lnx+ 2x x2 = 0 • lim x→1x−1 = 0 Xlim→0Xln(X

1. Limites ave la fontionln

a Cours:

Compléterleslimitessuivantes: (n>1⁾ lim

x→+∞

lnx

xⁿ = 0 ^; lim

x→0xⁿlnx= 0 ^; lim

x→0lnx=−∞

b Calulsdelimites: lim

x→+∞

lnx+ 2x x^{2 ;} lim

x→1(x−1) ln(x−1) + 2x ^; lim

x→+∞ln(1 +^e−x)

•^pourx >0, lnx+ 2x x² =lnx

x² +2x x² = lnx

x² +2 x

x→lim+∞

lnx

x² = 0^et lim

x→+∞

2

x= 0^don lim

x→+∞

lnx+ 2x x² = 0

• lim

x→1x−1 = 0

Xlim→0Xln(X) = 0

) (composition)

xlim→1(x−1) ln(x−1) = 0

xlim→12x= 2

) (somme)

xlim→1(x−1) ln(x−1) + 2x= 2

•

x→lim+∞1 +^e−x= 1

Xlim→1ln(X) = 0

) (composition)

x→lim+∞ln(1 +^e−x) = 0

2. Dérivéesave lafontionln

a Cours1: Quelleestlafontiondérivéedelafontionln sur]0; +∞[^?

•^{lnest dérivablesur}]0; +∞[^{et pourtout} x∈]0; +∞[^,(ln)^′(x) = 1 x

b Cours2: u^{estunefontiondérivablesurunintervalle}I^etu >0^surI^{,quelleestladérivéedelafontion} ln(u)^?

•u^{estunefontiondérivablesurunintervalle}I^et u >0 ^surI^, (lnu)^′ =u^′ u

Caluld'unedérivée: Soitg:x7−→ln(x²−1)

Quelestl'ensemblededénition deg^?

•^{lnestdéniesur}]0; +∞[^,dong^estdéniessix²−1>0⇔x >1^oux <−1^.Ainsi Dg=]− ∞;−1[∪]1; +∞[ g ^{est-elledérivablesur}I=]1; +∞[^?Calulerg^′(x)^, ∀x∈I

•u:x7−→x²−1 ^{estdérivablesur}I^et ∀x∈I, u(x)>0^dong= lnu^{est dérivablesur}I^.

∀x∈I^, g^′(x) = 2x x²−1

3. Limites ave la fontionexp

a Cours:Compléterleslimitessuivantes:(n∈N) lim

x→+∞

e^x

x = +∞ ^; lim

x→−∞

xⁿe^x= 0

b Calulsdelimites: lim

x→+∞x²−e^{x ;} lim

x→+∞

1 2x²e^−x

•^pourx >0, x²−^ex=x²

1− ^e

x

x²

x→lim+∞

e

x

x² = +∞^etdon lim

x→+∞1− ^e

x

x² =−∞

x→lim+∞

x²= +∞







(produit)

x→lim+∞

x²−^ex=−∞

• ^pourx >0, x^2e−x= 1

e

x

x²

et

x→lim+∞

e

x

x² = +∞

X→lim+∞

1 X = 0







(composition)

x→lim+∞

x^2e−x= 0

4. Dérivéesave lafontionexp

a Cours1: ∀x∈R,exp)^′(x) =^ex

b Cours2: u^{estdérivablesurunintervalle}I^, (e^u)^′=u^′eu

Caluld'unedérivée: Soith:x7−→xe^√1−2x

Quelestl'ensemblededénition deh^?

•x7−→√

x^{estdénie sur}R⁺,donh^estdéniessi1−2x >0⇔x < 1

2^.Ainsi D_h=]− ∞;1 2] h^{est-elleontinueen} 1

2^?

•h^{est ontinue en} 1

2 ^{ommeompositionetproduitdefontionsontinuesen} 1 2^. h^{est-elledérivablesur} I=]− ∞;1

2]^?

•^{Lafontionraine arréen'estpasdérivableen0don}h^{n'est pasdérivableen} 1 2^.

• ∀x∈]− ∞;1

2[, h^′(x) = 1×e^√1−2x− x

√1−2xe^√1−2x

⇔ ∀x∈]− ∞;1

2[, h^′(x) =e^√1−2x

1− x

√1−2x

5. Notationa^b

a Cours: a >0^etb∈R,quelleestladénitiondea^b?

• a^b=^eblna

b Dérivée: Quelleestladérivéedex7−→2^x?

• ∀x∈R,2^x=^{exln 2 donladérivéeest} x7−→(ln 2)^{exln 2}= (ln 2)2^x