1 Barycentre, partie convexe

Convexit ´e

par Emmanuel AMIOT 13 mai 2020

La notion de convexit´e permet de formaliser une certaine id´ee depl´enitude, d’ˆetre bien rempli : s’il y a des points alors il y a aussi des points entre les points. C’est aussi une notion math´ematique fine pour l’´etude des fonctions. Tout le chapitre se place dans un espace vectorielEsurRou C.

1 Barycentre, partie convexe

1.1 Barycentre

La notion de barycentre g´en´eralise celle de milieu, ou de moyenne. Ce n’est rien d’autre qu’une moyenne pond´er´ee, comme celle qui d´etermine votre classement `a un concours (sans vouloir vous mettre la pression).

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DEFINITION^´ 1. Le barycentre dex, y∈Eaffect´es des coefficientsλ, µest le point

z= 1

λ+µ(λx+µy)

Plus g´en´eralement, le barycentre de la famille (x₁. . . x_n) affect´es des coefficients

λ₁, . . . λ_nest Pn i=1

λ_ix_i

Pn i=1

λ_i .

Bien entendu il faut que la somme des coefficients soit non nulle. D’ailleurs, multiplier tous les coefficients par une mˆeme constante ne change pas le barycentre. On peut donc d´ecider que leur somme vaut 1 (cf. infra la d´efinition d’un segment) : λ

λ+µ + µ

λ+µ =1!. oooo

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REMARQUE 1.

— Dans certains contextes on peut voir les λ_i comme les masses des points mat´eriels situ´es en x_i, le barycentre est alors le centre de masse.

— Quand tous les coefficients sont ´egaux on parle d’isobarycentre.

— L’isobarycentre de deux points est leur milieu.

— Six, yrestent fixes etλ, µvarient alors

z= λ

λ+µx+ µ

λ+µy= λ+µ−µ

λ+µ x+ µ

λ+µy=x+κ(y−x)

et ceci d´ecrit la droite affine passant par xety. Cela se g´en´eralise `a des sous- espaces de plus grande dimension.

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PROPOSITION (ASSOCIATIVIT ´E DU BARYCENTRE).

Un barycentre de barycentres est encore un barycentre. Plus pr´ecis´ement, six(resp.

y, z . . .) est un barycentre des x_i (resp. des y_i, z_i. . .) alors tout barycentre de x, y . . . est un barycentre desx_i, y_i. . ..

D ´emonstration. V´erifions-le pour deux points, pour simplifier les notations :

1

λ+µ(λx+µy) = 1 λ+µ

λP

i

λ_ix_i P

i

λ_i +µ P

j

µ_jy_j P

j

µ_j

=

P

i λλi

P

i

λix_i+P

j µµ_j P

j

µjy_j

λ+µ =

P

i λλi

P

i

λix_i+P

j µµ_j P

j

µjy_j P

i λλi

P

i

λi +P

j µµj

P

j

µj

ce qui est bien un barycentre desx_i ety_j.

Le plus souvent en pratique on a affaire `a des coefficients positifs. Ainsi

ooo

DEFINITION^´ 2. Lesegment[x, y]est l’ensemble des barycentres `a coefficients positifs dex ety. On peut donc param´etrer par[x, y] ={λx+ (1−λ)y|λ∈[0, 1]}.

EXERCICE 1.Pour quelle valeur de λa-t-onz=x, z=y, z= leur milieu ?

ooo

EXERCICE 2. Soit Xune v.a. `a valeurs r´eelles telle que ∀i= 1 . . . n, P(X= x_i) = p_i; de quoi l’esp´erance deXest-elle un barycentre ?

Sous l’´ecriturez=y+λ(x−y), on voit bien qu’onpart dexet qu’on fait une fraction du chemin versy.

1.2 Partie convexe ooo

DEFINITION^´ 3. Une partie non vide A ⊂ E est convexe ssi A contient tout barycentre `a coefficients positifs de toute famille finie deA.

On a une d´efinition ´equivalente, en prenant seulement des barycentres de paires de points :

DEFINITION^´ 4. Une partie non videA⊂Eest convexe ssi∀x, y∈A,[x, y]⊂A.

D ´emonstration de l’ ´equivalence. Par associativit´e du barycentre et r´ecurrence sur le nombre

d’´el´ements de la famille.

En termes d’´ecole primaire, si on a deux points on peut tracer la ligne qui les joint. Si on a trois points, on peut noircir le triangle, etc. . . En pratique on prend x, y ∈ A, on pose z=y+λ(x−y), λ∈[0, 1], et on d´emontre que z∈A.

Exemple:Les parties convexes de Rsont les intervalles. Tout sous-espace vectoriel de E est convexe. Un point isol´e est convexe. Une boule (topologie des evn) est convexe. Une droite, un plan, priv´es d’un point, ne sont plus convexes. Une paire de points distincts n’est pas convexe.

EXERCICE 3.Quand vous dites un triangle, parlez-vous d’une partie convexe ?

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EXERCICE 4.Montrer qu’il existe un plus petit convexe du plan contenant une partie finie (voire une partie born´ee) donn´ee. Dessinez une vingtaine de points au hasard sur une feuille et trouvez cetteenveloppe convexe(sa d´etermination informatique est un probl`eme classique mais pas ´evident).

Convexe Pas convexe x

y

z z’

- m

x

y

FIGURE 1 – Partie convexe, ou pas

2 Fonctions convexes

Dor´enavant nous consid´erons des fonctions d’un intervalleI `a valeurs dans R.

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DEFINITION^´ 5. fest convexe ⇐⇒ ∀x, y∈I ∀λ∈ [0, 1]f(λx+ (1−λ)y) 6 λf(x) + (1−λ)f(y) i.e. si l’image du barycentre ( `a coefficients positifs) de deux points est inf´erieure au barycentre des images i.e. si la courbe est sous toutes sescordes.

x ! x + µ y y

f(! x + ^µ y)

! f(x) + µ f(y)

f(x)

f(y)

FIGURE 2 – graphe d’une fonction convexe

Exemple:La fonction x 7→ |x| est convexe. La fonction x 7→ x² aussi : on le voit sur son graphe (parabole) ou par le calcul :

∀λ∈[0, 1] (λx+(1−λ)y)²=λ²x²+(1−λ)²y²+2λ(1−λ)xy6λ²x²+(1−λ)²y²+λ(1−λ)(x²+y²) =λx²+(1−λ)y²! Ne parlons pas de la fonctionx7→√

x²+1, avec un calcul encore plus rus´e (mais cf. infra).

EXERCICE5. Une fonction convexe est-elle forc´ement continue ? (essayez sur un segment)

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PROPOSITION.Une fonction est convexe ssi l’image de TOUT barycentre `a coefficients positifs est en dessous du barycentre des images. Num´eriquement, pour toute famille λ₁. . . λ_n de r´eels positifs tels que

Pn i=1

λ_i= 1et toute famille(x₁, . . . x_n) de points deI on doit avoir

f(

Xn i=1

λ_ix_i)6 Xn

i=1

λ_if(x_i)

D ´emonstration. Par associativit´e du barycentre et r´ecurrence.

Une fonction dont l’oppos´ee est convexe est dite concave. . .

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DEFINITION^´ 6. On appelle ´epigraphede la fonctionfl’ensemble des points situ´es au des- sus du graphe def, i.e.{(x, y)|y>f(x)}(on peut penser `a la r´eunion des demi-droites verticales issues des points du graphe).

PROPOSITION.fest convexe ⇐⇒ son ´epigraphe est une partie convexe du plan.

D ´emonstration. SoientA= (x, y), A⁰ = (x⁰, y⁰)deux points de l’´epigraphe. On a doncy>f(x) et y⁰ > f(x⁰), au minimum. Donc si la fonction est convexe, le segment [A, A⁰] est au dessus de la corde [(x, f(x)),(x⁰, f(x⁰)] donc reste dans l’´epigraphe. R´eciproque imm´ediate en prenant le cas particuliery=f(x), y⁰ =f(x⁰). Cf. Fig. 2.

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TH ´EOR `EME DES PENTES.

Pour toute fonction convexe, la pente des cordes augmente de gauche `a droite (cf.

figure 3). Plus pr´ecis´ement, six < y < zalors

f(y) −f(x)

y−x 6 f(z) −f(x)

z−x 6 f(z) −f(y) z−y

D ´emonstration. Introduisons λ∈]0, 1[tel quey=λx+ (1−λ)z: on aλ= z−y

z−x. Alors f(y) =f(λx+ (1−λ)z)6λf(x) + (1−λ)f(z) = z−y

z−xf(x) + y−x z−xf(z) d’o `u (et c’est ´equivalent)

f(y) −f(x)6 y−x

z−x f(z) −f(x) et de mˆeme pour l’autre in´egalit´e.

La r´eciproque est vraie, on peut mˆeme affaiblir son ´enonc´e : si l’une de ces in´egalit´es est toujours vraie, alors la fonction est convexe. C’est en fait assez ´evident sur le dessin 3, mˆeme si ce n’est pas un style de d´emonstration recommand´e. . . Mieux vaut remonter le

calcul.

En faisant d´ecroˆıtreyversx, la pente d´ecroˆıt aussi d’apr`es le th´eor`eme, et on obtient donc

`a la limite (quand elle existe)f⁰(x)6 f(z) −f(x)

z−x . On en d´eduit, puisque la tangente au point (x, f(x))a une pente inf´erieure `a la droite passant par le mˆeme point et par(z, f(z)), que le segment[(x, f(x)),(z, f(z))] est au dessus de la courbe et donc

x y

z

FIGURE3 – Le th´eor`eme des pentes

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COROLLAIRE1. Sif, convexe, est d´erivable en un point, alors la tangente en ce point est sous la courbe : le graphe d’une fonction convexe est au dessus de toutes ses tangentes.

De mˆeme l’augmentation des taux d’accroissement entraˆıne la croissance de la d´eriv´ee, car le raisonnement ci-dessus peut aussi se faire en faisant tendrey verszce qui donne f(z) −f(x)

z−x 6f⁰(z). Doncf⁰(x)6f⁰(z). On a mˆeme une ´equivalence :

x = y z

z’

FIGURE 4 – La d´eriv´ee d’une fonction convexe croˆıt TH ´EOR `EME2.Une fonction fd´erivable est convexe ⇐⇒ f⁰ est croissante.

D ´emonstration. La r´eciproque se montre par contraposition : supposons quefne soit pas convexe, d’apr`es la r´eciproque du th´eor`eme des cordes il existe x < y = λx+ (1−λ)z < z tels que f(y) −f(x)

y−x > f(z) −f(y) z−y .

Or d’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis, il existe un pointc∈]x, y[(resp.d∈]y, z[)

tel quef⁰(c) = f(y) −f(x)

y−x (resp.f⁰(d) = f(z) −f(y)

z−y ). Cf. Fig. 5.

Doncf⁰(c)> f⁰(d)etf⁰ n’est pas croissante.

x c y d z

FIGURE 5 – Sifest non convexe. . . On en d´eduit un crit`ere tr`es commode :

ooo

COROLLAIRE 2.Une fonction f deux fois d´erivable est convexe ⇐⇒ sa d´eriv´ee seconde, f⁰⁰, est positive.

Ce dernier r´esultat est bien ´evidemment la caract´erisation la plus commode en pratique, c’est comme cela qu’on ´etablira la convexit´e/concavit´e d’une fonction, en g´en´eral pour en d´eduire des in´egalit´es.

Exemple:puisque ln⁰⁰(t) = −1/t² < 0, la fonction logarithme estconcave, i.e. c’est l’oppos´e d’une fonction convexe. Donc son graphe (et ses cordes) est au dessous de ses tangentes.

On en d´eduit en prenant la fonction entre 1 et1+tl’in´egalit´e fameuse

∀t >−1 ln(1+t)6t.

Exemple:Par concavit´e on a donc 1 n

Pn i=1

lnx_i666ln

1

n Pn i=1

x_i

, et en prenant l’exponentielle on en d´eduit l’in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique :

pour toute famille de r´eelsx_i> 0 on a

(x₁. . . x_n)^1/n6 x₁+. . . x_n

n .

EXERCICE 6.Est-ce encore vrai pour desx_i >0?

ooo

EXERCICE 7.D´emontrer par un argument de convexit´e que ∀x∈R, e^x>1+x.

De mˆeme trouver une minoration de la formesinx>α x sur l’intervalle[0, π/2].

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EXERCICE 8.(pour 5/2 ou en r´evision).

SoitS une matrice sym´etrique `a valeurs propres positives, montrer que

(DetS)^1/n6 1 nTr S.