Des extensions galoisiennes à groupes de Galois d’ordres plus grands que leurs degrés

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Des extensions galoisiennes à groupes de Galois d’ordres plus grands que leurs degrés

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Etant donnée une extension finieL/Kde corps commutatifs, il ebien connu que l’on a tou- jours|Aut_K(L)| ≤[L:K] et qu’il y a égalité si et seulement si l’extensionL/Kegaloisienne. Dans le cas non commutatif ce résultat n’eplus vrai en général. Nous allons donné ici des exemples de situations où |Gal(L/K)| >[L :K]. Pour le leeur non familisarisé avec la théorie des corps gauches, nous rappellerons enitaliqueles éléments importants de la théorie nécessaires à la bonne compréhension du texte.

(La notion d’extension galoisienne en toutes généralités eà considérer du point de vue artinien : une extension L/Ksera dite galoisienne si le corps des invariants deLpar le groupeAut_K(L)eégal au corpsK. Dans le cas non commutatif, la notion de groupe de Galois ereliée à celle de N-groupe : siLeun corps de centreC, on dit d’un groupe d’automorphismeGdeLque c’eun N-groupe si l’ensembleA={a∈L^∗/ I(a)∈G} ∪ {0}eun corps (ici I(a)désigne l’automorphisme intérieur deLassocié à l’élémenta). Le groupe de Galois d’une extension galoisienne L/K eun N-groupe, le corpsAassocié étant jue le centralisateur du corpsK dansL. On a réciproquement la proposition suivante, qui conitue un analogue du théorème d’Artin : soitGun N-groupe d’automorphismes deL, G₀={I(a)/ a∈A}le sous-groupe deGcomposé des automorphismes intérieurs etKle corps des invariants deLpar G. On a

[L:K]_g= [L:K]_d= [G:G₀][A:C]

(les degrés désignent les dimensions deLen tant queK-e.v gauche et droite) et lorsque ces dimensions sont finies, on aGal(L/K) =G. La quantité[G:G₀][A:C]eappelée "l’ordre réduit" deG. On dit d’une extension galoisienne qu’elle eintérieure (resp. extérieure), siG=G₀(resp.G₀= 1).)

Théorème.—SoitL/Kune extension galoisienne de groupe de GaloisGfini. On a[L:K]≤ |G|et [L:K] =|G| ⇐⇒L/Kextérieure

Si[L:K]<|G|alors le centreCdeLenécessairement un corps fini, disonsC=F_q, et il exie un entiern≥2tel que

n.|G|= qⁿ−1 q−1

! .[L:K] En particulier :

a) SiCeinfini, alorsL/Keextérieure et[L:K] =|G|.

b) Le sous-groupe deGconitué des automorphismes intérieurs eabélien.

Preuve : Soit G0 le sous-groupe deGcomposé des automorphismes intérieurs. PosonsA={a∈ L/ I(a)∈G0} ∪ {0}, il s’agit d’un sous-corps deL et l’on voit queG0'A^∗/C^∗. PuisqueGe fini, A^∗/C^∗l’eaussi et donc, il exie une famille finiea1,· · ·, an∈Ltelle que

A^∗=a1C^∗t · · · tanC^∗

On en déduit que, en tant queC-espace veoriel, le corpsAela réunion dendroites veo- rielles diines deux à deux. SiCeinfini, ceci n’epossible que sin= 1 et l’on a doncG0= 1, ce qui assure queL/Keextérieure et que [L:K] =|G|.



SiC=F_qalorsAeaussi un corps fini et il exie donc un entiern≥1 tel queA=F_qn. On a alors

[L:K] = (G:G₀).[A:C] = (|G|/|G₀|).[F_pn:F_p] =|G| q−1

qⁿ−1.n≤ |G|

On voit alors que, dans cette situation, l’égalité [L:K] =|G|équivaut àn= 1, c’e-à-direA=C ou encore G0 = 1 (i.e. L/K e extérieure). L’égalitén.|G| =_qn−1

q−1

.[L : K] découle de l’égalité précédente. Le a) eévident et le b) vient du fait que siG0,1, alorsG0s’identifie àF^∗

qⁿ/F^∗

q pour un certain entiern≥2.

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Il convient de remarquer que pour toutq=p^h≥2, puissance d’un nombre premier, et tout entiern≥1, il exie une extension galoisienne intérieureL/Kde groupe de Galois finiGtelle que

n.|G|= qⁿ−1 q−1

! .[L:K]

Considéronsα=f^hl’itéréeh-ième du frobénius dansF_qet le corps de fraions torduesK = F_q(T , α).

(Etant donné un corpsk et un automorphismeα dek, l’anneau de polynômes tordusk[T , α] edéfini comme l’ensemble des polynômesTⁿa_n+· · ·+a₀muni du produit qui vérifieaT =T α(a). Cet anneau possède un corps de fraions :k(T , α). Tout élément de ce corps peut s’écrire sous la formeP Q⁻¹oùP etQsont deux polynômes.)

Le centreC deK eégal àF_q: considéronsR=P Q⁻¹ un élément non nul deC avecP etQ des polynômes. Par centralité, on a QR=RQ, ce qui implique queP Q =QP et, par suite, que P Q⁻¹ =Q⁻¹P. On a donc, pour tout x∈F_q, xP Q⁻¹ =P Q⁻¹x=Q⁻¹P x et doncP xQ =QxP. Si P(T) =Tⁿa_n+· · ·+a₀etQ(T) =T^mb_m+· · ·+b₀, on voit alors en regardant le terme de degrén+m des produits queα^m(a_n)α^m(x)b_m=αⁿ(b_m)αⁿ(x)a_n. On en déduit que, pour toutt∈F_q, on a

α^m−n(t) =

α^m(a⁻_n¹)αⁿ(bm) t

anb_m⁻¹

Ainsi,α^m−neun automorphisme intérieur etα^m(a⁻_n¹)αⁿ(bm) =bma⁻_n¹. Puisqueαed’ordre infini et queF_qecommutatif, aucune des puissances non nulles deα n’eintérieure. On en déduit donc quen=met qu’il exieλ∈F^∗

q^m tel quebm=λam.

Pour 0≤d≤m−1, le terme de degrém+ddeP xQ−QxP vaut X

i+j=m+d

α^j(x)h

α^j(a_i)b_j−α^j(b_i)a_ji

=

m

X

j=d

α^j(x)h

α^j(a_m+d−j)b_j−α^j(b_m+d−j)a_ji

Le lemme de Dedekind assure alors que chaque terme de cette somme enul et donc, en prenant j=m, on en déduit queα^m(a_d)b_m=α^m(b_d)a_m. Ceci prouve queb_d=λa_det finalement queP Q⁻¹= λ∈F_qm. On vient donc de montrer queC⊂F_q, mais les seuls éléments deF_qqui commutent avec T sont les éléments deF_q, ceci montre finalement queC=F_q.

Considérons maintenant un entiern≥1 et posons G0={I(a)/ a∈F_qn}

Ce groupe eunN-groupe d’automorphismes deK. En effet, siR₀∈A^∗={R∈K/ I(R)∈G₀}alors il exiea∈F_qn tel queI(R₀) =I(a) et donc il exieλ∈C=F_qtel queR₀=λa∈F_qn. Ceci montre aussi que le corpsAassocié auN-groupeG₀vautA=A^∗∪ {0}=F_qn.



Si l’on note D₀ le corps des invariants deK par G₀, d’après la généralisation du théorème d’Artin, l’extensionK/D₀egaloisienne (intérieure) de groupe de GaloisG₀et l’on a

[K:D₀] = (G₀:G₀)[A:C] = [F_qn:F_q] =n

Le groupe de Galois G0 étant isomorphe àA^∗/C^∗, il e cyclique et compte (qⁿ−1)/(q−1)> n éléments, ce qui donne donc un exemple d’extension galoisienne à groupe fini d’ordreriement plus grand que le degré de l’extension.

En peut voir qu’en fait

D₀=F_q(Tⁿ, αⁿ)

Il edéjà clair queTⁿétant invariant sous l’aion deG₀, on a On aF_q(Tⁿ, αⁿ)⊂D₀. Pour voir l’inclusion réciproque, établissons préalablement un lemme :

Lemme.—Pour tout polynômeP ∈F_q[T , α]de degrém, il exie un polynômeP0∈F_q[T , α]non nul de degréh≤(n−1)mtel queP(T)P0(T)∈F_q[Tⁿ, αⁿ].

Preuve :Posons formellement

P(T) =T^mam+· · ·+a0

P0(T) =T^hbh+· · ·+b0

on a alors

P(T)P₀(T) = Xnm

d=0

T^d







 Xd

i=0

αⁱ(a_d−j)b_j









Pour toutd= 0,· · ·, nm, considérons l’équation

(E_d) Xd

i=0

αⁱ(a_d−j)x_j= 0

Le polynômeP₀(T) vérifie le lemme si et seulement si le (h+ 1)-uplet (b₀,· · ·, b_h) esolution du syème d’équations {(E_d)}

0≤d≤nm, n-d. Ce syème e un syème linéaire de nm+ 1−(m+ 1) = (n−1)m=héquations àh+ 1 indéterminéesb0,· · ·, bh, il possède donc une solution non triviale, ce qui achève la preuve.

——–

Considérons maintenant une fraionR(T) =P(T)Q(T)⁻¹∈F_q(T , α) et, grâce au lemme, prenons Q0∈F_q[T , α] tel queQ(T)Q0(T) =H(Tⁿ) pour un certainH∈F_q[T , α]. On a alors

P(T)Q(T)⁻¹=P(T)Q₀(T)Q₀(T)⁻¹Q(T)⁻¹=P(T)Q₀(T)(Q(T)Q₀(T))⁻¹=A(T)H(Tⁿ)⁻¹ avecA(T) =P(T)Q0(T)∈F_q[T , α]. On a alorsR(T)∈ D0 ⇐⇒A(T)∈ D0, mais il e très facile de voir que A(T)∈ D₀ si et seulement siA(T)∈ F_q[Tⁿ, α], ce qui prouve finalement queD₀ ⊂ F_q(Tⁿ, αⁿ).

Analogue commutatif.— On considère maintenant l’automorphisme trivialα =Id, si bien que F_q(T , α) s’identifie au corps classiqueF_q(T) des fraions rationnelles à coefficients dansF_q. On suppose ici que (n, q) = 1, l’extensionF_q(T)/F_q(Tⁿ) ealors galoisienne de groupeµ_n(F_q)⊂F

q^ϕ(n). On voit alors que dans les deux situationsα=Id, f^h, les élémentsσ du groupe de Galois de l’extension de degrén,F_q(T , α)/F_q(Tⁿ, αⁿ), sont donnés par les formules

σ(T) =T a

σ(x) =xpour toutx∈F_q



avec

•siα=Id,a∈µn(F_q),

•siα=f^h,a∈F^∗

qⁿ/F_q^∗.

Ainsi, "tordre" l’extension usuelleF_q(T)/F_q(Tⁿ) par le frobenius ne change pas son degré mais fait grossir son groupe de Galois.

Dans la formule du théorème l’entier_qⁿ−1 q−1

représente l’ordre du sous-groupe des automor- phismes intérieurs. Dans notre exemple l’extension étant intérieure, on a

|G| = qⁿ−1 q−1

!

[L:K] = n

On peut faire "grossir"G(et donc [L:K]) en "rajoutant" des automorphismes extérieurs. Ceci peut être fait de manière arbitraire en utilisant un analogue non commutatif de la méthode de Noether : considérons un groupeΓ d’ordrem, regardé comme étant plongé dansS_m. On définit alors les corps

K1=F_q(X₁, α) K₂=K₁(X₂, I(X₁)) K₃=K₂(X₃, I(X₂⁻¹))

· · ·

F_q(X₁,· · ·, X_m, α) =K_m−1(X_m, I(X_m⁽⁻−¹⁾1^m))

Les éléments deL=F_q(X₁,· · ·, X_m, α) sont des rapports de polynômes XXm^km· · ·X₁^k1λ_km,···,k₁

XXm^km· · ·X₁^k1µ_km,···,k₁

⁻1

DansL, on aX_iX_j=X_jX_i pour tout (i, j) et, pour touta∈k, on a aXm^km· · ·X₁^k1=Xm^km· · ·X₁^k1α^km+···+k1(a)

Le groupe symétrique S_m agît sur F_q(X₁,· · ·, X_m, α) par permutation des variables. En effet, si σ∈S_m, alors on a

σ(Xm^km· · ·X₁^k1a.Xm^lm· · ·X₁^l1b) = σ(Xm^km+lm· · ·X₁^k1+l1α^l1+···+lm(a)b)

= X_σ(m)^km+lm· · ·X_σ(1)^k1+l1α^l1+···+lm(a)b

= Xm^{kσ−1(m)+lσ−1(m)}· · ·X₁^{kσ−1(1)+lσ−1(1)}α^{lσ−1(1)+···+lσ−1(m)}(a)b

= X^kσ

−1(m)

m · · ·X^kσ

−1(1)

1 aX^lσ

−1(m)

m · · ·X^lσ

−1(1)

1 b

= σ(Xm^km· · ·X₁^k1a).σ(Xm^lm· · ·X₁^l1b)

Puisqueσ agît trivialement surF_q, on voit queσcommute avecI(a) pour touta∈F^∗

qⁿ, si bien que le groupe d’automorphismes engendré parΓ etG₀={I(a)/ a∈F^∗

qⁿ}s’identifie àG=Γ×G₀.

Maintenant, aucun élément non trivial deΓ n’e intérieur. En effet, considéronsσ e une permutation non triviale, disons par exemple σ(X1) = X2. S’il exiait R∈ L telle queσ(X1) = I(R)(X1) on auraitX1R=RX2. On peut considérerRcomme une fraion rationnelle de la variable X1et à coefficients dansF_q(X2,· · ·, Xm, α), et donc, on aurait

d_X^◦₁(R) + 1 =d_X^◦₁(X1R) =d_X^◦₁(RX2) =d_X^◦₁R



ce qui eabsurde.

Comme dans l’exemple précédent, on voit queG e un N-groupe fini et, si l’on noteK le corps des invariants deLpar l’aion deG, alorsL/K egaloisienne de groupeG. Le centre de L eégal à F_q (puisque le centre deK1 edéjà égal F_q). En reprenant le même argument que précédemment, on en déduit que

|G| = qⁿ−1 q−1

! .m [L:K] = n.m

