Les suites - Corrigé
Exercice 1 :
1) > 1 donc − 1 > 0. En notant = − 1, on a bien = + 1 avec > 0. 2) Notons () : « (1 + ) ≥ 1 + » pour tout entier naturel .
(1 + ) = 1 et 1 + 0 × = 1 donc (1 + ) ≥ 1 + 0 et donc (0) est vraie.
Supposons que () est vraie pour un certain entier naturel et montrons que ( + 1) est vraie.
On sait que (1 + ) ≥ 1 + donc (1 + )(1 + ) ≥ (1 + )(1 + ) et donc (1 + ) ≥ (1 + )(1 + ).
Il reste à montrer que (1 + )(1 + ) ≥ 1 + ( + 1) :
(1 + )(1 + ) − 1 − ( + 1) = 1 + + + ²− 1 − − = ²≥ 0 On a bien montré que (1 + ) ≥ 1 + ( + 1)
() est initialisée en 0 et héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel . Conclusion : ∀ ∈ ℕ, (1 + ) ≥ 1 + et donc ≥ 1 +
3) Comme > 0, il est clair que lim 1 + = +∞
Finalement, par comparaison, lim = +∞ lorsque > 1
Exercice 2 :
Pour chacune des suites, le calcul direct donne une forme indéterminée : = −2²+ 4 + 5 = ²−2 +4
+ 5
² lim ! = +∞
lim −2 +4 + 5
! = −2 # donc, par produit, lim = −∞
- =3²− + 1 / + 3 =
²03 − 1 + 1
²1
/01 + 3/1 =3 − 1 + 1
² 01 + 3/1 lim 3 −1
+ 1
²= 3 lim 1 + 3
/ = +∞ 2 donc, par quotient, lim - = 0
5 = √2 + 1 − √2 − 1 =7√2 + 1 − √2 − 187√2 + 1 + √2 − 18
√2 + 1 + √2 − 1 =7√2 + 18²− 7√2 − 18²
√2 + 1 + √2 − 1
= 2 + 1 − (2 − 1)
√2 + 1 + √2 − 1 = 2
√2 + 1 + √2 − 1 Par quotient, on obtient directement lim 5 = 0 9 = 3!− 10 = (3!)− 10 = 9− 10 = 109
10 − 1 = 10;9 10
− 1<
0 < 9
10 < 1 donc lim 9 10
− 1 = −1
lim 10 = +∞ # donc, par produit, lim 9 = −∞
> =0321− 0121
0321+ 0121 = 03211 − 0121× 0231
03211 + 0121× 0231= 1 − 0131
1 + 0131 donc, par quotient, lim > = 1
Exercice 3 :
1)a) - = 1 donc 0 < - < 3
On suppose que pour un certain entier naturel , 0 < - < 3 et on montre que 0 < - < 3 On part de : 0 < - < 3 donc −3 < −- < 0 puis 3 < 6 − - < 6
Par passage à l’inverse,
@
<
@AB C<
/ et enfin /!<
@ABDC< 3
Mais comme /
! > 0, on a bien : 0 < - < 3 Conclusion : pour tout entier naturel , 0 < - < 3. b) Pour tout entier naturel ,
-− - = 9
6 − - − - = 9 − (6 − -)-
6 − - = 9 − 6-+ -²
6 − - =(3 − -)! 6 − -
On a vu que - < 3 donc 6 − - > 3 > 0. De plus (3 − -)! > 0 donc -− - > 0 La suite (-) est donc strictement croissante.
c) La suite (-) est (strictement) croissante et majorée par 3 donc elle est convergente.
2) a) Pour tout entier naturel par : 5− 5 = 1
-− 3 − 1
-− 3 = 1
6 − -9 − 3− 1
-− 3 = 1 9 − 3(6 − -)
6 − -
− 1
-− 3 = 1 3- − 9
6 − -
− 1
-− 3
= 6 − -
3-− 9 − 1
-− 3 = 6 − -
3(-− 3) − 3
3(-− 3) = 3 − -
3(-− 3) = − -− 3
3(-− 3) = −1 3 Ou par la « méthode du tunnel » : Pour tout entier naturel par :
5− - = 1
-− 3 = 1
6 − -9 − 3 = 1 9 − 3(6 − -)
6 − -
= 1
3- − 9 6 − -
= 6 − -
3-− 9 = 6 − - 3(- − 3) Or 5 −1
3 = 1
-− 3 −1
3 = 3 − (- − 3)
3(-− 3) = 6 − -
3(-− 3) = 5
On vient de démontrer que, pour tout entier naturel , 5 = 5−/ La suite (5) est donc bien une suite arithmétique de raison −/. b) Il en résulte que, pour tout entier naturel ,
5 = 5+ × −1
3 = 1
-− 3 − 3 = −1
2 −
3 = −2 + 3 6 On exprime d’abord - en fonction de 5 :
5 = 1
- − 3 ⇔ -− 3 = 1
5 ⇔ - = 3 + 1 5 On en déduit que, pour tout entier naturel , - = 3 + 1
5 = 3 − 6 2 + 3
c) Il est clair que la limite de la suite (-) est égale à 3 (par opérations immédiates).
Exercice 4 :
Partie A
Lorsque H = 3, I varie de 0 à 2 :
Valeur de I 0 1 2
Valeur de J 0 3 10 29
On en déduit que la valeur affichée de J est 29.
Partie B
1. = 3− 2 × 0 + 3 = 3 et != 3− 2 × 1 + 3 = 10 (on retrouve les valeurs de J respectivement associées à I = 0 et I = 1 dans l’algorithme de la partie A)
2. (a) Notons () la propriété « ≥ »
Initialisation : = 0 donc ≥ 0 et (0)est vraie.
Hérédité : Supposons que () est vraie pour un certain entier et montrons que ( + 1) est vraie.
≥ ⇒ 3≥ 3 ⇒ 3− 2 + 3 ≥ 3 − 2 + 3 ⇒ ≥ + 3 > + 1 La propriété est bien héréditaire.
Conclusion : La propriété est initialisée en 0 et héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel : Pour tout entier naturel , ≥ .
(b) Par comparaison, il est clair que lim = +∞.
3. Pour tout entier naturel , − = 3− 2 + 3 − = 2− 2 + 3 = 2(− ) + 3 Or, d’après la question 2. (a), ≥ donc − ≥ 0 et donc − > 0.
On en déduit que la suite () est (strictement) croissante.
4. Soit la suite (-) définie, pour tout entier naturel , par -= − + 1.
(a) Pour tout entier naturel , -= − ( + 1) + 1 = 3− 2 + 3 − − 1 + 1 = 3− 3 + 3 Et donc -= 3(− + 1) = 3- : on en déduit que la suite (-) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme -= − 0 + 1 = 1
(b) Pour tout entier naturel , - = -× 3 = 3 et comme = -+ − 1, on en déduit que, pour tout entier naturel , = 3+ − 1.
5. Soit M un entier naturel non nul.
(a) On sait depuis la question 2. (b) que lim = +∞.
Par définition de la limite, pour tout N > 0, il existe au moins un entier tel que, pour tout ≥ , ≥ N Pour N = 10Oen particulier, on a le résultat attendu.
(b) /O= 3/O+ 3M − 1 = (3/)O+ 3M − 1 = 27O+ 3M − 1 > 10O
correspondant au plus petit entier vérifiant l’inégalité ≥ 10O, il est clair que ≤ 3M.
(c) D’après la calculatrice, on obtient @= 734 < 1 000 et R= 2 193 > 1 000 : pour la valeur M = 3, l’entier cherché est 7.
(d) Exemple d’algorithme :
Entrée
Saisir le nombre entier naturel M Traitement
Affecter à J la valeur 0 Affecter à I la valeur 0 Tant que J < 10O
Affecter à J la valeur 3J − 2I + 3 Affecter à I la valeur I + 1
Fin tant que Sortie Afficher I
