Concours blanc de Mathématiques n o 1

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ECS 2 Dur´ee : 4 heures

Concours blanc de Math´ ematiques n

^o

1

Remarques : Il est toujours permis d’admettre les résultats de questions précédentes pour traiter les questions suivantes. Chaque réponse doit être démontrée et toutes les étapes des calculs doivent être données. On attachera un soin tout particulier à la clarté et à la propreté de la rédaction. Les téléphones portables et les calculatrices, ainsi que tous matériels électroniques sont interdits. Tous les étudiants ont le choix entre deux problèmes, un de type ECRICOME et un autre de type ESCP-HEC maths II. Ils indiqueront lisiblement sur leur première copie le problème qu’ils auront choisi, et ne pourront traiter que les questions de ce problème.

1. Sujet type ECRICOME

Exercice 1. On consid`ere la suite (u_n)_n≥0d´efinie paru₀= 0,u₁= 1 et pour toutn∈Nparu_n+2=u_n+1+u_n. De plus, on pose : ϕ= 1 +√

5 2 .

(1) V´erifier queϕ >1 et que les r´eelsϕet −1

ϕ sont les solutions de l’´equationx²−x−1 = 0.

(2) Montrer que, pour toutn∈N, on a : u_nu_n+2−(u_n+1)²= (−1)ⁿ⁺¹.

(3) (a) Compl´eter la fonction SciLab suivante afin que, prenant en argument un entiern≥2, elle calcule et renvoie la valeur du termeun de la suite (un)n≥0.

functionu= suite(n) v= 0 ;

w= 1 ; fork= 2 :n

− − − − − − −−

end

u=− − − − − − −−

endfunction

(b) Justifier qu’il existe des r´eelsλ, µ que l’on d´eterminera tels que, pour toutn∈N: un=λϕⁿ+µ

−1 ϕ

n

.

(c) En d´eduire que la suite u_n+1

un

n≥1

converge et d´eterminer sa limite.

(4) Pour toutn∈N^∗, on poseS_n=

n

X

k=1

(−1)^k ukuk+1

.

(a) Montrer, sans chercher à calculer de somme, que la série de terme général 1

u_nu_n+1 converge.

(b) En d´eduire que la suite (Sn)_n≥1 converge.

(c) A l’aide de la question (2), montrer que, pour toutn∈N^∗, on a : Sn+1−Sn= un

un+1

−un+1

un+2

. (d) En d´eduire que : ϕ= 1−

+∞

X

k=1

(−1)^k ukuk+1

.

Exercice 2. On considère l’espace vectoriel R³ muni du produit scalaire canonique noté h, i, et on note B= (i, j, k) la base canonique deR³. Pour tout (x, y)∈(R³)², on a donchx, yi=^tXY, oùX et Y désignent les vecteurs colonnes des coordonnées dexetydans la baseB. Enfin, pour tout endomorphismef deR³, de matriceM dans la baseB, on désigne parf^∗ l’endomorphisme deR³dont la matrice dans la base canonique est égale à ^tM (cet endomorphisme est appelél’adjoint def).

Partie I : quelques propri´et´es de f^∗.

1

(2)

Dans cette partie,f est un endomorphisme deR³.

(1) Montrer que : ∀(x, y)∈(R³)²,hf(x), yi=hx, f^∗(y)i.

(2) Montrer quef^∗ est le seul endomorphismeg deR³ tel que : ∀(x, y)∈(R³)²,hf(x), yi=hx, g(y)i.

(3) SoitF un sous-espace vectoriel deR³ stable parf, c’est-`a-dire tel que : f(F)⊂F. (a) Calculerhx, f^∗(y)ipour toutx∈F et touty∈F^⊥.

(b) En d´eduire queF^⊥ est stable parf^∗.

Partie II : r´eduction des matrices d’un ensemble E.

Dans cette partie, on d´esigne parE l’ensemble des endomorphismesfudeR³ dont la matrice dans la baseB est de la forme :

M_u=





a b c c a b b c a



, o`u : u= (a, b, c)∈R³. (1) Montrer queE est un sous-espace vectoriel deL(R³).

(2) Montrer quef_u^∗ appartient `aE pour toutu∈R³.

(3) On posee1=^√¹₃(i+j+k),e2= ^√¹₂(i−j),e3=^√¹₆(i+j−2k) etD= Vect_R(e1).

(a) Montrer quee₁ est un vecteur propre commun à tous les élémentsf_u deE.

(b) En d´eduire queDest stable par f_u pour toutu∈R³.

(c) Déduire des questions précédentes queD^⊥ est stable par f_u pour toutu∈R³. (d) Déterminer une équation cartésienne deD^⊥.

(e) Montrer que (e2, e3) est une base orthonorm´ee de D^⊥. (f) Montrer queB⁰ = (e1, e2, e3) est une base orthonorm´ee deR³. (g) Justifier alors que la matrice de fu dans la baseB⁰ est de la forme :

N_u=





e 0 0

0 f g

0 h l



, o`u : e, f, g, h, l∈R.

Problème 1. Dans tout le problème, on considère une variable aléatoire X à valeurs positives et une suite (X_n)_n≥1 de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant la même loi queX. Pour tout entier n≥2, on poseY_n = inf{X₁, X₂, ..., X_n}. 0n dit que la loi deX est implosivesi X n’admet pas d’espérance et s’il existe un entierm≥2 tel queY_madmet une espérance. Si la loi deX est implosive, on appelleindice d’implosion de X le plus petit entier m ≥2 tel que Ym admet une espérance. On notera F la fonction de répartition deX etFn la fonction de répartition deYn pour tout entiern≥2. Dans le cas oùX (respective- mentYn) admet une densité, on la noteraf (resp. fn).

Partie A - R´esultats pr´eliminaires.

(1) Montrer que, pour toutn≥2, la fonction de r´epartition deYn est donn´ee pour toutx∈Rpar : Fn(x) = 1−(1−F(x))ⁿ.

(2) On suppose dans cette question queXadmet une densit´ef. Montrer que, pour toutn≥2,Yn admet une densit´efn et que, pour toutx∈R, on a : fn(x) =nf(x)(1−F(x))ⁿ⁻¹.

(3) On souhaite prouver dans cette question que, pour une variable aléatoire positiveV admettant une densitéϕcontinue surR+ et de fonction de répartition notée Φ, on a l’équivalence suivante :

V admet une esp´erance ⇐⇒

Z +∞

0

(1−Φ(t))dtconverge, et que, dans ce cas, on a : E(V) =

Z +∞

0

(1−Φ(t))dt.

(a) Montrer que, pour tout x∈R+, on a : Z x

0

tϕ(t)dt= Z x

0

(1−Φ(t))dt−x(1−Φ(x)).

(b) On suppose queV admet une espérance. Montrer quex(1−Φ(x)) tend vers 0 quandxtend vers +∞. En déduire que l’intégraleR+∞

0 (1−Φ(t))dtconverge.

(c) On suppose que l’int´egraleR+∞

0 (1−Φ(t))dtconverge. Montrer queV admet une esp´erance.

(3)

(d) Conclure.

On admet par la suite que le r´esultat de la question (3) reste vrai si la fonction ϕ est continue sur R+ sauf en nombre fini de points.

Partie B - Quelques exemples.

(1) On suppose dans cette question queX admet pour densit´e la fonctionf d´efinie pour toutx∈Rpar : f(x) =

( 0 si x <0 α

1 +x² si x≥0 . (a) D´eterminer le r´eel α.

(b) Donner la fonction de r´epartitionF deX.

(c) D´eterminer la fonction de r´epartitionF₂ deY₂.

(d) Justifier queY₂ admet une densit´e que l’on d´eterminera.

(e) Montrer que, pour toutx >0, on a : Arctan(x) + Arctan(_x¹) = ^π₂. (f) En d´eduire un ´equivalent def2 en +∞.

(g) En d´eduire que la loi deX est implosive et donner son indice d’implosion.

(2) On suppose dans cette question queX est une variable aléatoire discrète à valeurs dansNtelle que :

∀k∈N, P([X =k]) = 1

√k+ 1 − 1

√k+ 2. (a) V´erifier queP+∞

k=0P([X=k]) = 1.

(b) La variable al´eatoireX admet-elle une esp´erance? Justifier.

(c) Donner la valeur deF(k) =P([X ≤k]) pour toutk∈N. (d) D´eterminer la loi deY2. Admet-elle une esp´erance? Justifier.

(e) D´eterminer la loi deY3. Admet-elle une esp´erance? Justifier.

(f) La loi deX est-elle implosive? Si oui, quel est son indice d’implosion?

Partie C - Loi implosive d’indice fix´e.

Dans cette partie, on souhaite répondre à la question suivante : ”Existe-t-il, pour tout entierm≥2, une loi qui est implosive et d’indice d’implosion égal à m?”.

(1) Soitαun r´eel >1. Pour toutx∈R, on pose : f(x) =

( 0 si x <1 a

x^α si x≥1 . (a) Déterminer un réel atel que f soit une densité de probabilité.

(b) Dans la suite de cette partie,Xest une variable aléatoire admettantfcomme densité. Déterminer la fonction de répartitionF deX.

(c) Discuter, en fonction deα, l’existence de l’esp´erance de X.

(d) Discuter, en fonction denet de α, l’existence de l’espérance de Y_n. (e) Répondre à la question posée.

Partie D - Lois non implosives.

Dans cette partie, on souhaite répondre à la question suivante : ”Existe-t-il des variables aléatoires positives qui n’admettent pas d’espérance et dont la loi n’est pas implosive?”.

(1) Pour toutx∈R, on pose :

f(x) =







0 si x <2 a

xln²(x) si x≥2 . (a) Déterminer un réel atel que f soit une densité de probabilité.

(b) Dans la suite de cette partie,Xest une variable aléatoire admettantfcomme densité. Déterminer la fonction de répartitionF deX.

(c) La variable al´eatoireX admet-elle une esp´erance? Justifier.

(4)

(d) Discuter l’existence de l’espérance deY_n. (e) Répondre à la question posée.

Partie E - Variables implosant sur une autre.

Soit Y une variable aléatoire positive admettant une espérance. On dit que la variable aléatoire X implose sur Y siX est implosive et si, en notant mson indice d’implosion, Ymest de même loi que Y.

(1) SoientX et Y deux variables aléatoires réelles et soitn un entier≥2 tel queYn a la même loi que Y. A l’aide de la questionA.1, exprimer la fonction de répartition deX en fonction de celle deY. (2) SoitY une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètrep∈]0,1[. A l’aide de la question

précédente, montrer qu’il n’existe aucune variable aléatoireX implosive qui implose surY.

(3) Soit m un entier ≥ 2. Montrer qu’il existe une variable aléatoire Y admettant une espérance et une variable aléatoireX implosive d’indice d’implosion mqui implose surY (indication : on pourra s’inspirer des résultats de la partieC).

(4) SoitY une variable aléatoire positive admettant une densitég. On noteGsa fonction de répartition.

Soitmun entier≥2. Montrer que, s’il existe une variable al´eatoireXimplosive, d’indice d’implosion m, qui implose sur Y, alors pour tout entier k tel que 2 ≤k ≤m, il existe une variable al´eatoire implosive, d’indice d’implosion k, qui implose surY.

Partie F - Variables explosives.

Pour tout entier n ≥ 2, on pose Zn = sup{X1, X2, ..., Xn}. On dit que la loi de X est explosive s’il existe un entier m ≥ 2 tel que Zm n’admet pas d’esp´erance. Si la loi de X est explosive, on appelle indice d’explosion deX le plus petit entierm≥2 tel queZmn’admet pas d’esp´erance.

(1) Pour un entiermdonn´e, existe-t-il des variables al´eatoires de loi explosive d’indice d’explosionm?

(2) Existe-t-il des variables al´eatoires positives qui ne sont pas explosives? Justifier.

2. Sujet type HEC-ESCP (maths II)

Problème 2. Dans tout le problème, on désigne par (Ω,A, P) un espace probabilisé et parX une variable aléatoire sur (Ω,A), à valeurs dans R+. Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans le problème sont définies sur le même espace (Ω,A) qui est, sauf mention du contraire, muni de la probabilitéP. Enfin, on noteSX la fonction définie surRà valeurs réelles, telle que :

∀x∈R, SX(x) =P([X > x]).

Dans le cadre de l’évaluation des risques encourus par des établissements financiers, il est nécessaire de retrancher à la valeur moyenne attendue des investissements (espérance mathématique ”pure”) un terme cor- rectif d’autant plus important que le risque est plus grand. L’objet du problème est de déterminer, grâce à une

”fonction de distorsion”, une ”espérance corrigée” qui prend en compte cette notion de risque et qui possède les propriétés requises pour une évaluation cohérente de risques financiers, en particulier, une propriété de sous-additivité nécessaire pour valoriser équitablement les avantages éventuels de la diversification..

Partie I. Probabilit´e de surpassement et esp´erance.

(1) On suppose uniquement dans cette question queX suit la loi exponentielleE(λ) avecλ >0.

(a) Vérifier l’égalité : E(X) =R+∞

0 SX(x)dx.

(b) Ecrire une fonction SciLab qui, étant donnés deux réels λ, r >0, trace la courbe représentative de la fonction de répartitionF deX sur l’intervalle [−r, r].

(2) Soithla fonction d´efinie surR+ par : h(x) = _(x+1)(x+2)¹ . (a) Justifier la convergence de l’int´egraleR+∞

0 h(x)dx.

(b) Déterminer deux réelsc, dvérifiant pour tout réel x≥0 la relation : h(x) =_x+1^c +_x+2^d . (c) En déduire une primitive dehsurR+.

(d) Montrer que la fonctionf0 définie parf0(x) = (x+1)(x+2) ln(2)¹ six≥0 etf0(x) = 0 six <0 est une densité de probabilité.

(3) On suppose dans cette question queX admet pour densit´e la fonctionf₀ de la question (2)(c).

(5)

(a) La variable al´eatoireX admet-elle une esp´erance? Justifier.

(b) Pour toutx∈R, calculerSX(x) et en trouver un ´equivalent lorsquextend vers +∞.

(c) Etudier la convergence de l’int´egrale R+∞

0 SX(x)dx.

(4) (a) Justifier la monotonie de la fonctionS_X et trouver la limite deS_X(x) lorsquextend vers +∞.

(b) Montrer que la fonctionSX est continue `a droite. A quelle condition est-elle continue en 0?

(5) Dans cette question, on suppose queX admet une densit´ef nulle sur ]− ∞,0], continue sur ]0,+∞[

mais non n´ecessairement en 0.

(a) Montrer que la fonctionSX est continue surRet de classeC¹ sur ]0,+∞[.

(b) Justifier la convergence de l’int´egraleR1

0 xf(x)dx.

(c) Etablir pour tout réel A≥0 l’égalité : RA

0 SX(x)dx=ASX(A) +RA

0 xf(x)dx.

(d) En d´eduire que, si l’int´egraleR+∞

0 SX(x)dxconverge, alorsX admet une esp´erance.

(e) Montrer que, siX admet une esp´erance, alors on a pour tout A≥0 : R+∞

A xf(x)dx≥ASX(A).

(f) Déduire des résultats précédents que X admet une espérance si et seulement si l’intégrale R+∞

0 SX(x)dxconverge, et que dans ce cas, on a : E(X) =R+∞

0 SX(x)dx(1).

(6) Dans cette question, on suppose queX est discrète et à valeurs dansN. (a) Etablir pour tout n∈Nl’égalité : Pn

k=0SX(k) = (n+ 1)P([X ≥n+ 1]) +Pn

k=0kP([X =k]).

(b) En déduire que, si la série de terme généralSX(n) converge, alorsX admet une espérance.

(c) Montrer queX admet une espérance si et seulement si la série de terme généralSX(n) converge, et que dans ce cas, on a : E(X) =P+∞

k=0SX(n).

(d) On suppose queX admet une esp´erance.

(i) Exprimer pour tout N ∈N^∗ l’int´egrale RN

0 SX(x)dxà l’aide d’une somme partielle de la série de terme généralSX(n).

(ii) En d´eduire que : E(X) = lim_A→+∞RA

0 S_X(x)dx.

Ainsi, la relation(1) reste applicable dans le cas des variables aléatoires à valeurs dansN. On admet qu’elle reste applicable à toute variable aléatoire pour laquelle l’intégraleR+∞

0 SX(x)dx converge.

Partie II. Fonctions de distorsion et esp´erances corrig´ees : un exemple.

On appelle fonction de distorsion toute fonction g définie, continue et croissante sur l’intervalle [0,1] qui vérifie les trois propriétés supplémentaires : g(0) = 0,g(1) = 1 etgest concave sur ]0,1[. Pour toute fonction de distorsion g, on dit queX admet une espérance corrigée par g si la fonction g◦S_X admet une intégrale convergente sur [0,+∞[. Cette intégrale, notéeEg(X), est appelée espérance de X corrigée parg. Ainsi :

Eg(X) = Z +∞

0

g(SX(x))dx.

(1) Exemple. Soit Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite dont la dérivée, notée ϕ, est telle que : ∀t∈R, ϕ(t) =^√¹

2πe^−t²^/2.

(a) Justifier que Φ est une bijection de Rsur ]0,1[. On note Ψ sa bijection r´eciproque.

Soitα∈]0,¹₂[ et soitwαla fonction d´efinie sur [0,1] telle que : wα(x) =







0 si x= 0

Φ(Ψ(x)−Ψ(α)) si 0< x <1

1 si x= 1

.

(b) Montrer que la fonctionw_αest continue sur [0,1] et d´erivable sur ]0,1[.

(c) Etablir, pour toutx∈]0,1[, la relation : w⁰_α(x) = exp

Ψ(α)Ψ(x)−(Ψ(α))² 2

.

(d) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de la fonctionwα au point d’abscisseα.

(e) V´erifier quewα est une fonction de distorsion.

(2) On considère à nouveau la fonction de distorsionwαdéfinie dans la question (1) de la partie II. Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi normale d’écart-type égal à 1, dont l’espérance est notéeµ, et soitX une variable aléatoire qui suit la même loi que exp(Y).

(a) Justifier l’existence de l’esp´erance deX et la calculer.

(b) Montrer que, pour toutx >0, on a : w_α(S_X(x)) =P([Xe^−Ψ(α)> x]).

(6)

(c) En d´eduire l’existence et la valeur deE_w_α(X).

Partie III. Sous-additivité des espérances corrigées.

Les notations et le contexte de cette partie sont identiques à ceux des parties I et II. Dans cette partie, on note g une fonction de distorsion arbitraire et on suppose l’existence de Eg(X). SoitB un réel positif et soit Y une variable aléatoire à valeurs dans R+ telle que P([Y ∈ [0, B]) = 1. L’objectif de cette partie consiste à établir l’inégalité : Eg(X+Y)≤Eg(X) +Eg(Y) (2).

(1) (a) Soitxun réel fixé de [0,1]. Justifier pour tout entiern≥1 l’inégalité : g

x

1− 1

n

+ (1−x)1 n

≥xg

1−1 n

+ (1−x)g 1

n

.

(b) En d´eduire queg(x)≥x.

(c) Soienta, b, εtrois r´eels tels que : 0< a < b < b+ε <1. Justifier l’existence d’un r´eelλ∈[0,1]

vérifiant les deux égalités :

λa+ (1−λ)(b+ε) = b (1−λ)a+λ(b+ε) = a+ε . En déduire l’inégalité : g(b+ε)−g(a+ε)≤g(b)−g(a).

(2) (a) Montrer queE(X) existe et queE(X)≤Eg(X).

(b) Montrer que, siX est une variable al´eatoire certaine, alors : E_g(X) =E(X).

(c) Soit r >0 et soits≥0. Montrer queE_g(rX+s) existe et que : E_g(rX+s) =rE_g(X) +s.

(d) SoientT etW deux variables al´eatoires telles queP([0≤T ≤W]) = 1. Sous r´eserve d’existence, comparerE_g(T) etE_g(W).

(3) Justifier l’existence deE_g(Y) et deE_g(X+Y), puis ´etablir queE_g(Y)≤BetE_g(X+Y)≤E_g(X)+B.

(4) On se propose de montrer par récurrence sur l’entiernque l’inégalité (2) est vraie pour toute variable aléatoire U telle que P([U ∈ J0, nK]) = 1. Soit n ∈ N donné. On suppose que, quelle que soit la probabilitéP sur (Ω,A), l’inégalité (2) est vraie pour toute fonction de distorsion g, pour toute variable aléatoireX possédant une espérance corrigée par g et pour toute variable aléatoire U telle queP([U ∈J0, nK]) = 1.

(a) Déduire de la question précédente que la propriété ci-dessus est vérifiée pourn= 0.

(b) On suppose la propriété ci-dessus vérifiée pour un entier natureln donné. Soit Z une variable aléatoire telle que P([Z ∈ J0, n+ 1K]) = 1 et p = P([Z > 0]) > 0. On pose P^∗ = P[Z>0]

(probabilit´e conditionnelle sachant [Z >0]). Pour tout r´eelx >0, on pose : S_X^∗(x) =P^∗([X > x]), S_Z^∗(x) =P^∗([Z > x]), S_X+Z^∗ (x) =P^∗([X+Z > x]).

(i) Etablir l’´egalit´e : SX+Z(x) = (1−p)P_[Z=0]([X > x]) +pS_X+Z^∗ (x).

(ii) ExprimerSX(x) etSZ(x) en fonction dep, P_[Z=0]([X > x]), S_X^∗(x), S^∗_Z(x).

(iii) En utilisant la question (1)(c), partie III, déduire des relations précédentes l’inégalité : g(S_X+Z(x))−g(S_X(x))−g(S_Z(x))≤g pS_X+Z^∗ (x)

−g(pS_X^∗(x))−g(pS_Z^∗(x)). (c) Justifier que la fonction h:x7−→ ^g(px)_g(p) est une fonction de distorsion et établir l’inégalité :

Z +∞

0

h S_X+Z^∗ (x) dx≤

Z +∞

0

h(S_X^∗(x))dx+ Z +∞

0

h(S_Z^∗(x))dx.

(d) En déduire l’inégalité : Eg(X+Z)≤Eg(X) +Eg(Z). Conclure.

(5) Pour toutn∈N^∗ et toutω∈Ω, on poseYn(ω) =_n¹bnY(ω)c, oùbucdésigne la partie entière deu.

(a) Justifier l’existence deEg(Yn) etEg(X+Yn), puis ´etablir que : Eg(X+Yn)≤Eg(X) +Eg(Yn).

(b) Pour toutx >0, comparer les ´ev´enements [Yn > x] et [Y > x], et montrer que :Eg(Yn)≤Eg(Y).

(c) Montrer que, pour tout entiern≥1, on a : Z +∞

1 n

g(SX+Y(x))dx= Z +∞

0

g

SX+Y

x+ 1

n

dx≤Eg(X+Yn).

(d) En déduire l’inégalité (2).