Universit´e de Bourgogne Ann´ee 2014-2015
Math32 : Examen
Session 2
Mercredi 17 juin - Dur´ee 2h00
Questions de cours. (5 points)
Enoncer et d´emontrer le lemme des noyaux.
Exercice 1 ( 5 points) Soit m∈R et soit
A=
0 1 2
0 0 0
1 0 −m−1
.
1. Calculer le polynˆome caract´eristique de A.
2. Discuter de la trigonalisation et de la diagonalisation de A surC. 3. Discuter de la trigonalisation et de la diagonalisation de A surR. Exercice 2 (10 points)
Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice estA d´efinie par
A=
1 1 1 0 2 0 0 1 1
.
1. Calculer le polynˆome caract´eristique et le polynˆome minimal de A.
2. En d´eduire queAest trigonalisable mais qu’elle n’est pas diagonlisable et que son spectre est{1,2}.
3. Calculer les espaces propres E1 etE2 et les espaces caract´eristiquesN1 et N2 deA.
Pour la suite on note Π1 et Π2 les projecteurs spectraux correspondants. Notons aussi par Q1 etQ2 les polynˆomes
Q1(X) = χA(X)
(1−X)2 et Q1(X) = χA(X) (2−X)1
4. Montrer que Q1 et Q2 sont premiers entre eux et d´eterminer un couple de polynˆomes (U1, U2) tels que
U1Q1+U2Q2 = 1.
5. Calculer les matrices de U1(f)◦Q1(f) et de U2(f)◦Q2(f).
6. V´erifier que ce sont bien les projecteurs spectraux Π1 et Π2. 7. Calculer les matrices de d= 1.Π1+ 2.Π2 et de n =f −d.
8. V´erifier que c’est bien la d´ecomposition de Dunford de f. 9. Soit n∈N. Calculer An.
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