Dur´ ee : 2 heures. Documents et calculatrices interdits. Barˆ eme indicatif (c’est ` a dire suscep- tible de modifications !) : 4, 3, 6, 8

L1 Universit´ e de Nice. Compl´ ements Math´ ematiques 2, 2018-2019 Examen du 30 avril 2019

Dur´ ee : 2 heures. Documents et calculatrices interdits. Barˆ eme indicatif (c’est ` a dire suscep- tible de modifications !) : 4, 3, 6, 8

Exercice I.

1. Calculer, pour x > 0, R x

1 te ^t dt (on pourra int´ egrer par parties).

2. R´ esoudre sur R ^∗ + l’´ equation diff´ erentielle xy ⁰ = y.

3. R´ esoudre sur R ^∗ + l’´ equation diff´ erentielle xy ⁰ = y +x ³ e ^x (utiliser la m´ ethode de la variation de la constante pour trouver une solution particuli` ere).

Exercice II.

1. D´ ecomposer en ´ el´ ements simples _(X+1)(X ^X ₋₂₎

. 2. Calculer R 4

3 x

(x+1)(x−2)

dx.

Exercice III.

1. R´ esoudre y ⁰⁰ + y = 0 (on donnera les solutions ` a valeurs r´ eelles).

2. Soit f une fonction continue sur R .

a. Montrer que la fonction g d´ efinie sur R par g(x) = sin(x)

Z x

0

f(t) cos(t)dt − cos(x) Z x

0

f (t) sin(t)dt

est d´ erivable sur R et calculer g ⁰ (x) (on exprimera le r´ esultat en fonction de cos(x), sin(x), R x

0 f(t) sin(t)dt, R x

0 f (t) cos(t)dt ...) pour tout x ∈ R .

b. Montrer que g est en fait deux fois d´ erivable sur R puis que g ⁰⁰ (x) = −g(x) + f (x).

3. A l’aide des r´ esultats pr´ ec´ edents, r´ esoudre y ⁰⁰ + y = f (x) o` u f est la fonction d´ efinie ` a la question 2. (on exprimera le r´ esultat ` a l’aide de la fonction g).

Exercice IV.

1. Dans cette question, l’espace vectoriel R ⁿ est muni du produit scalaire canonique.

a. Que signifie : “(f ₁ , · · · , f _n ) est une base orthonorm´ ee de R ⁿ ” ?

b. Soit u ∈ R ⁿ et (f 1 , · · · , f n ) une base orthonorm´ ee de R ⁿ . Montrer que u =

n

X

i=1

< u, f _i > f _i

c. Soit H un sous-espace vectoriel de R ⁿ et (f ₁ , · · · , f _p ) une base orthonorm´ ee de H. On note p _H la projection orthogonale sur H. Soit u ∈ R ⁿ . Donner, sans d´ emonstration, la formule qui calcule p H (u) en fonction de f 1 , · · · , f p .

2. On travaille maintenant dans R ³ , muni du produit scalaire canonique. Soit F le sous- espace vectoriel de R ³ engendr´ e par les vecteurs v ₁ = (1, −1, 0) et v ₂ = (0, 0, 1).

1

a. On pose f ₁ = ^{√ 1} ₂ (1, −1, 0) et f ₂ = (0, 0, 1). Montrer que (f ₁ , f ₂ ) est une base orthonorm´ ee de F .

b. Quelle est la dimension de F ? Quelle est la dimension de F ^⊥ ? c. Trouver une base orthonorm´ ee (f ₃ ) de F ^⊥ .

d. Montrer que (f ₁ , f ₂ , f ₃ ) est une base orthonorm´ ee de R ³ .

e. Soit p _F la projection orthogonale sur F . Ecrire la matrice de p _F dans la base (f ₁ , f ₂ , f ₃ ) puis dans la base canonique de R ³ .

2