de variation de la suite ¡

p n

¢ . 6. Quel est le dernier nombre N calculé par l’algorithme ?

ǫ ← 1 000 N ← 0 u ← 25 000

Tant que u > ǫ faire N ← N + 1 u ← u × 0, 9 Fin tant que

1

def s e u i l ( e ) :

2

’ ’ ’

3

Pour e donné , renvoie une l i s t e de deux é l é ments

4

[N, u ]

5

’ ’ ’

6

N=0

7

u=25000

8

while u>e :

9

N=N+1

10

u=u *0.9

11

return [N, u ]

programmeseuil_1.py 7. Quelle semble être la limite de la suite ¡

p _n ¢

(c’est à dire donner lim

n →+∞ p _n ) ? figure Soit une suite (u n ).

Pour tout nombre ǫ de l’intervalle ]0 ; 1], s’il existe un entier N tel que pour tout n > N , | u n − L | < ǫ (L ∈ R), alors on dit que la limite de u n (quand n tend vers +∞ ) est L et on écrit :

n →+∞ lim u n = L

g Définition

tDémonstration 1 admise

I. B. Limite infinie d’une suite : lim

n −→+∞ u _n = ±∞

tActivité 2

Évolution d’un capital

Soit un capital C 0 = 500 (euros) déposé sur un compte rémunéré annuellement à un taux d’intérêt composé de 2%. On note C _n le capital, exprimé en euros, disponible au bout de n années.

1. Calculer C 1 puis C 2 .

2. Exprimer C n + 1 en fonction de C n . (expression de récurrence) 3. Quelle est la nature de la suite (C _n ).

4. En déduire C _n en fonction de n. (expression explicite) 5. Déterminer le sens de variation de la suite (C n ).

6. Quel est le dernier nombre N calculé par l’algorithme ?

A ← 1 000 N ← 0 u ← 500

Tant que u < A faire N ← N + 1 u ← u ∗ 1, 02 Fin tant que

1

def s e u i l (A) :

2

’ ’ ’

3

Pour A donné , renvoie une l i s t e de deux é l é ments

4

[N, u ]

5

’ ’ ’

6

N=0

7

u=500

8

while u<A :

9

N=N+1

10

u=u*1.02

11

p r i n t ( "étape " ,N, "A" ,A , "N" ,N, "u" ,u)

12

return [N, u ]

programmeseuil_2.py 7. Quelle semble être la limite de la suite (C n ) (c’est à dire donner lim

n →+∞ C n ) ?

figure

Soit une suite (u n ).

• Pour tout nombre A de R ₊ , s’il existe un entier N tel que pour tout n > N , u n > A, alors on dit que la limite de u _n (quand n tend vers +∞ ) est +∞ et on écrit :

n lim →+∞ u n = +∞ . On dit aussi que la suite (u n ) diverge vers +∞ .

• Pour tout nombre A de R ₋ , s’il existe un entier N tel que pour tout n > N , u _n < A, alors on dit que la limite de u n (quand n tend vers +∞ ) est −∞ et on écrit :

n →+∞ lim u n = −∞

On dit aussi que la suite (u n ) diverge vers −∞ . g Définition

I. C. Limite d’une suite géométrique et d’une suite arithmétique

• Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r : – si r > 0 alors lim

n →+∞ u _n = +∞

– si r < 0 alors lim

n →+∞ u n = −∞

• Soit (v n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme positif : – si 0 < q < 1 alors lim

n →+∞ v _n = 0 ; en particulier on a lim

n →+∞ q ⁿ = 0 – si 1 < q alors lim

n →+∞ v n = +∞ ; en particulier on a lim

n →+∞ q ⁿ = +∞

g Propriété

tExercice 1

Déterminer les limites suivantes : 1. lim

n →+∞ − 1 + 3n 2. lim

n →+∞ − 2n + 5 3. lim

n →+∞ 2 ⁿ 4. lim

n →+∞ 5 × 0, 2 ⁿ tExercice 2

Soit la suite géométrique de premier terme u 0 = 5 et de raison q = 0, 25.

n

I. D. Opérations sur les limites I. D. 1. Multiplication par un réel

Soit λ ∈ R ^∗ et (u n ) une suite. Le tableau suivant donne les résultats sur les limites du produit λ .u n . l est un nombre réel.

lim u n −∞ +∞ l

λ < 0 : lim λ × u n +∞ −∞ λ l λ > 0 : lim λ × u n −∞ +∞ λ l g Théorème

tExercice 3 1. lim

n →+∞

¡ − 3n ² ¢ :

n →+∞ lim

¡ n ² ¢

= +∞

− 3 < 0 donc lim

n →+∞

¡ − 3n ² ¢

= −∞

2. Déterminer lim

n →+∞

µ − 3 n

¶ ,

I. D. 2. Addition

Soit (u n ) et (v n ) deux suites. Le tableau suivant donne les résultats sur les limites de la somme u n + v n . l et l ^′ sont deux nombres réels, F I voulant dire Forme Indéterminée.

lim u n −∞ +∞ +∞ l +∞ −∞

lim v n −∞ +∞ −∞ l ^′ l l

lim u n + v n −∞ +∞ F I l + l ^′ +∞ −∞

g Théorème

tExercice 4 1. lim

n →+∞

µ n ² + 1

n

¶ :

n →+∞ lim

¡ n ² ¢

= +∞

n →+∞ lim µ 1

n

¶

= 0 donc lim

n →+∞

µ n ² + 1

n

¶

= +∞

2. Déterminer lim

n →+∞

¡ − n ² − n ¢ , 3. Déterminer lim

n →+∞

µ − 2 n − 5n

¶

.

I. D. 3. Multiplication

Soit (u n ) et (v n ) deux suites. Le tableau suivant donne les résultats sur les limites du produit u n v n . l et l ^′ sont deux nombres réels, F I voulant dire Forme Indéterminée.

lim u n ±∞ l l 6= 0 0

lim v n ±∞ l ^′ ±∞ ±∞

lim u _n × v _n ±∞ l × l ^′ ±∞ F I g Théorème

tExercice 5 1. lim

n →+∞

¡ n ² × p n ¢

:

n →+∞ lim

¡ n ² ¢

= +∞

n →+∞ lim

¡ p n ¢

= +∞

donc lim

n →+∞

¡ n ² × p n ¢

= +∞

2. Déterminer lim

n →+∞ n ² µ

− 2n + 1 n

¶ . 3. Déterminer lim

n →+∞ n ² µ

− 2 + 1 n

¶ .

I. D. 4. Inverse

Soit (v n ) une suite. Le tableau suivant donne les résultats sur les limites de l’inverse 1 v n

. l est un nombre réel.

lim v _n ±∞ l 6= 0 0 ⁻ 0 ⁺ lim 1

v _n 0 1

l −∞ +∞

g Théorème

tExercice 6

1. Soit la suite définie sur N par u n = 1

− 2n + 3 . Pour étudier la limite en −∞ :

n →+∞ lim − 2n + 3 = −∞ par les résultats des limites de quotient, lim

n →+∞

1

− 2n + 3 = 0 (0 ⁻ : 0 par valeur inférieure).

2. Déterminer lim

x →+∞

1 n p

n .

I. D. 5. division

Soit (u n ) et (v n ) deux suites. Le tableau suivant donne les résultats sur les limites du quotient ^u _v

n

. l et l ^′ sont deux nombres réels, F I voulant dire Forme Indéterminée.

lim u _n ±∞ ±∞ l l l 6= 0 0

lim v n ±∞ l ^′ ±∞ l ^′ 6= 0 0 0

lim u n

v n

F I ±∞ 0 l

l ^′ ±∞ F I g Théorème

tExercice 7

1. lim

n →+∞







 n ² 1 n − 1







 :

n →+∞ lim

¡ n ² ¢

= +∞

n →+∞ lim µ 1

n − 1

¶

= − 1

donc lim

n →+∞







 n ² 1 n − 1







 = −∞

2. lim

n →+∞

1 n + 2

− 3 n − 1

.

I. D. 6. Les formes indéterminées

1. lim

n →+∞

¡ n ² − n ¢ :

n →+∞ lim

¡ n ² ¢

= +∞

n →+∞ lim ( − n) = −∞

on ne peut pas conclure directement. Une technique de calcul doit permettre de lever l’indétermination, ici une factorisation : pour n assez grand (en particulier n non nul) on a

n ² − n = n ² µ n ²

n ² − n n ²

¶

= n ² µ

1 − 1 n

¶

n →+∞ lim

¡ n ² ¢

= +∞

n →+∞ lim µ

1 − 1 n

¶

= 1 Donc lim

n →+∞

¡ n ² − n ¢

= +∞

2. Déterminer lim

n →+∞

¡ n − n ² ¢

. On remarque que pour une même opération de limite ( +∞ + −∞ ) on a un résultat différent, c’est pourquoi on parle de forme indéterminée.

Aussi, le calcul formel d’une calculatrice ou d’un logiciel pourra vous donner le résultat d’une limite trop complexe, ce qui permet d’éviter les calculs trop techniques.

g Exemple

I. E. Comparaison de limites

Soient deux suites (u n ) et (v n ) et N un entier naturel.

Si pour tout n > N , u n 6 v n , lim

n →+∞ u n = L et lim

n →+∞ v n = L ^′ alors L 6 L ^′ . g Théorème

tDémonstration 2 admise

1. Soient deux suites (u n ) et (v n ) et N un entier naturel.

Si pour tout n > N , u _n 6 v _n , lim

n →+∞ u _n = +∞ alors lim

n →+∞ v _n = +∞ . 2. Soient deux suites (u n ) et (v n ) et N un entier naturel.

Si pour tout n > N , u _n 6 v _n , lim

n →+∞ v _n = −∞ alors lim

n →+∞ u _n = −∞ . g Théorème

tDémonstration 3 admise

tExercice 8

Soit la suite (u n ) définie sur N par u n = n p n − 7n.

1. Montrer qu’à partir d’un rang N ( ∀ n > N ), u n > n.

On pourra utiliser une forme factorisée de u n . 2. En déduire la limite de la suite (u n ).

figure

Théorème des gendarmes

Soit (u n ) , (v n ) et (w n ) trois suites vérifiant à partir d’un certain rang N ( ∀ n ∈ N, n > N ), u n 6 _{w n} 6 _{v n .} Si (u n ) et (v n ) sont deux suites convergentes de même limite L, alors la suite (w n ) est convergente et

n lim →+∞ w n = L.

g Théorème

tDémonstration 4 admise

tExercice 9

Soit la suite (u _n ) définie pour tout entier n non nul par u n = sin(n) n . 1. (a) Montrer que pour tout entier n , − 1

6 u 6 ¹ (soit | u | 6 ¹ ).

II. Suites arithmético-géométriques

II. A. Introduction

tActivité 3

Évolution d’une population

Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite (u _n ) où u _n désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année (2010 + n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

1. Donner u 0 puis exprimer u n + 1 en fonction de u n . (forme de récurrence) 2. Est-ce que la suite est géométrique ? arithmétique ?

3. Soit la suite (v n ) définie par v n = u n − 60

(a) Montrer que (v _n ) est géométrique de raison 0, 95.

(b) Exprimer v n en fonction de n.

(c) Exprimer u n en fonction de n.

(d) Est-ce que la suite (u _n ) converge ? Interpréter avec la situation.

II. B. Définition

Soit une suite définie pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence u n + 1 = au n + b où a est un réel non nul et différent de 1 et b un réel.

Le suite (u _n ) est dite arithmético-géométrique.

g Définition

II. C. Propriete

Soit (u n ) une suite arithmético-géométrique telle que u n + 1 = au n + b où a est un réel non nul et différent de 1 et b un réel.

La suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n − b

1 − a est géométrique de raison a et u n = µ

u 0 − b 1 − a

¶

a ⁿ + b 1 − a g Propriété

tDémonstration 5

1. Montrer que la suite (v n ) est géométrique de raison a, donner v 0 en fonction de u 0 . 2. Donner l’expression de v n en fonction de n. (forme explicite)

3. En déduire l’expression de u n en fonction de n . (forme explicite)

tExercice 10

Loi de refroidissement de Newton

La loi de refroidissement d’Isaac Newton (anglais 1642-1727) stipule que le taux d’évolution de la tempéra- ture d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environ- nant.

Par exemple, un café est servi à une température initiale de 80 degré Celsius dans un milieu dont la tempéra- ture de 18 degré Celsius.

Ainsi pour tout entier naturel n, on note T n la température du café à l’instant n , avec T n exprimé en degré Celsius et n en minute.

On a ainsi T 0 = 80.

On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques n et n + 1 par l’égalité : T n + 1 − T n = k(T n − 18) où k est une constante réelle (le coefficient de proportionnalité).

1. Au bout de la première minute la température du café est 67, 6 degré Celsius. En déduire k = − 0, 2.

2. Montrer que la suite (T n ) est arithmético-géométrique.

3. En déduire T n en fonction de n .

4. Est-ce que la suite converge ? Interpréter avec la situation.