2 est le plus petit entier naturel qui n’est pas dans la séquence et qui a un diviseur commun supérieur à 1 avec le terme précédent

(1)

Diophante E120

On considère la suite d’entiers positifs telle que a₁ = 1, a₂ = 2 et le terme général a_n pour n > 2 est le plus petit entier naturel qui n’est pas dans la séquence et qui a un diviseur commun supérieur à 1 avec le terme précédent.

D´emontrer que :

Q₁ : 2012 appartient `a la s´equence.

Q2 : tout entier naturel appartient `a la s´equence.

Q₃ : les nombres premiers apparaissent dans l’ordre croissant.

Question annexe : justifier le qualificatif cordiale de la s´equence.

Solution de Bruno Langlois.

Q2 • Notons que par construction, n7→an est injective. Comme (an) est `a valeurs dans N, elle diverge donc vers +∞.

•Montrons tout d’abord que l’ensembleE des facteurs premiers n´ecessaires pour d´ecomposer les termes de la suite (a_n) est infini.

Raisonnons par l’absurde en supposant que E soit fini ; soit p un entier premier n’appar- tenant pas à E. Dans la décomposition en facteurs premiers de an (n > 2), notons µn la plus grande des multiplicités et p_n un des facteurs premiers de a_n apparaissant avec cette multiplicité. Comme (a_n) diverge vers +∞ et queE est fini, (µ_n) diverge aussi vers +∞ et il existe donc un entier n > 2 tel que p^µ_nⁿ⁻¹ > p. L’entier ^paⁿ

p^µnn ⁻¹, non premier avec an−1 et strictement inférieur àan, n’est alors pas présent dans{a1;· · ·;an−1}(puisquepne divise au- cun des éléments de cet ensemble), ce qui est contradictoire avec la définition de la suite (a_n).

• Raisonnons alors par l’absurde en supposant qu’il existe un entier x > 2 n’apparaissant jamais parmi les termes de la suite (a_n).

Comme (a_n) diverge vers +∞, il existe un entier N tel que a_n > xd`es que n > N. Soit k un entier tel quekx > max{a1;· · ·;aN}.

D’après le point précédent, on peut considérer le plus petit entier n tel que a_n possède un facteur premier p strictement supérieur à kx. Vu que an−1 n’est pas divisible par p, a_n ne peut être égal à p (sinon a_n et an−1 seraient premiers entre eux) et l’entier α = ^kxa_pⁿ n’est pas premier avec an−1. Comme α < a_n, α appartient forcément à {a₁;· · ·;an−1}. Il existe donc un entier j tel que a_j = ^kxa_pⁿ. Comme a_j > kx > max{a₁;· · ·;a_N}, on en déduit que j+ 1> j > N et donc quea_j+1 > x. On aboutit à une contradiction car x est alors un entier non premier avecaj et strictement inférieur àaj+1qui n’est pas présent dans{a₁;· · ·;aj}.

Q₃ • Soit pun entier premier et n le plus petit entier naturel tel que p divisea_n.

Commepne divise pasan−1, on aa_n 6=p(sinona_netan−1seraient premiers entre eux). Ainsi, a_n =dpavecd >1. Soitrle plus petit facteur premier dean−1. Comme PGCD(an−1;a_n)6= 1, on a r 6 PGCD(an−1;a_n) = PGCD(an−1;d) 6 d donc rp 6 a_n. L’entier rp n’apparaissant pas dans {a1;· · ·;an−1} et n’´etant pas premier avec an−1, on a forc´ement rp = an, donc d=r.

1

(2)

Notons que a_n+1 6pcar pn’est pas premier avec a_n et n’est pas pr´esent dans {a₁;· · ·;a_n}.

D’autre part, an+1 n’est pas divisible par r. En effet, si on avait an+1 =rθ, alors on aurait θ > p (sinon a_n+1 serait strictement inférieur à a_n, non premier avec a_n−1 tout en n’appar- tenant pas à{a₁;· · ·;an−1}) ce qui impliquerait a_n+1 =rθ>rp > p.

Comme a_n = pr et a_n+1 ne sont pas premiers entre eux, p divise donc forc´ement a_n+1, et comme a_n+1 6p, cela prouve que a_n+1 =p.

• Soit q un entier premier tel que q < p. D’après le point précédent, si m est le plus petit entier naturel tel que q divise a_m, on a q =a_m+1. Or rq n’est pas premier avec a_n−1 et est strictement inférieur à a_n, par conséquent il appartient à {a₁;· · ·;an−1} : il existe un entier j < n tel que a_j =rq. Par définition dem, on a m 6j d’oùm < n et m+ 1< n+ 1, ce qui prouve que le nombre premier p apparaˆıt après le nombre premier q dans la suite (a_n).

2