Groupes et actions de groupes

1 Groupes, sous-groupes 2 1.1 Groupes . . . . 2 1.2 Sous-groupes . . . . 3 1.3 Sous groupes engendr´ es par une partie . . . . 4 2 Morphismes et actions de groupes 7 2.1 Morphismes de groupes . . . . 7 2.2 Actions de groupes . . . . 9 3 Classes ` a gauche, groupes quotients 11 3.1 Classes ` a droite, classes ` a gauche . . . . 11 3.2 Groupes quotients . . . . 12

4 Groupes finis 14

4.1 Th´ eor` eme de Lagrange . . . . 14 4.2 Equation aux classes . . . . ´ 15 4.3 Application aux automorphismes int´ erieurs . . . . 15 4.4 Formule de Burnside . . . . 16

Mathieu Mansuy - Professeur de Math´ ematiques en ECS2 au Lyc´ ee Louis Pergaud (Besan¸ con)

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Introduction

La notion de Groupe ´ emergea progressivement au cours du XIX

si` ecle. Evariste Galois et Niels Henrik Abel sont les premiers ` a l’avoir d´ egag´ ee, dans leurs travaux respectifs sur la r´ esolution par radicaux des ´ equations polynˆ omiales sur Q . Les ´ equations de degr´ e 2, 3 et 4 avaient ´ et´ e r´ esolues par des m´ ethodes n’utilisant, outre les op´ erations ´ el´ ementaires, que des extractions successives de racines n-i` emes. Abel, puis Galois ont montr´ e que ce proc´ ed´ e (r´ esolution par radicaux de l’´ equation) devenait insuffisant pour les ´ equations de degr´ e 5 ou plus.

Galois alla plus loin en introduisant ce qui deviendrait plus tard la notion de groupe afin de donner une condition n´ ecessaire pour la r´ esolution par radicaux d’une ´ equation. Le principe de sa th´ eorie est d’associer un groupe ` a l’´ equation ´ etudi´ ee, le Groupe de Galois de l’´ equation. Il s’agit, en termes vagues, de l’ensemble des permutations des racines qui laissent invariantes toutes les expressions alg´ ebriques de ces racines. Ce groupe exprime le degr´ e d’indiscernabilit´ e des racines. Le g´ enie de Galois consiste ` a avoir trouv´ e une condition op´ eratoire sur ce groupe qui est n´ ecessaire pour que l’´ equation de d´ epart soit r´ esoluble par radicaux.

D` es lors, le concept moderne et abstrait de groupe se d´ eveloppa ` a travers diff´ erents champs des math´ ematiques (g´ eom´ etrie, th´ eorie des nombres,...) de part son lien ´ etroit avec la notion de sym´ etrie. Il joue ´ egalement un rˆ ole important dans de nombreuses sciences. Les groupes g´ en´ eraux lin´ eaires, par exemple, sont utilis´ es en physique fondamentale pour comprendre les lois de la relativit´ e restreinte et les ph´ enom` enes li´ es ` a la sym´ etrie des mol´ ecules en chimie.

1 Groupes, sous-groupes

1.1 Groupes

Soit G un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne not´ ee ∗, c’est ` a dire d’une application de G × G dans G :

∗ : (x, y) ∈ G × G 7→ x ∗ y ∈ G D´ efinition.

On dit que (G, ∗) est un groupe pour la loi ∗ si :

ˆ cette loi est associative : ∀ x, y, z ∈ G, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

ˆ cette loi poss` ede un ´ el´ ement neutre : ∃ e ∈ G, ∀ x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x

ˆ tout ´ el´ ement admet un sym´ etrique par cette loi : ∀ x ∈ G, ∃ y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x = e

Si de plus ∗ est commutative, c’est ` a dire : ∀ x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x, on dira que (G, ∗) est un groupe commutatif ou ab´ elien. Si G est fini, son cardinal Card(G) s’appelle l’ordre de G.

Remarque. On peut montrer que :

ˆ l’´ el´ ement neutre e est unique, not´ e aussi 1

;

Sie, e⁰sont des ´el´ements neutres pour (G,∗), on ae=e∗e⁰=e⁰.

ˆ pour tout ´ el´ ement x ∈ G, le sym´ etrique de x est unique. On l’appelle aussi l’inverse de x et on le note x

.

Soitx∈G, ety, y⁰des sym´etriques dexdans (G,∗). Alors :

y=y∗e=y∗(x∗y⁰) = (y∗x)∗y⁰=e∗y⁰=y⁰.

Lorsque le groupe est commutatif, on pourra pr´ ef´ erer une notation additive : + pour d´ esigner la loi de G, 0

pour l’´ el´ ement neutre, et −x pour le sym´ etrique de x aussi appel´ e oppos´ e de x dans ce cas.

Premiers exemples.

ˆ ( Z , +) groupe commutatif d’´ el´ ement neutre e = 0. ( N , +) n’est pas un groupe.

ˆ Soit K un corps commutatif. Alors ( K

, ×) est un groupe commutatif d’´ el´ ement neutre e = 1

.

ˆ Plus g´ en´ eralement pour tout anneau (A, +, ×) unitaire, l’ensemble U (A) des ´ el´ ements inversibles est un

groupe pour la loi × d’´ el´ ement neutre e = 1

. Par exemple (GL

( K ), ×) est un groupe, non commutatif

d` es que n ≥ 2, d’´ el´ ement neutre e = I

.

ˆ Soit X un ensemble. Notons S(X ) l’ensemble des permutations de X , c’est ` a dire des bijections de X dans lui-mˆ eme. Alors S(X ) est un groupe pour la loi de composition ◦ d’´ el´ ement neutre l’application identit´ e e = Id

. On l’appelle groupe sym´ etrique de X. Ce groupe est non commutatif d` es que X poss` ede plus de 3 ´ el´ ements.

Si X = {1, 2, . . . , n} avec n ≥ 1, on le notera plus simplement S

, et on l’appellera groupe sym´ etrique d’indice n. Il est d’ordre n!. Un ´ el´ ement σ ∈ S

se repr´ esente commun´ ement sous forme d’un tableau :

σ =

1 2 . . . n σ(1) σ(2) . . . σ(n)

.

Montrons queSnn’est pas commutatif d`es quen≥3. On consid`ere pour cela les deux permutations suivantes : σ=

1 2 3 4 . . . n 2 1 3 4 . . . n

et τ=

1 2 3 4 . . . n 1 3 2 4 . . . n

. Alors on a :

τ◦σ(1) =τ(2) = 3 et σ◦τ(1) =σ(1) = 2.

Ainsiτ◦σ6=σ◦τ, etS_nn’est pas commutatif.

Exemple. Soient (N, ∗) et (H, ∗

) deux groupes. Le produit cart´ esien N × H est muni d’une structure de groupe avec la loi produit suivante :

(n, h) ? (n

, h

) = (n ∗ n

, h ∗

h

).

On l’appelle le produit direct des groupes N et H. On v´ erifie que e

= (e

, e

) et (n, h)

= (n

, h

).

N × H est commutatif si et seulement si N et H sont commutatifs.

1.2 Sous-groupes

D´ efinition.

Soit G un groupe, et H ⊂ G. On dit que H est un sous-groupe de G, not´ e H < G, si ( e ∈ H

∀ x, y ∈ H, x ∗ y

∈ H

Exemples.

ˆ {e}, G sont des sous groupes de (G, ∗).

ˆ Les sous-groupes de ( Z , +) sont exactement les ensembles de la forme n Z = {kn, k ∈ Z } avec n ≥ 0.

Exercice.

a) Montrer que pour toutn≥0,nZest un sous groupe deZ.

b) SoitH un sous groupe de (Z,+),H6={0}.

(i) Montrer que la partieH∩N^∗poss`ede un plus petit ´el´ement. On noteacet ´el´ement.

(ii) Montrer queaZ⊂H.

(iii) Montrer queH⊂aZ(penser `a utiliser la division euclidienne).

Solution.

a) On montre les diff´erents points d´efinissant un sous-groupe de (Z,+) : – 0 = 0×n∈nZ;

– Soienta, b∈nZ, il existek, l∈Ztels quea=knetb=ln. Alorsa+b=kn+ln= (k+l)n∈nZ; – Soita∈nZ, il existek∈Ztel quea=kn. Alorssym(a) =−a=−kn= (−k)n∈nZ.

AinsinZest bien un sous groupe deZ.

b) (i) Par hypoth`eseH6={0}, donc il existeh∈Htel queh6= 0. Sih >0, c’est bon. Sinon, commeHest un groupe, on asym(h) =−h∈H et−h >0. Dans tous les cas on a donc queH∩N<sup>∗</sup>est une partie non vide deN<sup>∗</sup>. Elle poss`ede donc un plus petit ´el´ementa.

(ii) Puisquea∈H et queHest un sous groupe, on a aussisym(a) =−a∈H. On montre alors par une r´ecurrence (`a faire) que pour toutk∈N,kaet−kaappartiennent `aH. AinsiaZ⊂H.

(iii) Soith∈H. Montrons queh∈aZ. Faisons la division euclidienne dehpara: il existeq, r∈Ztels que : h=qa+ret 0≤r < a.

On ah∈H,qa∈aZ⊂H. PuisqueH est un sous groupe, on en d´eduit quer=h−qaappartient `aH. Par minimalit´e dea, on en d´eduit quer= 0. Ainsi on a bienh=qa, et donch∈aZ.

On a ainsi montr´e que tout sous groupe de (Z,+) est de la formenZavecn≥0 (r´esultat `a retenir).

ˆ L’ensemble U des nombres complexes de module 1 est un sous groupe de ( C

, ×). Pour tout n ≥ 2, l’ensemble U

des racines n-i` emes de l’unit´ e est lui-mˆ eme un sous-groupe de ( C

, ×) (et de ( U , ×) aussi).

On a de plus les inclusions :

U

⊂ U

⇔ m divise n.

En effet, simdivisen, alors il existek∈Ztel quen=km, et alors pour toutξ∈Um, on a : ξⁿ=ξ^km= (ξ^m)^k= 1^k= 1.

R´eciproquement, siUm⊂Unalors on aurait :

1 = (e^2iπm )ⁿ=e^2niπm ⇒ n

m∈Z⇒n∈mZ.

Soit {H

}

une famille de sous-groupes d’un groupe G. Alors \

i∈I

H

est un sous-groupe de G.

Propri´ et´ e 1

Preuve.

ˆ Pour touti∈I,e∈HicarHiest un sous-groupe deG. Donce∈T

i∈IHietT

i∈IHi6=∅.

ˆ Soientx, y∈T

i∈IHi. Alors pour touti∈I,x, y∈Hi.Hi´etant un sous-groupe deG,x∗y⁻¹appartient `aHi. Ceci ´etant vrai pour touti∈I, on conclut quex∗y⁻¹∈T

i∈IHi.

1.3 Sous groupes engendr´ es par une partie

Soit G un groupe, et soit A un sous-ensemble non vide de G. Le sous-groupe hAi de G engendr´ e par A est l’intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent A. On dit alors que A est une partie g´ en´ eratrice de hAi.

L’ensemble hAi co¨ıncide avec l’ensemble des produits x

. . . x

o` u m est un entier positif non nul, et o` u pour tout 1 ≤ i ≤ m, on a x

∈ A ou x

∈ A.

Propri´ et´ e 2

Exemple. Soit x un ´ el´ ement d’un groupe G. Alors on a hxi = {x

, m ∈ Z }. On notera en particulier que hxi est un groupe commutatif.

D´ efinition.

Un ´ el´ ements x de G est dit d’ordre p ∈ N

si hxi est fini d’ordre p. L’ordre de x est aussi le plus petit entier naturel non nul p tel que x

= e. On le note o(x). On a :

hxi = {e, x, . . . , x

}.

Exemples.

ˆ Soit n ≥ 2. ξ = e

est un ´ el´ ement d’ordre n de ( C

, ×).

ˆ Dans S

, on appelle transposition toute permutation de la forme τ

=

1 . . . i − 1 i i + 1 . . . j − 1 j j + 1 . . . n 1 . . . i − 1 j i + 1 . . . j − 1 i j + 1 . . . n

o` u 1 ≤ i < j ≤ n. Les transpositions sont des ´ el´ ements d’ordre 2 dans S

. Remarques.

ˆ Si x est d’ordre p, alors

x

= e ⇔ p|q.

En effet sipdiviseq, il existek∈Ztel queq=kp. D`es lors, on a : x^q= (x^p)^k=e^k=e.

R´eciproquement supposons quex^q=e. On effectue la division euclidienne deqparp: il existe (r, s) un couple d’entiers tel que :

(q=pr+s 0≤s < p On a alors :

e=x^q=x^pr+s= (x^p)^rx^s=x^s. Or 0≤s < p. Par minimalit´e dep, on en d´eduit ques= 0, et donc queq=pr.

ˆ Si x est d’ordre p, alors pour tout k ∈ Z , x

est d’ordre p p ∧ k .

Soit donck∈Z. D´eterminons l’ordreqdex^k. On a :

e= (x^k)^q=x^kq d’o`u pdivisekq ⇔ ∃r∈Z, kq=pr.

Soientp⁰, k⁰ ∈Ztels que







p= (p∧k)p⁰ k= (p∧k)k⁰ k⁰∧p⁰= 1

. En substituant dans l’´egalit´e pr´ec´edente, on obtientk⁰q=p⁰r. On en d´eduit que :

(

p⁰divisek⁰q p⁰∧k⁰= 1

Gauss

⇒ p⁰= p

p∧k diviseq.

D’autre part, on ak× p

p∧k =p× k p∧k

| {z }

∈Z

et donc (x^k)^p∧kp = (x^p)^p∧kk = (e)^p∧kk =e.Ainsiqdivise p

p∧k. Comme on a aussi

montr´e que p

p∧k diviseq, on conclut queq= p p∧k.

D´ efinition.

ˆ On dit qu’un groupe G est monog` ene s’il existe x ∈ G tel que G = hxi. Si de plus G est fini, on dit que G est cyclique.

ˆ On dit qu’un groupe G est de type fini s’il existe un nombre fini d’´ el´ ements x

, . . . , x

de G tels que G = hx

, . . . , x

i. Un tel n-uplet (x

, . . . , x

) est appel´ e syst` eme de g´ en´ erateurs de G.

Exemples.

ˆ Z et ses sous-groupes sont monog` enes.

ˆ Pour tout n ≥ 1, U

est un groupe cyclique engendr´ e par ξ = e

. D’autres g´ en´ erateurs sont possibles, pr´ ecis´ es par l’´ equivalence suivante :

U

= hξ

i ⇔ (k ∧ n = 1).

En effet on a les ´equivalences suivantes :

Un=hξ^ki ⇔ ξ^kest d’ordren ⇔ n

n∧k =n ⇔ n∧k= 1.

ˆ Z

est de type fini, engendr´ e par les ´ el´ ements u

= (1, 0) et u

= (0, 1). Il n’est pas monog` ene.

Exemple. Soit n ≥ 2. Le groupe sym´ etrique S

est de type fini, engendr´ e par les transpositions.

On le montre par r´ecurrence surn≥2.

Initialisation. S2={Id, τ1,2}, doncS2 est bien engendr´e par les transpositions.

H´er´edit´e. Soitn≥3. Supposons la propri´et´e au rangn−1. Soitσ∈ Sn. On a deux cas possibles :

– σ(n) =n. Dans ce cas,σpeut-ˆetre vue comme une permutation ˜σde{1,2, . . . , n−1}. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existek≥0 et ˜τ1, . . . ,τ˜kdes transpositions de{1,2, . . . , n−1}tels que :

˜

σ= ˜τ1◦ · · · ◦τ˜_k. Pour tout 1≤i≤k, on d´efinit alors la transpositionτi∈ Snparτi(j) =

(

˜

τi(j) sij6=n

n sij=n, et on v´erifie qu’on a : σ=τ1◦ · · · ◦τk.

– σ(n)6=n. On noteτ0 la transposition permutant les entiersσ(n) etn. On aτ0◦σ(n) =n. On est ramen´e ainsi au cas pr´ec´edent : il existek≥0 et des transpositionsτi∈ Sntels que :

τ0◦σ=τ1◦ · · · ◦τk

soit encore :

σ=τ0◦τ1◦ · · · ◦τ_k. D’o`u la propri´et´e au rangn.

On conclut par principe de r´ecurrence. On a d’ailleurs montr´e plus pr´ecis´ement que toute permutation deS_nest produit d’au plus n−1 transpositions.

Faisons un exemple. On consid`ere la permutation suivanteσ=

1 2 3 4 5

3 5 1 4 2

deS5. On s’inspire pour cela de la preuve

pr´ec´edente :









1 2 3 4 5

3 5 1 4 2

3 2 1 4 5

1 2 3 4 5







 σ τ2,5◦σ τ1,3◦τ2,5◦σ Ainsi on aτ1,3◦τ2,5◦σ=Id, d’o`u :

σ= (τ1,3◦τ2,5)⁻¹=τ_2,5⁻¹◦τ_1,3⁻¹=τ2,5◦τ1,3.

Exemple. Soit n ≥ 3, et P

P

. . . P

un polygone r´ egulier ` a n cˆ ot´ es de centre O. On note D

l’ensemble des isom´ etries du plan qui conservent ce polygone r´ egulier. On montre facilement que c’est un sous-groupe du groupe des isom´ etries du plan, appel´ e le groupe di´ edral d’ordre 2n.

P₀ O

P1

P₂

P3

P4 P₅

l

On note r la rotation de centre O envoyant P

sur P

, et s la sym´ etrie d’axe OP

. On montre que : D

= {Id, r, . . . , r

, s, r ◦ s, . . . , r

◦ s}.

On a bien l’inclusion{Id, r, . . . , rⁿ⁻¹, s, r◦s, . . . , rⁿ⁻¹◦s} ⊂ D_2n.

R´eciproquement, soit f une isom´etrie conservant le polygone r´egulier. On sait que f(O) = O(f conserve l’isobarycentre des sommets du polygone). On a alors plusieurs cas :

ˆ Supposons que f(P0) = P0. On discute alors de f(P1), il s’agit d’un des sommets du polygone satisfaisant l’´egalit´e des longueursP0f(P1) =P0P1. On a donc deux cas possibles :

– soitf(P1) =P1. Alorsf=Idcar ces deux isom´etries co¨ıncident en trois points non align´es du plan.

– soitf(P1) =P5. Dans ce casf=spour les mˆemes raisons.

ˆ Sif(P0) =P_kavec 1≤k≤n−1, alorsr^−k◦f est une isom´etrie conservant le polygone et envoyantP0sur lui-mˆeme. On est donc dans le cas pr´ec´edent :

– soitr^−k◦f=Id, et alorsf=r^k; – soitr^−k◦f=s, et alorsf=r^k◦s.

Ainsi D

= hr, si, et {r, s} est un syst` eme de g´ en´ erateurs du groupe D

. On retiendra que D

est un groupe d’ordre 2n, non commutatif (on v´ erifiera que r ◦ s 6= s ◦ r), ayant un sous groupe cyclique hri = {Id, r, . . . , r

} d’ordre n.

2 Morphismes et actions de groupes

2.1 Morphismes de groupes

D´ efinition.

Soient (G, ∗) et (G

, ∗

) deux groupes et une application ϕ : G → G

. On dit que ϕ est un morphisme de groupes si

∀ x, y ∈ G

, ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ∗

ϕ(y)

Remarque. Soit ϕ : G → G

un morphisme de groupes. Alors ϕ envoie l’´ el´ ement neutre e de G sur l’´ el´ ement neutre e

de G

, et l’´ el´ ement x

de G sur f (x)

pour tout x ∈ G.

On a

ϕ(e) =ϕ(e∗e) =ϕ(e)∗⁰ϕ(e) d’o`u en multipliant `a gauche parϕ(e)⁻¹:ϕ(e) =e⁰.

Soitx∈G. On a :

ϕ(x)∗⁰ϕ(x⁻¹) =ϕ(x∗x⁻¹) =ϕ(e) =e⁰. De mˆeme on montre queϕ(x⁻¹)∗⁰ϕ(x) =e⁰, et doncϕ(x⁻¹) =ϕ(x)⁻¹.

Exemples.

ˆ Le logarithme ln : ( R

, ×) → ( R , +) et l’exponentielle exp : ( R , +) → ( R

, ×).

ˆ L’application d´ eterminant det : (GL

( K ), ×) → ( K

, ×).

D´ efinition.

Soit σ ∈ S

. On appelle signature de σ le produit : ε(σ) = Y

1≤i<j≤n

σ(j) − σ(i) j − i .

Remarque. ε(σ) vaut 1 si le nombre d’inversions (i.e. le nombre de paires {i, j} (1 ≤ i < j ≤ n) telles que σ(j) − σ(i) < 0) est paire, −1 sinon.

La signature ε est un morphisme de groupes de S

dans {−1, 1}

Propri´ et´ e 3

Preuve. Soientσ1, σ2∈ Sn. On a : ε(σ1◦σ2) = Y

1≤i<j≤n

σ1◦σ2(j)−σ1◦σ2(i)

j−i = Y

1≤i<j≤n

σ1(σ2(j))−σ1(σ2(i)) σ2(j)−σ2(i)

σ2(j)−σ2(i) j−i

= Y

1≤i<j≤n

σ1(σ2(j))−σ1(σ2(i)) σ2(j)−σ2(i)

Y

1≤i<j≤n

σ2(j)−σ2(i)

j−i = Y

1≤σ₂(i)<σ2(j)≤n

σ1(σ2(j))−σ1(σ2(i)) σ2(j)−σ2(i)

Y

1≤i<j≤n

σ2(j)−σ2(i) j−i

= Y

1≤k<l≤n

σ1(l)−σ1(k) l−k

Y

1≤i<j≤n

σ2(j)−σ2(i)

j−i =ε(σ1)ε(σ2)

Remarque. On v´ erifie que la signature d’une transposition vaut −1. Pour calculer la signature d’une permu- tation quelconque, on commence par la d´ ecomposer en un produit de k transpositions. La signature est alors (−1)

.

Soit ϕ : G → G

un morphisme de groupes.

ˆ Pour tout sous groupe H de G, ϕ(H ) := {ϕ(h), h ∈ H } est un sous groupe de G

ˆ Pour tout sous-groupe H

de G

, ϕ

(H

) := {h ∈ G, ϕ(h) ∈ H

} est un sous groupe de G.

Propri´ et´ e 4

Preuve.

ˆ e⁰=ϕ(e)∈ϕ(H) (careappartient `aHsous groupe). De plus pour toutx⁰, y⁰∈ϕ(H), il existex, y∈H tels quex⁰=ϕ(x) ety⁰=ϕ(y). On a alors :

x⁰∗⁰y⁰⁻¹=ϕ(x)∗⁰ϕ(y)⁻¹=ϕ(x)∗⁰ϕ(y⁻¹) =ϕ(x∗y⁻¹)

qui appartient bien `aϕ(H) carx∗y⁻¹∈H (H sous-groupe deG). Ainsiϕ(H) est bien un sous-groupe deG.

ˆ e∈ϕ⁻¹(H⁰) carϕ(e) =e⁰appartient `aH<sup>0</sup> sous-groupe. Soient `a pr´esentx, y∈ϕ⁻¹(H⁰), on a : ϕ(x∗y⁻¹) =ϕ(x)

| {z }

∈H⁰

∗⁰ϕ(y)⁻¹

| {z }

∈H⁰

∈H⁰

carH⁰est un sous-groupe deG⁰. Ainsiϕ⁻¹(H⁰) est bien un sous-groupe deG⁰.

On d´ eduit de cette propri´ et´ e que :

ˆ Im(ϕ) = ϕ(G) est un sous-groupe de G

appel´ e l’image de ϕ. De plus on a Im(ϕ) = G

si et seulement si ϕ est surjective.

ˆ Ker(ϕ) = ϕ

({e

}) est un sous-groupe de G appel´ e le noyau de ϕ. De plus on a Ker(ϕ) = {e} si et seulement si ϕ est injective.

Exemple. A

= Ker(ε) est un sous-groupe de S

de cardinal n!

2 , appel´ e groupe altern´ e. Une permutation σ ∈ S

est dite paire si σ ∈ A

, impaire sinon.

Si un morphisme de groupe ϕ : G → G

est bijectif, on dit que ϕ est un isomorphisme. Si ϕ : G → G est un isomorphisme de G dans G, on dit que f est un automorphisme. On v´ erifie que l’ensemble Aut(G) des automorphismes du groupe G est un groupe pour la composition.

Un classe importante d’automorphismes de G est donn´ ee par la propri´ et´ e suivante.

Soit G un groupe, et a un ´ el´ ement de G. L’application ϕ

: G → G, x 7→ a ∗ x ∗ a

est un automorphisme de G appel´ e automorphisme int´ erieur associ´ e ` a a. De plus, l’ensemble Int(G) des automorphismes int´ erieurs de G est un sous groupe de Aut(G).

Propri´ et´ e 5

Preuve. Soita∈G. Montrons queϕaest un morphisme de groupes deGdansG. Pour toutx, y∈G, on a : ϕa(x∗y) =a∗(x∗y)∗a⁻¹=a∗x∗a∗a⁻¹∗y∗a⁻¹=ϕ(x)∗ϕ(y).

Doncϕaest un morphisme de groupes. De plus pour touta, b∈G, on a :

∀x∈G, ϕa◦ϕb(x) =ϕa(b∗x∗b⁻¹) =a∗b∗x∗b⁻¹∗a⁻¹= (a∗b)∗x∗(a∗b)⁻¹=ϕa∗b(x).

et

∀x∈G, ϕe(x) =e∗x∗e⁻¹=Id(x) On en d´eduit en particulier que pour touta∈G, on a :

ϕa◦ϕ_a−1=ϕ_a∗a−1=ϕe=Id=ϕ_a−1∗ϕa. Ainsi on a bien que pour touta∈G,ϕa∈Aut(G).

Finalement, on a montr´e que :

ˆ Int(G)⊂Aut(G) ; ˆ Id=ϕe∈Int(G) ; ˆ ∀a, b ∈ G,ϕa◦ϕ⁻¹_b = ϕ_a∗b−1 ∈ Int(G).

DoncInt(G) est un sous-groupe deAut(G).

2.2 Actions de groupes

Si on veut avoir une image “g´ eom´ etrique” d’un groupe G, on peut tenter de “r´ ealiser” G comme sous-groupe du groupe des permutations d’un ensemble X , c’est-` a-dire de trouver un morphisme injectif de G dans S (X ).

Une repr´ esentation moins “fid` ele” est fournie par un morphisme quelconque de G dans S(X ). On obtient les d´ efinition suivantes.

D´ efinition.

Une op´ eration (ou action) de G sur X est la donn´ ee d’un morphisme ρ de G dans S(X).

Remarque. L’action de G sur X se note plus simplement g · x = ρ(g)(x) pour tout g ∈ G et x ∈ X. On notera que :

(1) ∀(g, g

) ∈ G

, ∀x ∈ X, g · (g

· x) = (gg

) · x (2) ∀e ∈ X, e · x = x.

R´ eciproquement, toute application G × X → X v´ erifiant ces deux points d´ efinit une action de G sur X . D´ efinition.

On dit que l’action est fid` ele si ρ : G → S(X), c’est ` a dire :

g · x = x ∀x ∈ X ⇒ s = e.

L’action est transitive si :

∀(x, x

) ∈ X, ∃g ∈ G, g · x = x

.

Quelques exemples classiques.

ˆ Un groupe G op` ere sur lui-mˆ eme de deux mani` eres fondamentales : – par translation ` a gauche (resp. ` a droite) :

G × G → G, (g, x) 7→ g ∗ x (resp. G × G → G, (g, x) 7→ x ∗ g

).

Cette action est fid` ele et transitive.

– par conjugaison :

G × G → G, (g, x) 7→ g ∗ x ∗ g

.

ˆ Si X est une partie d’un espace affine euclidien E, l’ensemble G des isom´ etries de E qui laissent X globalement invariant est un sous-groupe de Is(E) qui op` ere naturellement sur X. L’op´ eration est fid` ele si et seulement si X “engendre” E, c’est-` a-dire n’est contenu dans aucun sous-espace affine strict. On a d´ efinit ainsi le groupe di´ edral D

laissant stable un polygone r´ egulier ` a n cˆ ot´ es. On d´ efinit de mˆ eme le groupe du t´ etra` edre, le groupe du cube, etc.

ˆ Citons encore l’action du groupe lin´ eaire GL

( K ) sur K

, de O

( R ) sur la sph` ere unit´ e de R

. Ces actions

sont fid` eles et transitives.

D´ efinition.

Soit G un groupe agissant sur un ensemble X . Pour tout x ∈ X , on appelle :

ˆ orbite de x (ou trajectoire ) le sous-ensemble O

= {g · x, g ∈ G} de X ;

ˆ stabilisateur de x le sous-ensemble G

= {g ∈ G, g · x = x}.

Remarque. On notera que l’action de G sur X est transitive si et seulement si il n’y a qu’une seule orbite.

(1) Les orbites pour l’action de G sur X forment une partition de X.

(2) Pour tout x ∈ X , G

est un sous-groupe de G.

(3) Si y = g · x est dans l’orbite de x, alors g ∗ G

∗ g

= G

, et donc les sous-groupes G

et G

sont isomorphes via un automorphisme int´ erieur de G.

Propri´ et´ e 6

Preuve. D´ emontrons (1). Pour cela on introduit la relation binaire ∼ sur X suivante, dont on v´ erifie qu’il s’agit d’une relation d’´ equivalence

:

x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G, y = g · x.

Pour cette relation d’´ equivalence, on note que la classe d’´ equivalence d’un ´ el´ ement x ∈ X n’est autre que son orbite O

sous l’action de G. Ces classes d’´ equivalences formant une partition de X, on en d´ eduit le r´ esultat.

Les autres points sont laiss´ es ` a titre d’exercice.

Montrons (2). On ae.x=xdonce∈Gx. De plus pour toutg, g⁰∈Gx, on a : g·x=xetg⁰·x=x ⇔ x=g⁰⁻¹·x.

On en d´eduit que :

g∗g⁰⁻¹·x=g·(g⁰⁻¹·x) =g·x=x et doncg∗g⁰⁻¹ appartient `aGx.Gxest donc bien un sous-groupe deG.

On montre enfin (3). On a :

g⁰∈Gy⇔g⁰·y=y⇔g⁰·(g·x) =g·x

⇔(g⁻¹∗g⁰∗g)·x=x⇔g⁻¹∗g⁰∗g∈Gx

Exemple. Les orbites du groupe orthogonal O

( R ) dans son action naturelle sur R

sont les sph` eres de centre l’origine.

Consid´ erons l’action naturelle de S

sur X = {1, 2, . . . , n} :

S

× X → X, (σ, i) → σ(i).

Cette action est fid` ele et transitive. Soit γ ∈ S

. Alors le groupe cyclique hγi agit aussi sur X . D´ efinition.

Soit γ ∈ S

. On dit que γ est un cycle si parmi les les orbites de X sous l’action de hγi, il n’existe qu’une seule orbite non r´ eduite ` a un ´ el´ ement, autrement dit s’il existe p ≥ 2 et i ∈ {1, . . . , n} tels que :

O

= {i, γ(i), . . . , γ

(i)} et ∀j / ∈ O

, γ(j) = j.

L’orbite O

s’appelle le support du cycle, son cardinal est la longueur du cycle, et on note γ = (i, γ(i), . . . , γ

(i)).

Exemples.

ˆ Une transposition est un cycle de longueur 2.

1voir l’Annexe pour des rappels sur les relations d’´equivalences.

ˆ γ =

1 2 3 . . . n 2 3 4 . . . 1

∈ S

est un cycle de longueur n, qu’on notera donc γ = (1, 2, 3, . . . , n).

ˆ σ =

1 2 3 4

2 1 4 3

∈ S

n’est pas un cycle puisque O

= {1, 2} et O

= {3, 4}.

Remarques.

ˆ Des cycles ` a supports disjoints commutent.

ˆ L’ordre d’un cycle est sa longueur.

ˆ La signature d’un cycle de longueur p est (−1)

.

Siγ= (a1, a2, . . . , ap) est un cycle de longueurp, alors on v´erifie que :

γ= (a1, ap)(a1, ap−1). . .(a1, a3)(a1, a2) produit dep−1 transpositions et doncε(γ) = (−1)^p−1

Toute permutation σ 6= Id se d´ ecompose de mani` ere unique ` a l’ordre pr` es en un produit de cycles dont les supports sont deux ` a deux disjoints.

Th´ eor` eme 7

Preuve. Soient O

, . . . , O

les orbites de X sous l’action de hσi. Alors les permutations σ

d´ efinies par : σ

(x) =

( x si x / ∈ O

σ(x) si x ∈ O

sont des cycles d’ordre Card(O

), deux ` a deux permutables car de supports disjoints, et on a σ = σ

◦ · · · ◦ σ

. Exemple. Consid´ erons σ =

1 2 3 4 5 6 7 8

3 6 4 5 1 8 7 2

∈ S

. On a O

= {1, 3, 4, 5}, O

= {2, 6, 8} et O

= {7}, et σ = (1, 3, 4, 5)(2, 6, 8)(7) = (1, 3, 4, 5)(2, 6, 8) (inutile d’´ ecrire les cycles d’ordre 1).

3 Classes ` a gauche, groupes quotients

3.1 Classes ` a droite, classes ` a gauche

Soit G un groupe, H un sous groupe de G. Le sous-groupe H agit sur G par translation ` a gauche H × G → G, (h, g) 7→ h ∗ g.

Les orbites pour cette action sont de la forme Hg = {h ∗ g, h ∈ H}. Elles sont appel´ ees classes ` a droites de G.

Elles forment une partition de G, et on note H \G l’ensemble des classes ` a droite.

On d´ efinit de mˆ eme les classes ` a gauches de G par gH = {g ∗ h, h ∈ H} pour tout g ∈ G, not´ ee dans la suite [g]. Elles forment aussi une partition de G (en faisant cette fois agir H sur G par translation ` a droite), et on note G/H l’ensemble des classes ` a gauche.

Les classes ` a gauches ont un lien important avec les orbites.

L’application G/G

→ O

, [g] 7→ g · x est bien d´ efinie et ´ etablit une bijection (ensembliste).

Propri´ et´ e 8

Preuve. Montrons tout d’abord que cette application est bien d´ efinie. Soit pour cela g

pris dans la classe ` a gauche de g. On peut donc ´ ecrire g

= g ∗ h avec h ∈ G

. On a :

g

· x = (g ∗ h) · x = g · (h · x) = g · x.

D’o` u la bonne d´ efinition de cette application.

Montrons ` a pr´ esent son injectivit´ e : soient pour cela g

et g

tels que g

· x = g

· x. Alors on a : (g

g

) · x = g

· (g

· x) = g

· (g

· x) = (g

g

) · x = e · x = x.

Ceci nous montre que g

g

appartient ` a G

, soit encore que g

∈ g

G

. On a donc bien [g

] = [g

].

3.2 Groupes quotients

On souhaite munir l’ensemble G/H des classes ` a gauche d’une structure naturelle de groupe, pour laquelle la projection canonique π : G → G/H, g 7→ [g] soit un morphisme de groupes. Cela revient ` a d´ efinir si possible une loi sur G/H, encore not´ ee ∗, satisfaisant :

∀g

, g

∈ G, [g

] ∗ [g

] = [g

∗ g

].

Une telle loi n’existe pas toujours. Le r´ esultat suivant nous donne les propri´ et´ es que le sous-groupe H doit satisfaire pour cela.

Soit G un groupe et H un sous-groupe. Les conditions suivantes sont ´ equivalentes.

(1) G/H est muni d’une structure naturelle de groupe ; (1’) H\G est muni d’une structure naturelle de groupe ;

(2) Toute classe ` a droite est aussi une classe ` a gauche, i.e. x ∗ H = H ∗ x pour tout x ∈ G ; (3) Pour tout x ∈ G, x ∗ H ∗ x

⊂ H .

Propri´ et´ e 9

Preuve.

(1) ⇒ (3) (1) implique en particulier que [e] ∗ [g

] = [e ∗ g

] = [g

] et donc que H ∗ (g

∗ H) = g

H. Et comme e ∈ H, on obtient que :

H ∗ g

= H ∗ g

∗ e ⊂ g

∗ H Il vient donc que g ∗ H ∗ g

⊂ H , d’o` u la stabilit´ e.

(3) ⇒ (2) On a donc g ∗ H ∗ g

⊂ H, mais aussi en changeant g en g

, g

∗ H ∗ g ⊂ H , c’est ` a dire H ⊂ g ∗ H ∗ g

. D’o` u l’´ egalit´ e g ∗ H ∗ g

= H et donc g ∗ H = H ∗ g.

(2) ⇒ (1) Comme (2) est vrai, on a :

[g

] ∗ [g

] = (g

∗ H ) ∗ (g

∗ H ) = g

∗ (H ∗ g

) ∗ H = g

∗ (g

∗ H ) ∗ H

= (g

∗ g

) ∗ (H ∗ H ) = (g

∗ g

) ∗ H = [g

∗ g

].

Comme (1) et (1

) jouent des rˆ oles similaires, on a boucl´ e la propri´ et´ e.

D´ efinition.

Un sous-groupe H v´ erifiant une de ces conditions est appel´ e sous-groupe distingu´ e de G, ce qu’on note H C G.

(G/H, ∗) est alors le groupe quotient G sur H .

Remarque. {e} et G sont des sous-groupes distingu´ es dans G. Tout sous-groupe d’un groupe ab´ elien G est distingu´ e dans G.

Exemple. Soit G un groupe. On appelle centre du groupe l’ensemble Z(G) des ´ el´ ements qui commutent avec tous les autres ´ el´ ements de G, soit :

Z(G) = {x ∈ G, ∀y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x}.

On v´ erifie facilement que Z(G) est un sous-groupe distingu´ e de G.

Exemple fondamental. Soit n ≥ 1, n Z est un sous-groupe de ( Z , +), distingu´ e puisque ( Z , +) est commutatif.

On d´ efinit alors le groupe quotient Z /n Z , cyclique d’ordre n.

Soit ϕ : G → G

un morphisme de groupes, et H

un sous groupe distingu´ e de G

. Alors ϕ

(H

) est un sous groupe distingu´ e de G.

Propri´ et´ e 10

Preuve. On a d´ej`a ´etablit queϕ⁻¹(H⁰) est un sous-groupe deG. Montrons que ce sous-groupe est distingu´e : soienth∈ϕ⁻¹(H⁰) etg∈G, on a :

ϕ(g∗h∗g⁻¹) =ϕ(g)∗⁰ϕ(h)

| {z }

∈H⁰

∗⁰ϕ(g)⁻¹∈H⁰carH⁰ distingu´e dansG⁰

Ainsig∗h∗g⁻¹∈ϕ⁻¹(H⁰), etϕ⁻¹(H⁰) est un sous-groupe distingu´e deG.

Remarque. Ce n’est pas vrai en g´ en´ eral pour l’image direct ϕ(H ) d’un sous-groupe distingu´ e de G.

Remarque. Le sous-groupe trivial {e

} ´ etant distingu´ e dans G

, on d´ eduit de la propri´ et´ e pr´ ec´ edente que Ker(ϕ) = ϕ

({e

}) est distingu´ e dans G. Par exemple, le groupe altern´ e A

est un sous-groupe distingu´ e de S

.

Soit ϕ : G → G

un homomorphisme de groupes. L’application ϕ : [x] 7→ ϕ(x) d´ efinit un isomor- phisme entre les groupes G/Ker(ϕ) et Im(ϕ).

Th´ eor` eme 11

Preuve. V´ erifions tout d’abord que ϕ est bien d´ efinie. Soit pour cela x

∈ [x]. Il existe donc h ∈ Ker(ϕ) tel que x

= x ∗ h, et on a :

ϕ(x

) = ϕ(x ∗ h) = ϕ(x) ∗

ϕ(h) = ϕ(x) ∗

e

= ϕ(x).

Donc l’application ϕ est bien d´ efinie. Elle d´ efinit donc un morphisme de groupes de G/Ker(ϕ) ` a valeurs dans Im(ϕ) par d´ efinition. Elle est par d´ efinition surjective, et injective car :

ϕ(x) = e

⇔ ϕ(x) = e

⇔ x ∈ Ker(ϕ) ⇔ [x] = [e].

Donc ϕ d´ efinit bien un isomorphisme entre les groupes G/Ker(ϕ) et Im(ϕ).

Exemple. Soit G = N × H le produit direct des groupes N et H . Consid´ erons la projection p

: G → H d´ efinie par p

(n, h) = h. C’est un morphisme de groupes, surjectif, de noyau le sous-groupe distingu´ e N de G, avec :

N = {(n, e

), n ∈ N }.

On a :

(1) par le r´ esultat pr´ ec´ edent, G/N ' H ;

(2) la restriction de la projection p

: N → N, (n, e

) 7→ n est un isomorphisme.

Comme application de ce r´ esultat, on a la propri´ et´ e suivante.

Tout groupe monog` ene est isomorphe ` a Z s’il est infini, ` a ( Z /n Z ) s’il est fini d’ordre n ≥ 1.

Propri´ et´ e 12

Preuve. Soit G = hai un groupe monog` ene. On d´ efinit l’application : ϕ : Z → G, k 7→ a

.

On v´ erifie facilement que ϕ est un morphisme surjectif. On a alors deux cas possibles :

ˆ soit ϕ est injectif, alors G est infini et ϕ est un isomorphisme de Z sur G ;

ˆ soit Ker(ϕ) 6= {0} et c’est un sous groupe de Z , alors il existe n > 1 tel que Ker(ϕ) = n Z . Par le r´ esultat pr´ ec´ edent, on en d´ eduit que G est fini, isomorphe ` a Z /n Z .

Commentaires. L’int´ erˆ et des sous-groupes distingu´ es est de permettre le “d´ evissage” des groupes : si G est un groupe et si on a un sous-groupe distingu´ e H dans G, on peut essayer de ramener l’´ etude de G ` a celles de H et G/H cens´ ees ˆ etre plus ais´ e

, en montrant par exemple que G est isomorphe au produit direct G/H × H . Pour des exemples de d´ evissages (produits directs et semi-directs), voir [8].

Certains groupes sont cependant ind´ evissables car ils ne poss` edent pas de sous-groupes distingu´ es autres que {e} et G. On les appelle des groupes simples. Ce sont les briques fondamentales dans le d´ evissage des groupes.

Donnons deux exemples de groupes simples :

ˆ On pourra montrer ` a titre d’exercice que Z /p Z est un groupe simple si et seulement si p est premier (utilise le th´ eor` eme de Lagrange).

ˆ Le groupe altern´ e A

est simple pour n ≥ 5 (voir [8] pour une d´ emonstration).

La classification des groupes simples finis a ´ et´ e achev´ ee en 1981. C’est en fait un ensemble de travaux, com- prenant des dizaines de milliers de pages publi´ ees dans 500 articles par plus de 100 auteurs. Les groupes finis simples se r´ epartissent ainsi :

1. les groupes cycliques Z /p Z avec p premier ; 2. les groupes altern´ es A

pour n ≥ 5 ; 3. les groupes finis du type de Lie ;

4. les 26 groupes sporadiques, nomm´ es ainsi car ils ne correspondent pas ` a une r´ epartition en “familles”

coh´ erentes comme les autres.

Parmi les groupes sporadiques, citons comme exemple le Monstre (de Fischer), le plus gros des groupes spo- radiques, de cardinal :

2

× 3

× 5

× 7

× 11

× 13

× 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 41 × 47 × 59 × 71(' 8 × 10

...).

4 Groupes finis

4.1 Th´ eor` eme de Lagrange

Soit G un groupe fini, H un sous groupe de G. Faisons encore agir H sur G par translation ` a droite. Les orbites sont les classes ` a gauches [g] = gH , toutes de cardinal Card(H ) (h 7→ gh d´ efinissant une bijection de H sur gH). Puisqu’elles forment une partition de G, on obtient ainsi que :

Card(G) = X

[g]∈G/H

Card([g]) = X

[g]∈G/H

Card(H ) = Card(G/H)Card(H).

D’o` u le r´ esultat suivant.

Soit G un groupe fini. L’ordre de tout sous-groupe H de G divise l’ordre du groupe.

Th´ eor` eme 13 (Lagrange)

Remarque. L’entier Card(G/H) est appel´ e indice de H dans G, et not´ e [G : H]. On retiendra : Card(G) = [G : H] × Card(H ).

Par exemple, [S

: A

] = 2.

En appliquant le r´ esultat pr´ ec´ edent ` a H = hai pour a ∈ G, on obtient le

2siGest fini par exemple, ces groupes sont de cardinal plus petit comme on va le voir `a la section suivante.

Si G est fini d’ordre n, alors l’ordre de tout ´ el´ ement de G divise n. En particulier, tout ´ el´ ement a de G v´ erifie a

= e.

Th´ eor` eme 14

Comme application directe, on a la propri´ et´ e suivante.

Soit G un groupe d’ordre p premier. Alors G ' Z /p Z . Propri´ et´ e 15

Preuve. Soit a ∈ G, a 6= e. Alors l’ordre de a divise l’ordre de G, c’est ` a dire p. C’est donc 1 ou p. Comme a 6= e, l’ordre de a est donc p. On en d´ eduit donc que G = hai est cyclique d’ordre p, et par une proposition

pr´ ec´ edente que G ' Z /p Z .

4.2 Equation aux classes ´

Soit toujours G un groupe fini agissant sur un ensemble X lui aussi suppos´ e fini.

Pour tout x ∈ X , nous avons ´ etablit une bijection entre les ensembles G/G

et O

. On en d´ eduit une premi` ere

´

egalit´ e sur les cardinaux de ces ensembles :

Card (G/G

) = Card(O

), soit encore Card(G)

Card(G

) = Card(O

).

De plus puisque les orbites sous l’action de G forment une partition de X , on obtient : Card(X ) = X

x∈X/G

Card(O

) = X

x∈X/G

Card(G) Card(G

)

o` u X/G d´ esigne l’ensemble des orbites de l’action. On note en passant que si le sous-groupe G

d´ epend du choix de x dans son orbite, son ordre, lui, n’en d´ epend pas. Cette ´ egalit´ e est appel´ ee l’´ equation aux classes.

4.3 Application aux automorphismes int´ erieurs

Soit G un groupe fini. On applique l’´ equation aux classes dans le cas particulier de l’action de G sur lui-mˆ eme par conjugaison :

(G, G) → G, (g, x) 7→ g ∗ x ∗ g

. On obtient :

Card(G) = X

O

Card(O).

Or on a pour tout x ∈ G :

Card(O

) = 1 ⇔ ∀g ∈ G, g ∗ x = x ∗ g ⇔ x ∈ Z(G).

Et si Card(O

) > 1, alors on sait que Card(O

) = Card(G)

Card(G

) avec G

6= G, {e} car x / ∈ Z(G) et car {e, x} ⊂ G

. On en d´ eduit l’existence d’une famille finie (H

)

de sous-groupes stricts de G (i.e. neqG, {e}) telle que

Card(G) = X

Card(O)=1

Card(O) + X

Card(O)>1

Card(O)

= Card(Z(G)) + X

i∈I

Card(G) Card(H

) .

Ce r´ esultat est tr` es pr´ ecieux car il permet d’avoir des renseignements sur Card(Z(G)) connaissant la forme des

ordres des sous-groupes de G. Donnons ici une application ` a l’´ etude des p-groupes. Un p-groupe est un groupe

dont l’ordre est une puissance de p.

Le centre d’un p-groupe est non trivial.

Propri´ et´ e 16

Preuve. On utilise la formule obtenue pr´ ec´ edemment : il existe une famille finie (H

)

de sous-groupes stricts de Gtelle que

Card(G) = Card(Z(G)) + X

i∈I

Card(G) Card(H

) . Les entiers Card(G) et Card(G)

Card(H

) sont divisibles par p. Donc p divise Card(Z(G). Comme Card(Z(G)) ≥ 1,

on en d´ eduit que Z(G) n’est pas r´ eduit ` a {e}.

4.4 Formule de Burnside

On cherche ` a d´ enombrer le nombre d’orbites Card(X/G).

On a :

Card(X/G) = 1 Card(G)

X

g∈G

Card(X

) o` u X

= {x ∈ X, g · x = x}.

Th´ eor` eme 17 (Burnside)

Preuve. On va calculer de deux fa¸ con le cardinal de l’ensemble R = {(g, x), g · x = x}.

ˆ Si on fixe x ∈ X , on a Card(G

) possibilit´ es pour g, soit : Card(R) = X

x∈X

Card(G

).

On peut alors regrouper tous les x d’une mˆ eme orbite puisque leurs stabilisateurs ´ etant conjugu´ es, sont de mˆ eme cardinal. Cela donne :

Card(R) = X

[x]∈X/G

Card(G

) × Card(O

) = X

[x]∈X/G

Card(G

) Card(G)

Card(G

) = X

[x]∈X/G

Card(G)

= Card(X/G)Card(G).

ˆ Si on fixe ` a pr´ esent g ∈ G, alors on a Card(X

) possibilit´ es pour x, d’o` u : Card(R) = X

g∈G

Card(X

).

D’o` u le r´ esultat avec les deux formules obtenues.

Les exemples d’applications de cette formules sont nombreux, en particulier en d´ enombrement, par exemple dans les probl` emes de coloriage ou de colliers de perles.

Annexe. Relations d’´ equivalences

D´ efinition.

Soit E un ensemble. On appelle relation binaire R sur E la donn´ ee d’une partie

Γ ⊂ E × E = {(x, y) | x, y ∈ E}.

On dira qu’un ´ el´ ement x ∈ E est en relation avec un autre ´ el´ ement y ∈ E si (x, y) ∈ Γ. On notera alors xRy.

Exemple. Prenons Γ = {(x, x)/x ∈ E}. Alors xRy si et seulement si x = y.

D´ efinition.

Une relation d’´ equivalence sur un ensemble E est une relation binaire R sur E qui est :

ˆ r´ eflexive : ∀x ∈ E, xRx,

ˆ sym´ etrique : ∀x, y ∈ E, xRy ⇒ yRx,

ˆ transitive : ∀x, y, z ∈ E, xRy et yRz ⇒ xRz.

On appelle alors classe d’´ equivalence modulo R d’un ´ el´ ement x ∈ E, not´ ee x ou C

(x), la partie de E donn´ ee par :

x = C

(x) = {y ∈ E/yRx} ∈ P(E).

Les ´ el´ ements de C

(x) ∈ P(E) sont appel´ es les repr´ esentants de la classe de x.

On appelle ensemble quotient, et on note E/R, l’ensemble de toutes les classes d’´ equivalence : E/R = {Cl

(x) | x ∈ E} ⊂ P(E).

Exemples.

ˆ La relation binaire R d´ efinie pr´ ec´ edemment par xRy si et seulement si x = y, est une relation d’´ equivalence.

La classe d’´ equivalence d’un ´ el´ ement x de E est donn´ ee par le singleton {x}.

ˆ On d´ efinit la relation binaire “ˆ etre de la mˆ eme classe” sur l’ensemble des ´ etudiants de l’Universit´ e de Franche-Comt´ e. C’est une relation d’´ equivalence dont les classes d’´ equivalence sont param´ etr´ ees par le nom de chaque section.

ˆ On note − →

P l’ensemble des vecteurs du plan. On rappelle que deux vecteurs − → e

et − → e

sont colin´ eaires si et seulement s’il existe un r´ eel k tel que − → e

= k − → e

ou − → e

= k − → e

. La relation de colin´ earit´ e n’est pas une relation d’´ equivalence sur − →

P (elle est r´ eflexive et transitive, mais elle n’est pas sym´ etrique). Cependant la relation de colin´ earit´ e est bien une relation d’´ equivalence si on se restreint ` a l’ensemble − →

P \ { − → 0 } des vecteurs non nuls du plan. Les classes d’´ equivalences sont alors param´ etr´ ees par un angle θ ∈] − π/2, π/2].

ˆ On d´ efinit la relation binaire suivante sur M

( K ) :

M RN ⇔ ∃P, Q ∈ GL

( K ), M = P N Q

On v´ erifie que c’est une relation d’´ equivalence, dont les classes d’´ equivalences sont param´ etr´ ees par le rang des matrices r ∈ {0, . . . , n}.

ˆ Soit n ∈ N

. La relation de congruence modulo n est une relation d’´ equivalence. Il y a n classes d’´ equivalences distinctes, qui sont :

0, 1, · · · , n − 1 ∈ P( Z ) avec pour tout 0 ≤ p ≤ n − 1 :

p = {q ∈ Z | q ≡ p[n]} = {p + kn | k ∈ Z } = p + n Z .

Soit R une relation d’´ equivalence sur un ensemble E.

(1) x = y si et seulement si xRy.

(2) L’ensemble des classes d’´ equivalences constitue une partition de E, c’est ` a dire : (a) pour tout x ∈ E, x 6= ∅,

(b) pour tout x, y ∈ E tels que x 6= y, on a : x ∩ y = ∅, (c) E = [

x∈E

x.

Propri´ et´ e 18

Preuve.

(1) Supposons que x = y. Puisque R est r´ eflexive, on a x ∈ x = y. Ainsi x ∈ y et donc xRy par d´ efinition.

R´ eciproquement, on suppose que xRy. Montrons que x = y. On proc` ede par double inclusion : soit z ∈ x, on a zRx. Comme de plus xRy, on obtient par transitivit´ e de R que zRy. Ainsi z ∈ y et on a montr´ e que x ⊂ y. On montre de la mˆ eme mani` ere l’inclusion r´ eciproque.

(2) Tout d’abord puisque R est r´ eflexive, x ∈ x pour tout x ∈ E.

En particulier, x 6= ∅.

On obtient ´ egalement que x ∈ S

x∈E

x et donc que E = S

x∈E

x.

Reste ` a montrer le deuxi` eme point. On proc` ede par contraposition : supposons que x ∩ y 6= ∅ et soit z ∈ x ∩ y. Alors zRx et zRy. Par (1), on obtient donc :

x = z = y.

Prolongements possibles

On indique ici quelques th` emes d’´ etudes ´ eventuels pour approfondir les notions introduites dans ce cours.

ˆ Les th´ eor` emes de Sylow. Voir par exemple [2, 8, 6].

ˆ La simplicit´ e de A

pour n ≥ 5. Voir par exemple [2, 8, 9].

ˆ Produits direct et semi-direct de groupes. Voir par exemple [8].

ˆ Groupes d’isom´ etries des poly` edres r´ eguliers de l’espace. Groupes de frises. Sous-groupes finis des isom´ etries de l’espace. Voir par exemple [3, 6].

Cette liste est bien sˆ ur non exhaustive.

References

[1] Boucekkine, F. Introduction ` a la Th´ eorie des Groupes. Polycopi´ e, http://culturemath.ens.fr/.

[2] Calais, J. El´ ´ ements de th´ eorie des groupes. Cours et exercices.

[3] Caldero, P. Carnet de voyage en Alg´ ebrie. Exercices corrig´ es.

[4] Caldero, P. Groupes et Actions de groupes. Polycopi´ e, http://math.univ-lyon1.fr/ caldero/Agreginterne.html.

[5] Debeaumarch´ e, G. Manuel de Math´ ematiques, Volumes 2 et 4, Alg` ebre et g´ eom´ etrie. Cours et exercices.

[6] Francinou, S., Gianella, H. et Nicolas, S. Exercices de math´ ematiques, oraux x-ens. Exercices corrig´ es.

[7] Gourdon, X. Les maths en tˆ ete, Alg` ebre. R´ esum´ e de cours et exercices corrig´ es.

[8] Perrin, D. Cours d’alg` ebre. Cours et exercices.

[9] Tauvel, P. Alg` ebre pour l’agr´ egation interne. Cours.