Montrer que (1, x, x2

Universit´e Paris Diderot Arithm´etique – Ann´ee 2011-12 ENS Cachan

M1 math´ematiques

Feuille d’exercices 2

Discriminants et corps cyclotomiques

I

Soit K une extension finie deQ. Soit x un ´el´ement primitif de K, i.e. on a K = Q(x). Soit P un polynˆome minimal dexsurQ. Notonsnle degr´e de l’extensionK|Q. Notonsx₁,x₂, ..., x_n les racines de P dansC(ce sont lesconjugu´esdexdansC).

1. Montrer que (1, x, x²..., xⁿ⁻¹) est une base deK surQ.

2. Notonsσ1,σ2, ...,σn les plongements deK dansC. Sont-ils n´ecessairement `a valeurs dansK? Sont-ils l’identit´e surQ? Quelles sont les images dexpar ces plongements ?

3. Consid´erons le discriminantD(1, x, ..., xⁿ⁻¹). Montrer que

D(1, x, ..., xⁿ⁻¹) = det(σi(x^j))²_1≤i,j≤n= det(x^j_i)²_1≤i,j≤n.

4. Calculer ce dernier discriminant comme un d´eterminant de Vandermonde. En d´eduire que

D(1, x, ..., xⁿ⁻¹) =

n

Y

i=1

P⁰(x_i).

5. Montrer queD(1, x, ..., xⁿ⁻¹) =N_K/Q(P⁰(x)), o`u N_K/Q d´esigne la norme.

6. Supposons queP(X) =Xⁿ+aX+b aveca,b∈Q. Montrer que

D(1, x, ..., xⁿ⁻¹) = (nⁿbⁿ⁻¹+ (1−n)ⁿ⁻¹aⁿ)(−1)^n(n−1)/2.

Donner la formule pourn= 2 etn= 3.

II

Soit n un entier ≥ 1. Le n-`eme polynˆome cyclotomique est le polynˆome Φn d´efini par r´ecurrence sur n par la formule Φn(X) = (X<sup>n</sup>−1)/Πd|n,d6=n,d>0Φd(X). Ainsi, on a Φ1(X) = X −1, Φ2(X) = X + 1, Φ3(X) =X<sup>2</sup>+X+ 1, Φ4(X) =X<sup>2</sup>+ 1, Φ5(X) =X<sup>4</sup>+X<sup>3</sup>+X<sup>2</sup>+X+ 1, Φ6(X) =X<sup>2</sup>−X+ 1. On sait que Φn est un polynˆome irr´eductible surQ, `a coefficients entiers, et que ses racines sont les racines primitives n-`emes de l’unit´e.

Unn-`eme corps cyclotomiqueest un corps de d´ecomposition de Φn, ou, ce qui revient au mˆeme, un corps de d´ecomposition deX<sup>n</sup>−1. Il est commode de plonger un tel corps dansC. Len-`eme corps cyclotomique est alors unique : il est ´egal `aQ(ζ) o`uζ est une racine primitiven-`eme de l’unit´e dansC. Par exemple on peut poserζ=e^2iπ/n. PosonsB=Z[ζ] le sous-anneau deL=Q(ζ) engendr´e parζ.

0. L’extensionQ(ζ)|Qest-elle galoisienne ? Est-elle ab´elienne ? Quel est le groupe de Galois ? 1. Soitpun nombre premier etkun entier≥1. Donner une formule pour Φp, puis pour Φ_pk.

2. Supposons quen=p. Montrer queB=Z[ζ] a pour base (1, ζ, ζ², ..., ζ^p−2) surA=Z. PosonsK=Q.

3. Supposons que n=p. D´eterminer T r_L/K(ζ) et T r_L/K(1). Montrer que (1−ζ)(1−ζ²)...(1−ζ^p−1) = (−1)^pp. En d´eduireN_L/K(1−ζ).

4. Supposons que n=p. Montrer que (1−ζ)B∩A=pA. En d´eduire que T rL/K(y(1−ζ)) est dans pA pour touty∈B.

5. Supposons quen=p. Soitx∈Let entier surA. Posonsx=a₀+a₁ζ+...+a_p−2ζ^p−2aveca₀,,,a_p−2dans K. Montrer que la trace deT r_L/K(x(1−ζ)) esta₀p. En d´eduire quea₀∈A. CalculerT r_L/K((x−a₀)ζ⁻¹).

En d´eduire quea₁∈A, puis que a_i∈A(i∈ {0,1..., p−1}). Montrer que l’anneau des entiers deQ(ζ) est Z[ζ].

6. Reprendre les question 2, 3, 4, et 5 en supposant quen=p^k. Montrer que l’anneau des entiers deQ(ζ) estZ[ζ].

7. Reprendre les question 2, 3, 4, et 5 en supposantnquelconque et en posantn=n0p^k, o`un0 est premier

`

a p, en rempla¸cant AparZ[ζ0], o`uζ0 est une racine primitiven0-`eme de l’unit´e etK parQ(ζ0). Montrer par r´ecurrence sur le nombre de diviseurs premiers denque l’anneau des entiers deQ(ζ) estZ[ζ].

8. Posons Xⁿ −1 = Φn(X)G(X). Notons d le degr´e de l’extension Q(ζ)|Q. En utilisant la relation NQ(ζ)/Q(Φ⁰_n(ζ)) =D(1, ζ, ...ζ^d−1), montrer qu’on anζⁿ⁻¹= Φ⁰_n(ζ)G(ζ).

9. Montrer queN_Q(ζ)/Q(ζ) =±1. En d´eduire queD(1, ζ, ..., ζ^d−1) divise±n^d.

10. Soit (x1, ..., xd)∈Z[ζ]^dqui est une base deQ(ζ) surQ. Montrer queD(1, ζ, ..., ζ^d−1) diviseD(x1, ..., xd).

Montrer qu’on peut choisir (x₁, ..., x_d) de telle sorte queD(x₁, ..., x_d) soit premier aux nombres premiers ne divisant pasn.