1 Pour n >0 on pose fn

1 Pour n >0 on pose fn (x ) = (ln x)ⁿ

x² définie sur ] 0 ; + ∞[ et C_n note la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal avec 2 cm sur Ox et 10 cm sur Oy.

1° Etude pour n = 1

a) Etudier les limites aux bornes pour f1, conséquence graphique ? b) Etudier les variations de f1

c) Equation de la tangente à CCCC₁ en x₀ = 1 2° Etude pour n = 2

a) Etudier les limites aux bornes pour f₂, conséquence graphique ? b) Etudier les variations de f2.

2° Etudier le signe de f1 (x) – f2 (x) et en déduire la position relative de CCCC₁ et CCCC₂ puis les tracer.

3° n étant non nul, on pose In = ⌡⌠

1

e fn (x) dx

a) En utilisant une intégration par parties montrer que : I_{n + 1} = – 1

e + (n + 1) I_n b) On pose F (x) = 1 + ln x

x Calculer F'(x) et en déduire I₁

c) Calculer I₁ puis l'aire en cm² du domaine compris entre CCCC₁ et CCCC₂ et les droites d'équations x = 1 et x =e.

4° a) En utilisant la question 3° a) démontrer par récurrence que si n non nul on a : 1

n ! × In = 1 – 1 e 

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1 n !

b) En utilisant un encadrement de ln x sur [ 1 ; e ] démontrer que 0 ≤ In ≤ 1 et en déduire

n → +∞lim 

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1 n !

2 Calculer les intégrales suivantes au moyen d'une intégration par partie suivie d'une seconde s'il le faut I₁ = ⌡⌠

0

e x³ ln x dx I₂ = ⌡⌠

0

1 x e^{– 2 x} dx I₃ = ⌡⌠

0

1 t² e^t3 dt I₄ = ⌡⌠

0π/2 sin² t cos t dt I5 =

⌡

⌠

0 1 e^x

1 + e^x dx I₆ =

⌡

⌠

1 2 1

u du I7 =

⌡

⌠

1 2e^1/x

x² dx I₈ = ⌡⌠

1

e x² ln x dx

3 1° En intégrant par parties, calculer l'intégral J = ⌡⌠

1α x e^{x – 1} dx

2° Déterminer, en unités d'aire, l'aire A de la portion du plan limitée par la courbe représentative de f définie sur IR par : f (x ) = x e ^{x – 1} la droite x = 1 et la droite x = α (α note un nombre plus grand que 1 )

3° En justifiant que f (x ) = 1

e x e ^x déterminer les limites aux bornes pour f.

4° Si α note l'unique solution de f (x ) = x² – 1 , démontrer que A = ( α – 1) 

 α – 1

α

4 1° On donne u (x) = x² + 1 – x définie sur IR, calculer u' (x) et démontrer que u' (x) = – u (x) x² + 1 Soit la fonction f, définie sur IR par f (x) = ln (u (x) ). (on admet provisoirement que u (x )> 0 ) 2° On pose α = 1 – e²

2 e démontrer que u (α ) = e et en déduire f (α) A l'aide d'une intégration par parties calculer ⌡⌠

α0 ln ( x² + 1 + x) dx 3° a) Démontrer que, pour tout réel x, u (x) = 1

x² + 1 + x et en déduire lim

x → +∞ u (x) b) Montrer que pour tout réel x, on a u (x) > 0 (on pourra distinguer x > 0 et x < 0 )

4° a) Montrer que u (x) + 2 x tend vers zéro quand x tend vers – ∞ et démontrer que [ u (x) + 2 x ] > 0 b) Interpréter graphiquement les résultats précédents.

5° a) Déterminer une équation pour la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0

b) En étudiant les variations et le signe de φ (x) = f (x) + x étudier la position relative de la courbe et de la tangente

1 Pour n >0 on pose f_n (x ) = (ln x)ⁿ

x² définie sur ] 0 ; + ∞∞∞∞[ et CCCC_n note la courbe représentative de f_n dans un repère orthogonal avec 2 cm sur Ox et 10 cm sur Oy. 1° Etude pour n = 1

a) Etudier les limites aux bornes pour f1, conséquence graphique ?

 



_{x → 0}^{lim ln x = – ∞}

x lim→ 0

1

x² = + ∞ donc lim

x → 0 f₁ (x) = – ∞. On sait que lim

x → +∞

ln x

x² = 0 donc lim

x → +∞ f₁(x) = 0.

b) Etudier les variations de f₁

f1'(x) = 1

x × x² – ln x × 2 x

x⁴ = x – 2 x ln x

x⁴ = 1 – 2 ln x x³ Sur ] 0 ; + ∞ [, f₁'(x) est du signe de 1 – 2 ln x.

1 – 2 ln x ≥ 0 ⇔ 2 ln x ≤ 1 ⇔ ln x ≤1

2⇔ x ≤ e^0,5⇔ x ≤ e c) Equation de la tangente à CCCC₁ en x₀ = 1

f1(1) = 0 et f1'(1) = 1 donc l'équation de T est : y = x – 1.

2° Etude pour n = 2 a) Etudier les limites aux bornes pour f₂, conséquence graphique ? f2(x) = (ln x)²

x² = 



 ln x

x

2

x → 0lim 1

x² = + ∞ et lim

x → 0 (ln x)² = + ∞ donc lim

x → 0 f₂(x) = + ∞

x → +∞lim f1(x) = 0 donc lim

x → +∞ f2(x) = 0.

b) Etudier les variations de f₂.

f2'(x) =

2 ln x × 1

x × x² – 2 x × (ln x)² x⁴

= 2 x ln x – 2 x (ln x)²

x⁴ = 2 ln x

x³ × (1 – ln x) .

2° Etudier le signe de f₁ (x) – f₂ (x) et en déduire la position relative de CCCC₁ et CCCC₂ puis les tracer.

f₁(x) – f₂(x) = ln x

x² – (ln x)² x² = ln x

x² (1 – ln x)

D'après les variations de f2, pour tout réel x > 0, f2(x) ≥ 0 > 1.

f₁(1) = 0 donc d'après les variations de f₁ on a : f₁(x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

Sur ] 0 ; 1 ] et sur [ e ; + ∞ [ C₁ est au dessous de C₂ Sur [ 1 ; e [ C₁ est au dessous de C₂.

3° n étant non nul, on pose I_n = ⌡⌠

1e f_n (x) dx

a) En utilisant une intégration par parties montrer que : I_{n + 1} = – 1

e + (n + 1) I_n In + 1 = ⌡⌠

1

e fn + 1 (x) dx =

⌡

⌠

1

e(ln x)^{n + 1} x² dx =

⌡

⌠

1

e (ln x)^{n + 1} × 1 x² dx

 



u (x) = (ln x)^{n + 1} et u' (x) = (n + 1) (ln x)ⁿ × 1 x v' (x) = 1

x² et v (x) = – 1 x

donc

I_{n + 1} = 

 – 1 

x× (ln x)^{n + 1}

e 1

– ⌡⌠

1

e (n + 1) (ln x)ⁿ×1 x×

 – 1

x dx = – 1

e + 0 + (n + 1)

⌡

⌠

1

e(ln x)ⁿ

x² dx = – 1

e + (n + 1) I_n

x 0 1 e

x³ + + +

1 – ln x + + 0 –

ln x – 0 + +

Signe de f2'(x) – 0 + 0 –

+ ∞ f (x)

0

1 e²

0

x 0 1 e ⁺ ∞

x + + +

1 – ln x + + 0 –

ln x – 0 + +

f₁(x) – f₂(x) – 0 + 0 –

b) On pose F (x) = 1 + ln x

x Calculer F'(x) et en déduire I1

F'(x) = 1

x × x – 1 × (1 + ln x)

x² = 1 – 1 – ln x

x² = – ln x x²

c) Calculer I₂ puis l'aire AAAA en cm² du domaine compris entre CCCC₁ et CCCC₂ et les droites d'équations x = 1 et x = e.

I₁ =

⌡

⌠

1 eln x

x² dx = 

 – 1 + ln x

x

e 1

= – 2

e + 1 donc I₂ = – 1

e + 2 I₁ = – 1 e – 4

e + 2 = 2 – 5 e [ 1 ; + ∞ [ C₁ est au dessous de C₂. donc A = I₂ – I₁ = 2 – 5

e + 2

e – 1 = 1 – 3

e en UA

Dans le repère orthogonal l'unité graphique 2 cm sur Ox et 10 cm sur Oy donc 1 UA = 2 × 10 cm² = 20 cm² A = 20 × 

 1 – 3

e cm²

4° a) En utilisant la question 3° a) démontrer par récurrence que si n non nul on a : 1

n !×××× I_n = 1 – 1 e 

 1 + 1

1 ! + 1

2 ! + … + 1 n ! Initialisation : 1

1 ! I1 = 1 – 2

e et 1 – 1 e

 1 + 1

1 ! = 1 – 2 e Hérédité : 1

n ! × In = 1 – 1 e 

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1 n ! In + 1 = 1

e – (n + 1) In donc 1

(n + 1) ! In + 1 = 1

e × 1

(n + 1) ! – n + 1

(n + 1) ! In = 1

e × 1

(n + 1) ! – 1 n ! In

donc 1

(n + 1) ! I_{n + 1} = 1

e× 1

(n + 1) ! – 1 + 1 e

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1

n ! = – 1 + 1 e

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1 (n + 1) ! b) En utilisant un encadrement de ln x sur [ 1 ; e ] démontrer que 0 ≤≤≤≤ I_n ≤≤≤≤ 1 et en déduire lim

n →→→→ +∞∞∞∞

 1 + 1

1 ! + 1

2 ! + … + 1 n ! Pour tout réel x de [ 1 ; e ] on a :

1 ≤ x ≤ e ⇒ ln 1 ≤ ln x ≤ ln e car la fonction ln est croissante.

donc 0 ≤ (ln x)ⁿ ≤ 1 donc 0 ≤ (ln x)ⁿ x² ≤ 1

x² car x² > 0.

On a pour tout réel x de [ 1 ; e ), 0 ≤ fn (x) ≤ 1

x² on peut donc intégrer les inégalités.

⌡⌠

1

e 0 dx ≤⌡⌠

1

e f_n (x) dx ≤⌡⌠

1 e 1

x² dx donc 0 ≤ I_n≤

 – 1

x

e 1

donc 0 ≤ I_n≤ – 1

e + 1 ≤ 1.

On a démontré que 1

n ! × In = 1 – 1 e 

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1

n ! donc 1 e

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1

n ! = 1 + 1 n ! In donc 

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1 n ! = 

 1 + 1 

n ! In × e On a donc : 1 ≤ 

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1 n ! ≤ 

 1 + 1 

n ! × 1 × e donc 1 ≤ 

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1

n ! ≤ e + e n !

n → +∞lim 

 e + e 

n ! = e donc , d'après le théorème des gendarmes, lim

n → +∞

 1 + 1 

1 ! + 1

2 ! + … + 1 n ! = e 2 Calculer les intégrales suivantes au moyen d'une intégration par partie suivie d'une seconde s'il le faut I₁ = ⌡⌠

0e x³ ln x dx

 



u (x) = ln x et u' (x) = 1 x v' (x) = x³ et v (x) = x⁴

4

donc I₁ = 

 ln x ×x⁴

4

e 0

– ⌡⌠

0 e1

x×x⁴

4 dx = e⁴ 4 –

⌡

⌠

1 e1

4 x³ dx = e⁴ 4 – 



 x⁴ 16

e 0

= e⁴ 4 – e⁴

16 = 3 e⁴ 16 I₂ = ⌡⌠

01 x e^{– 2 x} dx



u (x) = x et u' (x) = 1 v' (x) = e^{– 2 x} et v (x) = e^{– 2 x}

– 2

donc I₂ = 

 – x e^{– 2 x}

2

1 0

– ⌡⌠

0 1





 – e^{– 2 x}

2 dx = – e^{– 2} 2 + 

 – e^{– 2 x}

4

1 0

= – e^{– 2} 2 – e^{– 2}

4 + 1 4

= – 3 e^{– 2} 4 + 1

4 I₃ = ⌡⌠

0 1 t² e^t3

dt

u (t) = t³ et u' (t) = 3 t² donc t² e^t3 = 1

3 u' (t) e^{u (t)} donc I₃ = 



 1 3 e^{u (t)}

1 0

= 

 e^t3

3

1 0

= e 3 – 1

3. I₄ = ⌡⌠

0ππππ/2 sin² t cos t dt

u (t) = sin t et u' (t) = cos t donc sin² t cos t = (u (t))²× u' (t) donc I₄ = 



 (u (t))³

3

π/2 0

= 



 sin³ t

3

π/2 0

= 1 3. I₅ = ⌡⌠

0 1 e^x

1 + e^x dx

u (x) = 1 + e^x et u' (x) = e^x donc e^x

1 + e^x = u' (x)

u (x) et I5 = [ ln (u (x))] ¹

0 = [ ln (1 + e^t) ] ¹

0 = ln (1 + e) – ln 2.

I₆ =

⌡⌠ 1

2 1 u du 1

u = u^{– 0,5} donc I6 = 



 u^{– 0,5 + 1} – 0,5 + 1

2 1

= 

 u 0,5

2 1

= 2 2 – 2.

I₇ = ⌡⌠ 1

2e^1/x x² dx u (x) = 1

x et u' (x) = – 1

x² donc e^1/x

x² = – e^{u (x)} × u' (x) et donc I7 = [ – e^{u (x)} ] ²

1 = – e^1/2 + e^1/1 = e – e I₈ = ⌡⌠

1

e x² e^{3 x} dx



u (x) = x² et u' (x) = 2 x v' (x) = e^{3 x} et v (x) = e^{3 x}

3

donc I₈ = 

 x² e^{3 x}

3

2 1

– ⌡⌠

1

2 2 x e^{3 x}

3 dx = 4 e⁶ 3 – e³

3 – 2 3 ⌡⌠

1

2 x e^{3 x} dx



u (x) = x et u' (x) = 1 v' (x) = e^{3 x} et v (x) = e^{3 x}

3

donc I8 = 4 e⁶ 3 – e³

3 – 2 3







 x e^{3 x}

3

2 1

– ⌡⌠

1 2e^{3 x}

3 dx = 4 e⁶ 3 – e³

3 – 2 3

 2 e⁶ 

3 – e³ 3 – 



 e^{3 x}

9

2 1

= 4 e⁶ 3 – e³

3 – 2 3



 2 e⁶

3 – e³ 3 – e⁶

9 + e³

9 = 4 e⁶ 3 – 4 e⁶

9 + 2 e⁶ 27 – e³

3 + 2 e³ 9 – 2 e³

27 = 26 e³ 27 – 5 e³

27 3 1° En intégrant par parties, calculer l'intégrale J = ⌡⌠

1αααα x e^{x – 1} dx



u (x) = x et u' (x) = 1

v' (x) = e^{x – 1} et v (x) = e^{x – 1} donc J = [x e^{x – 1} ]^α

1 – ⌡⌠

1α e^{x –1} dx = α e^{α – 1} – 1 × e⁰ – [e^{x – 1}]^α

1 = α e^{α – 1} – 1 – e^{α – 1} + 1

= α e^{α – 1} – e^{α – 1}

2° Déterminer, en unités d'aire l'aire AAAA de la portion du plan limitée par la courbe de f définie sur IR par f (x ) = x e ^{x – 1} la droite x = 1 et la droite x = αααα (αααα note un nombre plus grand que 1 )

Pour tout réel x ∈ [ 0 ; α ], f (x) ≥ 0 donc A = J 3° En justifiant que f (x ) = 1

e x e ^x déterminer les limites aux bornes pour f.

f (x) = x e^x × e^{– 1} = 1 e x e^x

x → –∞lim x e^x = 0 donc lim

x → –∞ f (x) = 0



 lim

x → +∞ x = + ∞

x → +∞lim e^x = + ∞ donc lim

x → +∞ f (x) = + ∞.

4° Si αααα note l'unique solution de f (x ) = x² – 1 , démontrer que AAAA = ( αααα – 1) 

 ααα α – 1

ααα α α e^{α – 1} – e^{α – 1} = f (α) – f (α)

α = f (α)





 1 – 1

α = (α² – 1) α – 1

α = (α – 1) ×α² – 1

α = ( α – 1)





 α – 1

α

4 1° On donne u (x) = x² + 1 – x définie sur IR, calculer u' (x) et démontrer que u' (x) = – u (x) x² + 1 v (x) = x² + 1 et v' (x) = 2 x donc u' (x) = v' (x)

2 v (x) – 1 = 2 x

2 x² + 1 – 1 = x – x² + 1

2 x² + 1 = – u (x) x² + 1 f est définie sur IR par f (x) = ln (u (x) ) sur IR (on admet provisoirement que u (x )> 0 )

2° On pose αααα = 1 – e²

2 e démontrer que u (αααα ) = e et en déduire f (αααα) A l'aide d'une intégration par parties calculer ⌡⌠

ααα

α0 ln ( x² + 1 + x) dx u (α) = α² + 1 – α = 



 1 – e²

2 e

2 + 1 – 1 – e²

2 e = 1 – 2 e² + e⁴ + 4 e²

4 e² – α = (1 + e²)²

4 e² – 1 – e² 2 e

= 1 + e²

2 e – 1 – e²

2 e = 1 + e² – 1 + e² 2 e = 2 e²

2 e = e.

U (x) = ln (u (x)) et U' (x) = u' (x)

u (x) = – u (x) x² + 1 × 1

u (x) = – 1 x² + 1 v' (x) = 1 et v (x) = x

⌡⌠

α0 ln ( x² + 1 – x) dx = [ x ln (u (x)) ] ⁰

α –

⌡

⌠

α

0 – x

x² + 1 dx = 0 – α u (α) +

⌡

⌠

α 0 x

x² + 1 dx v (x) = x² + 1 et v' (x) = 2 x donc x

x² + 1 = v' (x) 2 v (x) et

⌡

⌠

α 0 x

x² + 1 dx = [ x² + 1 ] ⁰

α = 1 – α² + 1

⌡⌠

α0 ln ( x² + 1 – x) dx = – α × ln ( u (α)) + 1 – α² + 1 = – α + 1 – α² + 1 car u (α) = e.

= 1 – e²

2 e + 1 – 1 + e²

2 e = 1 + 2

2 e = 1 + 1 e 3° a) Démontrer que on a u (x) = 1

x² + 1 + x et en déduire lim

x →→→→ +∞∞∞∞ u (x) u (x) = x² + 1 – x = ( x² + 1 – x) ( x² + 1 + x)

x² + 1 + x = x² + 1 – x²

x² + 1 + x = 1 x² + 1 + x

x → +∞lim ( x² + 1 + x) = + ∞ donc lim

x → +∞ u (x) = 0.

b) Montrer que pour tout réel non nul x, on a u (x) > 0 (on pourra distinguer x > 0 et x < 0 ) Si x < 0 alors x² + 1 > 0 et – x > 0 donc x² + 1 – x > 0.

Si x > 0 alors x² + 1 > 0 et x > 0 donc x² + 1 + x > 0.

4° a) Montrer que u (x) + 2 x tend vers zéro quand x tend vers – ∞∞∞∞ et démontrer que [ u (x) + 2 x ] > 0 u (x) + 2 x = x² + 1 – x + 2 x = x² + 1 + x = 1

u (x)

x → –∞lim x² + 1 = + ∞ et lim

x → –∞ – x = + ∞ donc lim

x → –∞ u (x) = + ∞ et lim

x → –∞

1

u (x) = 0 donc lim

x → –∞

b) Interpréter graphiquement les résultats précédents.

d'après la question 3° a) lim

x → +∞ u (x) = 0 donc la droite d'équation y = 0 est asymptote à C en + ∞.

D'après la question 4° a) lim

x → –∞ (u (x) + 2 x) = 0 donc la droite d'équation " y = – 2 x " est asymptote à C en – ∞ . D'après la question 3° b) pour tout réel x, u (x) > 0 donc C est au dessus de la droite d'équation y = 0.

5° a) Déterminer une équation pour la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 f (0) = ln ( 0² + 1 – 0) = 0. et f '(0) = u' (0)

u' (0) = – u (0) 0² + 1 = – 1

Donc la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est : y = 0 + 1 (x – 0) c'est à dire y = – x.

b) En étudiant les variations et le signe de φφφφ (x) = f (x) + x étudier la position relative de la courbe et de la tangente φ (x) = f (x) + x et φ'(x) = f '(x) + 1 = – 1

x² + 1 + 1 = x – x² + 1

x² + 1 = u (x) x² + 1 > 0 φ est croissante sur IR φ(0) = f (0) + 0 = 0.

Donc pour tout réel x, φ(x) > 0 donc la courbe est au dessus de la tangente.