Partiel d’Analyse Convexe approfondie

Universit´e Paris Dauphine, M1, Ann´ee 2017-2018

Partiel d’Analyse Convexe approfondie

Instructions :

La calculatrice et les documents de cours ne sont pas autoris´es. Toutes les r´eponses doivent ˆ

etre soigneusement justifi´ees ; la correction r´ecompensera la rigueur, pr´ecision et clart´e des d´emonstrations.

Exercice 1. SoitE un espace de Banach etf convexe de E dansR∪ {+∞}.

1. Question de cours : d´efinir la d´eriv´ee directionnellef⁺(x, v) au pointx∈dom(f) et dans la directionv. Montrer que

f⁺(x, v) = inf

t>0

f(x+tv)−f(x) t

2. Montrer que si f⁺(x, v) = 0 pour toutv alors xest un minimum global de f. 3. Donner un exemple pour lequel la r´eciproque est fausse.

4. Montrer que si xest un minimum global de f alorsf⁺(x, v)≥0 pour tout v.

5. Sif est Gˆateaux d´erivable enx, montrer quexest un minimum global def ssiD_xf(v) = 0 pour toutv.

Exercice 2. SoitE un espace de Banach. On noteE^∗ l’ensemble des formes lin´eaires continues surE.

1. SoitF un sous espace vectoriel ferm´e deE etx /∈F. Montrer qu’il existeφ∈E^∗ telle que φest nulle sur F etφ(x) = 1.

2. Soient {x₁,· · ·, x_n} une famille libre de E. Montrer qu’il existeφ₁,· · · , φ_n dansE^∗ telles queφi(xi) = 1 et φi(xj) = 0 pour touti6=j.

3. En d´eduire que siE est de dimension infinie alorsE^∗ ´egalement.

4. La r´eciproque est elle vraie ?

Exercice 3. Soit E = Rⁿ. Pour tout ensemble C non vide (pas forc´ement convexe) de E on appelle polaire de C l’ensemble

C^◦:={y∈E,hx, yi ≤1,∀x∈C}.

1. Calculer le polaire de B2 la boule unit´e pour la norme 2.

2. Calculer le polaire de B∞ la boule unit´e pour la norme infinie.

3. Montrer queC^◦ est toujours un convexe ferm´e contenant 0.

4. Montrer queC₁⊂C₂ implique (C₂)^◦ ⊂(C₁)^◦

1

5. Montrer queC ⊂(C^◦)^◦

6. Dans cette question on suppose queC est un convexe ferm´e contenant 0 et soit z /∈C.

(a) Montrer qu’il existey ∈E etε >0 tel que hx, yi+ε≤ hz, yi pour toutx dansC.

(b) En consid´erant y⁰ = _hz,yi−ε/2^y , montrer que z /∈(C^◦)^◦. (c) Qu’en d´eduit on sur (C^◦)^◦?

7. Soit C quelconque et A = adh(conv(C∪ {0}). Montrer que C^◦ = A^◦ et en d´eduire une formule g´en´erale pour (C^◦)^◦.

8. Soit C tel queC=C^◦. Montrer queC⊂B2 puis que C=B2.

Exercice 4. SoitMn(R) l’espace vectoriel des matrices r´eelles carr´ees de taille netS_n⁺ le sous espace vectoriel form´e des matrice sym´etriques positives :

S_n⁺ :={M ∈Mn(R),^tM =M et hx, M xi ≥0 ∀x∈Rⁿ}

On rappelle que tout matrice M de S⁺_n est diagonalisable dans une base orthonorm´ee, que ses valeurs propres sont positives et que la norme d’op´erateur deM (pour la norme 2 deRⁿ) est la plus grande de ces valeurs propres. SoitK ={M ∈S_n⁺, tr(M) = 1}.

1. Montrer queK est un convexe compact deM_n(R).

2. Pour toutx∈Rⁿ tel quekxk₂ = 1 on noteM_x=x^tx∈M_n(R). SoitC={M_x,kxk₂ = 1}.

Montrer queC ⊂K.

3. CalculerM_xx. Que peut on dire des valeurs propres, de la norme et du rang des ´el´ements de C?

4. On rappelle qu’un point extr´emal d’un convexeAest un pointaqui ne peut pas s’exprimer sous la forme tb+ (1−t)c avec t ∈]0,1[ et b et c diff´erents de a. On cherche dans cette question `a montrer que tout ´el´ementM_x deC est un point extr´emal de K.

(a) On suppose donc que M_x = tM + (1−t)M⁰ pour t ∈]0,1[ et M et M⁰ dans K.

Montrer queMx,M etM⁰ sont tous trois de norme 1.

(b) En d´eduire queM etM⁰ sont dansC. Calculer M xetM⁰x et conclure.

5. Montrer queK =conv(C).

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