Fr´ed´eric Bertrand Magist`ere 2`eme ann´ee - 2007/2008
T. D. n o 5
Estimation ponctuelle
Exercice 1 Une in´egalit´e
Soit X une variable al´eatoire admettant un moment d’ordre deux et suivant une loi d’esp´erance m et d’´ecart-type σ.
1. Montrer que pour toute statistique T nous avons : E
T22
6E T2
. Dans quel cas avons-nous l’´egalit´e ?
2. D´eterminer un estimateurT2 sans biais deσ2; dans quel casT est-il sans biais pour σ?
3. En d´eduire que g´en´eralement, la statistique : s
Pn
i=1 Xi−X2
n−1
n’est pas un estimateur sans biais de l’´ecart-type σ.
Exercice 2 Mod`ele de Poisson
Soit X une variable al´eatoire suivant une loi de PoissonP(λ) de param`etre λ. Nous consid´erons un ´echantillon al´eatoire de taille n de loi parente X.
1. D´eterminer deux estimateursλb1 etλb2 sans biais du param`etreλfond´es sue les caract´eristiques empiriques d’un ´echantillon al´eatoire de taillen de loi parente X.
2. Comparer ces deux estimateurs de λ.
Exercice 3 Loi uniforme
Soit X une variable al´eatoire uniforme sur l’intervalle [0,2a]. Nous consid´erons une suite de n variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi que X. Nous posons X = 1n(X1+· · ·+Xn) et T = Max (X1, . . . , Xn).
1. D´eterminer l’esp´erance et la variance de la variable al´eatoireX.
2. Montrer que X est un estimateur convergent de a.
3. D´eterminer la densit´e de la variable T. Calculer l’esp´erance et la variance de T. En d´eduire un autre estimateur T? sans biais de a.
4. Comparer les deux estimateurs de a.
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Exercice 4 Famille exponentielle 1
Soit X une variable al´eatoire suivant une loi de PoissonP(λ) de param`etre λ.
Montrer que la loi de Poisson P(λ) de param`etre λappartient `a la famille exponen- tielle.
Exercice 5 Famille exponentielle 2
Soit X une variable al´eatoire suivant une loi binomiale B(n, p) de param`etres n et p.
Montrer que la loi binomiale B(n, p) de param`etres n et p appartient `a la famille exponentielle.
Exercice 6 Famille exponentielle 3
Soit X une variable al´eatoire suivant une loi normale N(µ, σ).
1. Nous supposons que µ est inconnu et que σ est connu. Montrer que la loi normale N(µ, σ) appartient `a la famille exponentielle.
2. Nous supposons queµetσ sont inconnus. Montrer que la loi normaleN(µ, σ) appartient `a la famille exponentielle.
Exercice 7 Famille exponentielle 4
Soit X une variable al´eatoire suivant une loi Γ(r, λ) de param`etres r etλ. Montrer que la loi Γ(r, λ) de param`etres r et λ appartient `a la famille exponentielle.
Exercice 8 Famille exponentielle et exhaustivit´e
Soit X une variable al´eatoire suivant une loi uniforme U[0,θ] sur [0, θ] avec θ >0.
1. La famille de cette loi est-elle exponentielle ?
2. Soit (X1, . . . , Xn) un ´echantillon al´eatoire de taillende loi parenteX. D´eterminer une statistique exhaustive pour θ.
Exercice 9 Exhaustivit´e et loi exponentielle
Soient X une variable al´eatoire suivant une loi exponentielle de param`etre λ et (X1, . . . , Xn) un ´echantillon al´eatoire de taillen de loi parente X.
Montrer que la statistique
S =
n
X
i=1
Xi est une statistique exhaustive.
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Exercice 10 Exhaustivit´e et loi normale
Soient X une variable al´eatoire suivant une loi normaleN(µ, σ) de param`etresµet σ et (X1, . . . , Xn) un ´echantillon al´eatoire de taillen de loi parenteX.
Consid´erons les statistiques U =
n
X
i=1
Xi2 et X = 1 n
n
X
i=1
Xi.
Montrer que le couple T = (X, U) est une statistique exhaustive pour le couple (µ, σ2).
Exercice 11 Exhaustivit´e et loi de Poisson
Soit X une variable al´eatoire suivant une loi de Poisson P(λ) de param`etre λ et (X1, . . . , Xn) un ´echantillon al´eatoire de taillen de loi parente X.
Montrer que la statistique
S =
n
X
i=1
Xi est une statistique exhaustive :
1. En montrant que P(X1, . . . , Xn|S =s) est ind´ependante de λ.
2. En utilisant le crit`ere de factorisation.
3. En utilisant l’exercice 4.
Exercice 12 Exhaustivit´e et conditionnement
Nous consid´erons une variable al´eatoireX continue de densit´e de probabilit´ef(x, θ) et un ´echantillon al´eatoire de taillen de loi parenteX.
Soit Tn(X1, . . . , Xn) une statistique exhaustive. Nous tirons un ´echantillon al´eatoire de taille n de loi parente la loi de X conditionn´ee par l’´ev´enement x ∈ I, I partie mesurable de R.
La statistique Tn(X1, . . . , Xn) est-elle toujours une statistique exhaustive ?
Exercice 13 Minimisation du risque pour l’estimation de la variance d’une loi normale
Soient X une variable al´eatoire suivant une loi normaleN(µ, σ) de param`etresµet σ et (X1, . . . , Xn) un ´echantillon al´eatoire de taillen de loi parenteX.
Consid´erons la statistique suivante : Sn,c2 = 1
n−1
n
X
i=1
Xi−X2 .
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1. Calculer E[Sn,c2 ] et Var[Sn,c2 ].
2. Soit k un nombre r´eel positif. Nous introduisons les estimateurs T(k) de σ2 de la forme T(k) =kSn,c2 .
Calculer EQM(T(k)) = E h
(T(k)−σ2)2 i
.
3. D´eterminer la valeur k? de k qui minimise R(k). Calculer alors R(k?). Que dire de l’estimateur t(k?) ?
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