———————————— Des extensions de groupes ————————————

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Des extensions de groupes

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Bruno Deschamps

Le Mans — 

à Juillet l’universelle

et à Oobre, pleine d’espoir...



Table des matières

 Cohomologie des groupes 

. Généralités . . . 

 Extensions de groupes 

. Généralités . . . 

. Cas des extensions à noyau abélien . . . 

. Cas général . . . 

.. Obruion . . . 

.. Classification . . . 

. Chaque élément deH_Φ³(G, C) représente une obruion . . . 



 Cohomologie des groupes

 .  Généralités

O

ⁿconsidère un groupeG, un groupe abélienAet une aion à gauche ϕ deGsurA. On notera dans la suitea^g l’aion deg∈Gsura∈A.

Etant donné un entiern≥0, on appellen-cochaîne deGà valeurs dans Arelativement à l’aionϕ (ou plus simplement n-cochaîne) toute application f :Gⁿ −→A. L’ensemble des n-cochaînes sera notéCⁿ(G, A), cet ensemble a uneruure naturelle de groupe abélien.

On définit alors une application dite decobordd_n:Cⁿ(G, A)−→Cⁿ⁺¹(G, A) de la manière suivante : pourf ∈Cⁿ(G, A) etg₁,· · ·, g_n+1∈Gⁿ⁺¹, on pose

d_n(f)(g₁,· · ·, g_n+1) = f(g2,· · ·, gn+1)^g1+

Xn

i=1

(−1)ⁱf(g1,· · ·, gigi+1,· · ·, gn+1) + (−1)ⁿ⁺¹f(g1,· · ·, gn) On conate que l’application de cobord e un morphisme de groupes et en rajoutant le groupe trivial, on obtient une suite

0 ^d−1//C⁰(G, A) ^d0 //C¹(G, A) ^d1 //· · ·

On appellen-cocycletout élément de ker(d_n) etn-cobordtout élement de Im(d_n−1).

Exemple.—(basses dimensions).

n= 0. Les cochaînes s’assimilent aux éléments deA. Il y a un seul 0-cobord qui ela conante nulle et les 0-cocycles sont les éléments dea∈Atel que pour toutg∈G,a^g =a. Ainsi l’ensemble des 0-cocycles eA^G.

n= 1. Les 1-cobords sont les applications de la formeg7−→a^g−a(oug7−→a^ga⁻¹ en notations multiplicatives) aveca∈A. Les 1-cocycles sont les applicationsf qui vérifient pour toutg₁, g₂∈G,

f(g1g2) =f(g2)^g1+f(g1)

(ouf(g₁g₂) =f(g₂)^g1f(g₁) en notations multiplicatives). De telles applications s’appellent aussi deshomomorphismes croisés.

n= 2. Les 2-cobords sont les applications de la forme (g1, g2) 7−→f(g2)^g1− f(g1g2) +f(g1) (ou (g1, g2)7−→ f(g2)^g1f(g1g2)⁻¹f(g1) en notations multiplica- tives) avecf ∈C¹(G, A). Les 2-cocycles sont les applicationsf qui vérifient pour toutg1, g2, g3∈G,

f(g₂, g₃)^g1+f(g₁, g₂g₃) =f(g₁g₂, g₃) +f(g₁, g₂)

(ouf(g₂, g₃)^g1f(g₁, g₂g₃) =f(g₁g₂, g₃)f(g₁, g₂) en notations multiplicatives). De telles applications s’appellent aussi dessyèmes de faeurs.

Théorème.—Pour toutn≥0, on ad_n◦d_n−1= 0.



Preuve :

——–

 Extensions de groupes

. Généralités

É

^tantdonnés deux groupesN etG, on appelleextension deN parGtoute suite exae de groupes de la forme :

1 //N ^h //Γ ^f //G //1

Il exie une notion "d’isomorphisme" relative à la notion d’extensions : deux extensions deN parG

1 //N ^h0 //Γ₀ ^f0 //G //1 1 //N ^h1 //Γ₁ ^f1 //G //1

seront dites équivalentess’il exie un isomorphisme ψ : Γ₀ −→ Γ₁ tel que le diagramme suivant

Γ₀

f₀

?

??

??

??

ψ

1 //N

h@₁@@@@@

@

h₀??

 G //1

Γ₁

f₁

??







soit commutatif. La relation "être équivalentes" evisiblement d’équivalence sur l’ensemble des extensions deN parG. Les classes d’équivalence pour cette relation, sont appelées les classes d’extensions deN parG. Une queion im- portante de la théorie des groupes consie à décrire les classes d’extensions d’un groupe par un autre. Nous allons voir que l’outil cohomologique epré- cieux pour cette description.

Etant donné

1 //N ^h //Γ ^f //G //1

une extension deN par G, le fait queh(N) soit diingué dansGpermet de définir une aionΦdeΓ surN par

Φ: Γ −→ Aut(N)

g −→ Φ_g: x7−→h⁻¹(gh(x)g⁻¹)



L’image parΦ du sous-groupeh(N) eexaement le sous-groupe Int(N) des automorphismes intérieurs deN et d’après ???,Φ permet ainsi de définir par passage au quotient un morphismeeΦ:Γ/h(N)−→Aut(N)/Int(N). On en dé- duit,viaf, l’exience d’un morphisme bΦ:G−→Out(N). On a ainsi le dia- gramme commutatif suivant

N

h

//Int(N)

G

' ω??????

??

Φb=eΦ◦ω

::

Γ

oo f

Φ //Aut(N)

Γ

h(N)

Φe //Out(N)

Définitions.—/ Etant donnés deux groupesNetG, on appelle aion extérieure deGsurN tout morphisme deGdansOut(N).

/ Etant donnée 1 //N ^h //Γ ^f //G //1 une extension deN parG, l’aion extérieurebΦdeGsurN définie précédemment s’appelle l’aion extérieure relative à l’extension, on dit alors que l’extension e une extension deN par G relative àbΦ.

Considérons une extension deN parGrelative à une aion extérieureΦ,b 1 //N //Γ₀ ^f //G

s

cc //1

etsune seion ensemblie def (i.e. pour toutg∈G,f ◦s(g) =g). Pour tout g∈G, on pose

Ψ_g: N −→ N

x 7−→ h⁻¹

s(g)h(x)s(g)⁻¹

Ceci permet de définir une applicationΨ :G−→Aut(N), dont on noteraΨb l’image dans Out(N).

Proposition.—Avec les notation précédentes, on aΨb=bΦ. En particulier, pour une extension 1 //N ^h //Γ ^f //G //1 donnée, son aion extérieure relative eentièrement déterminée par le choix (arbitraire) d’une seion ensemb- liesdef.



Preuve :Comme le diagramme suivant

G

s ""

ω??????

?? Γ

f

oo

π

Φ //Aut(N)

θ

Γ h(N)

Φe //Out(N) ecommutatif, on a

Ψb=θ◦Φ◦s=Φe◦π◦s=Φe◦ω◦f ◦s=Φe◦ω=Φb

——–

Corollaire.—Si deux extensions sont équivalentes, alors leurs aions extérieures relatives sont égales.

Preuve :Considérons deux extensions équivalentes Γ₀

f?₀?????

?

ψ

1 //N

h@₁@@@@@

@

h₀??

 G

s₁

ww

s₀

gg //1

Γ₁

f₁??



ψétant un isomorphisme qui fait commuter le diagramme ets0(resp. s1) une seion ensemblie def0(resp.f₁). Soitg∈G, commef0◦ψ⁻¹◦s1(g) =g, on en déduit qu’il exieλ∈N tel que

ψ⁻¹(s₁(g)) =s₀(g)h₀(λ) Ainsi, six∈N alors

h⁻₁¹(s₁(g)h₁(x)s₁(g)⁻¹) = h⁻₀¹◦ψ⁻¹(s₁(g)ψ(h₀(x))s₁(g)⁻¹)

= h⁻₀¹(s0(g)h0(λ)h0(x)h0(λ⁻¹)s0(g)⁻¹)

= h⁻₀¹(s₀(g)h₀(λxλ⁻¹)s₀(g)⁻¹)

Ainsi l’image deg dans Aut(N) relativement às₀différe de celle relativement às₁de l’automorphisme intérieurx7→λxλ⁻¹. Leurs images dans Out(N) sont donc égales.

——–

Remarque.—/ On fera bien attention au fait que la notion d’extension ne dépend pas uniquement du groupe, mais bien de la suite exae en entier. Par exemple, les suites exaes

1 //Z/3Z ^×1 //Z/9Z //Z/3Z //1



1 //Z/3Z ^×2 //Z/9Z //Z/3Z //1

sont des extensions deZ/3Zpar lui-même relativement à la même aion ex- terieure, elles ont toutes deux même groupe et pourtant elles ne sont pas équiv- alentes.

/QuandN eabélien, Int(N) etrivial et donc Out(N) se confond à Aut(N).

Dans cette situation, les aions extérieures sont donc exaement les aions.

/ Si l’on noteCle centre deN alors toute aion extérieure deGsurN induit une aion surC. En effet, puisqueC eun sous-groupe caraériique de N (voir ???), on a donc un morphisme (de reriion) Aut(N)−→Aut(C). Il eévident que Int(N) einclus dans le noyau de ce morphisme, on en déduit d’après ??? l’exience d’un morphisme Out(N)−→Aut(C) qui, composé avec l’aion extérieure, donne une aion deGsurC. De manière pratique, cette aion ce décrit par le choix arbitraire d’une seionS:

Int(N)

Aut(N) ^r //

Aut(C)

G ^bΦ//Out(N)

S

UU

L’aionϕdeGsurCinduite parΦbealors égale àϕ=r◦S◦Φ.b

La problématique que nous allons tenter de résoudre dans les paragraphes ci-dessous e la suivante : étant donné N et G et une aion extérieureΦ,b exie-t-il des extensions deN parGd’aion extérieure relative égale àbΦet, le cas échéant, peut-on décrire ces extensions à équivalence près? Nous noterons dans la suite Ext_bΦ(N , G) l’ensemble des classes d’extensions deN parGrela- tivement àΦb. Nous allons voir que lorsque Ext_bΦ(N , G) enon vide, cet ensem- ble eparamétré parH²(G, C) oùCele centre deN(l’aion considérée étant celle induite parbΦsurC). Nous verrons aussi que l’obruion à l’exience d’une extension se lit dansH³(G, C).

 .  Cas des extensions à noyau abélien

O

ⁿconsidère ici un groupeGde neutree et un groupe abélienN. On se donne une aion exterieureϕ, c’e-à-dire ici tout simplement une aion (remarque-) deGsurN et on s’intéresse à Extϕ(N , G). Re- marquons préalablement que cet ensemble n’ejamais vide puisque la suite exae

1 //N //G×_ϕN //G //1

oùG×_ϕN désigne le produit semi-diredeN parGrelativement àϕebien une extension deN parGrelativement à l’aionϕ.



Considérons une extension deN parGrelativement àϕ, 1 //N //Γ₀ ^f //G

s

cc //1

et sune seion ensemblie de f. Afin de ne pas alourdir les notations on confondra quand c’e possibleN avec son image dans Γ₀. On notera, pour g ∈ G et x∈ N, x^g =ϕ(g)(x). Ainsi, d’après le paragraphe précédent, on a x^g=s(g)xs(g)⁻¹.

Pour toutg, g⁰∈G, les élémentss(gg⁰) ets(g)s(g⁰) sont dans la même classe moduloN. Il exie donc un uniquet(g, g⁰)∈N tel que

s(gg⁰) =t(g, g⁰)s(g)s(g⁰)

Ceci permet de définir une applicationt:G×G−→N (relative au choix des).

Proposition.—/ L’applicationtprécédemment définie eun2-cocycle, c’ele 2-cocycle associéà la seions.

/ Sit(resp.t⁰) ele2-cocycle associé à une seions(resp.s⁰) de l’extension, alors tett⁰diffèrent d’un cobord. Ainsi, on peut associer de manière naturel à l’extension un élement deH_ϕ²(G, N).

/ Si deux extensions de N par G sont équivalentes alors les deux éléments de H_ϕ²(G, N)associés à chacune de ces deux extensions sont égaux.

Preuve :/ Si l’on applique l’associativité du produit dansGau trois éléments g, g⁰, g⁰⁰ ∈Gon trouve séparément

s((gg⁰)g⁰⁰) = t(gg⁰, g⁰⁰)s(gg⁰)s(g⁰⁰)

= t(gg⁰, g⁰⁰)t(g, g⁰)s(g)s(g⁰)s(g⁰⁰) et s(g(g⁰g⁰⁰)) = t(g, g⁰g⁰⁰)s(g)s(g⁰g⁰⁰)

= t(g, g⁰g⁰⁰)s(g)t(g⁰, g⁰⁰)s(g⁰)s(g⁰⁰)

= t(g, g⁰g⁰⁰)s(g)t(g⁰, g⁰⁰)s(g)⁻¹s(g)s(g⁰)s(g⁰⁰)

= t(g, g⁰g⁰⁰)t(g⁰, g⁰⁰)^gs(g)s(g⁰)s(g⁰⁰) On en déduit que pour toutg, g⁰, g⁰⁰ ∈G

t(gg⁰, g⁰⁰)t(g, g⁰) =t(g, g⁰g⁰⁰)t(g⁰, g⁰⁰)^g ce qui montre queteun 2-cocycle.

/ Commesets⁰ sont des seions def, il exie une applicationh₀:G−→N tel que pour toutg∈G,

s⁰(g) =h₀(g)s(g)



Par ailleurs, pour toutg, g⁰∈G, on a s⁰(gg⁰) = h₀(gg⁰)s(gg⁰)

= h₀(gg⁰)t(g, g⁰)s(g)s(g⁰)

= h0(gg⁰)t(g, g⁰)h0(g)⁻¹s⁰(g)h0(g⁰)⁻¹s⁰(g⁰)

= t(g, g⁰)h₀(gg⁰)h₀(g)⁻¹(h₀(g⁰)⁻¹)^gs⁰(g)s⁰(g⁰)

et commes⁰(gg⁰) =t⁰(g, g⁰)s⁰(g)s⁰(g⁰) on en déduit que pour toutg, g⁰∈G, on a t(g, g⁰)t⁰(g, g⁰)⁻¹=h0(g)h0(gg⁰)⁻¹h0(g⁰)^g

qui el’expression d’un 2-cobord. Ainsi,tett⁰ diffèrent d’un 2-cobord, leurs classes dansH_ϕ²(G, N) sont donc égales.

/ Considérons deux extensions équivalentes Γ₀

f?₀?????

?

ψ

1 //N

@

@@

@@

@@

??







 G

s₁

ww

s₀

gg //1

Γ₁

f₁??



ψétant un isomorphisme qui fait commuter le diagramme ets0(resp. s1) une seion ensemblie def₀ (resp.f₁). On considèret₀ (resp. t₁) le 2-cocycle as- socié às₀ (resp. s₁). Pour toutg, g⁰∈Gon as₀(gg⁰) =t₀(g, g⁰)s₀(g)s₀(g⁰) et par suite, en composant parψ,

ψ◦s0(gg⁰) =t0(g, g⁰)ψ◦s0(g)ψ◦s0(g⁰)

Puisqueψe un isomorphisme faisant commuter le diagrammme,ψ◦s₀ e une autre seion def1. l’égalité prédédente assure que son 2-cocycle associé e t0. D’après le /, t0 et t1 diffèrent d’un 2-cobord et définissent donc un même élément dansH_ϕ²(G, N).

——–

La proposition précédente montre donc qu’à une classe d’extensions deN parGdonnée on peut associer de manière naturelle un élément deH_ϕ²(G, N).

Ainsi, il exie une application naturelle

Θ: Ext_ϕ(G, N)−→H_ϕ²(G, N) Théorème.—L’applicationΘeune bijeion.

Preuve : Surjeivité de Θ : Soit t un 2-cocycle. Sur le produit cartésien (d’ensembles)Γ =N×G, on considère la loi de composition∗suivante : pour tout (x, g),(x⁰, g⁰)∈Γ, on pose

(x, g)∗(x⁰, g⁰) = (xx^0gt(g, g⁰)⁻¹, gg⁰) ()



Muni de la loi∗,Γ eun groupe. En effet :

•Associativité de∗: soient (x, g),(x⁰, g⁰),(x⁰⁰, g⁰⁰)∈Γ, on a d’une part (x, g)∗(x⁰, g⁰)

∗(x⁰⁰, g⁰⁰) = (xx^0gt(g, g⁰)⁻¹, gg⁰)∗(x⁰⁰, g⁰⁰)

= (xx^0gx^00gg

0

t(g, g⁰)⁻¹t(gg⁰, g⁰⁰)⁻¹, gg⁰g⁰⁰) et d’autre part

(x, g)∗

(x⁰, g⁰)∗(x⁰⁰, g⁰⁰)

= (x, g)∗(x⁰x^00g

0

t(g⁰, g⁰⁰)⁻¹, g⁰g⁰⁰)

= (xx^0gx^00gg

0

t(g⁰, g⁰⁰)^−1gt(g, g⁰g⁰⁰)⁻¹, gg⁰g⁰⁰) Commeteun 2-cocycle, on at(g⁰, g⁰⁰)^gt(g, g⁰g⁰⁰) =t(g, g⁰)t(gg⁰, g⁰⁰) et donc il y a égalité des deux quantités considérées. La loi∗ebien associative.

•(t(e, e), e) eun neutre bilatère pour∗. En effet, remarquons pour commencer que commeteun 2-cocycle, on a pour toutg∈G

t(g, e)t(g, e) =t(g, e)t(e, e)^g

(choix deg⁰=g⁰⁰ =edans la relation qui définit un 2-cocycles) t(e, g)t(e, e) =t(e, g)t(e, g)

(choix deg=g⁰=eet “g⁰⁰=g”) c’e-à-dire que pour toutg∈G,

( t(g, e) =t(e, e)^g t(e, g) =t(e, e) Donc, pour tout (x, g)∈Γ, on a

(x, g)∗(t(e, e), e) = (xt(e, e)^gt(g, e)⁻¹, g)

= (xt(g, e)t(g, e)⁻¹, g)

= (x, g) et

(t(e, e), e)∗(x, g) = (t(e, e)t(e, g)⁻¹, g) = (x, g)

•Inversibilité : soit (x, g)∈Γ, on a (x, g)∗

x⁻¹t(g, g⁻¹)t(e, e)g⁻¹

, g⁻¹

!

= (t(e, e), e) Ainsi (x, g) einversible pour∗et

(x, g)⁻¹=

x⁻¹t(g, g⁻¹)t(e, e)g⁻¹

, g⁻¹

!



Ainsi (Γ,∗) ebien un groupe. Maintenant l’application de projeion

f : Γ −→ G

(x, g) 7−→ g

evisiblement un épimorphisme de groupes et son noyau vaut ker(f) ={(x, e)/ x∈N}

Considérons l’application

λ: N −→ ker(f) x 7−→ (xt(e, e), e) qui evisiblement une bijeion. Pourx, y∈N on a

λ(x)∗λ(y) = (xt(e, e), e)∗(yt(e, e), e)

= (xt(e, e)yt(e, e)t(e, e)⁻¹, e)

= (xyt(e, e), e)

= λ(xy)

ainsiλeun isomorphisme, et donc on a la suite exae 1 //N ^λ //Γ ^f //G //1

Nous allons montrer que cette suite exae eune extension deNparGet que son image dansH_ϕ²(G, N) parΘa pour représentantt. Ceci prouvera bien la surjeivité deΘ. A cet effet, considérons la seionsdef suivante :

s: G −→ Γ

g 7−→ (t(e, e), g) Pour toutx∈N et toutg∈G, on a

s(g)∗λ(x)∗s(g)⁻¹ = (t(e, e), g)∗(xt(e, e), e)∗(t(g, g⁻¹)^g−1, g⁻¹)

= (t(e, e)x^gt(e, e)^gt(g, e)⁻¹, g)∗(t(g, g⁻¹)^g−1, g⁻¹)

= (t(e, e)x^gt(g, e)t(g, e)⁻¹, g)∗(t(g, g⁻¹)^g−1, g⁻¹)

= (t(e, e)x^g, g)∗(t(g, g⁻¹)^g−1, g⁻¹)

= (t(e, e)x^gt(g, g⁻¹)t(g, g⁻¹)⁻¹, e)

= (t(e, e)x^g, e)

Ainsi, on aλ⁻¹(s(g)∗λ(x)∗s(g)⁻¹) =x^get donc l’aion deGsurN induite par la suite exae ebien égale àϕ. Nous sommes bien en présence d’une extension.

Considérons maintenant le 2-cocyclet₀ associé à la seions. Par défini- tion, pour toutg, g⁰∈G, on a

s(gg⁰) =λ(t₀(g, g⁰))∗s(g)∗s(g⁰) = (t₀(g, g⁰)t(e, e), e)∗s(g)∗s(g⁰)



Par ailleurs, on a

s(gg⁰)∗s(g⁰)⁻¹∗s(g)⁻¹ = (t(e, e), gg⁰)∗(t(g⁰, g⁰⁻¹)^g

0 −1

, g⁰⁻¹)∗(t(g, g⁻¹)^g−1, g⁻¹)

= (t(e, e)t(g⁰, g⁰⁻¹)^gt(gg⁰, g⁰⁻¹)⁻¹, g)∗(t(g, g⁻¹)^g−1, g⁻¹)

= (t(e, e)t(g⁰, g⁰⁻¹)^gt(gg⁰, g⁰⁻¹)⁻¹t(g, g⁻¹)t(g, g⁻¹)⁻¹, e)

= (t(e, e)t(g⁰, g⁰⁻¹)^gt(gg⁰, g⁰⁻¹)⁻¹, e) Commeteun 2-cocycle, on a

t(g⁰, g⁰⁻¹)^gt(gg⁰, g⁰⁻¹)⁻¹=t(g, g⁰)t(g, e)⁻¹ et donc

s(gg⁰)∗s(g⁰)⁻¹∗s(g)⁻¹= (t(g, g⁰)t(e, e)^−1gt(e, e), e) On en déduit que pour toutg, g⁰∈G,

t(g, g⁰)t0(g, g⁰)⁻¹=t(e, e)^g

Considérons l’applicationh₀:G−→N définie pourx∈Gparh₀(x) =t(e, e).

Pourg, g⁰∈Gon a

h₀(g)h₀(gg⁰)⁻¹h₀(g⁰)^g =t(e, e)^g

On en déduit que (g, g⁰)7−→ t(e, e)^g e un 2-cobord et donct0 et t, différant d’un 2-cobord, définissent un même élément deH_ϕ²(G, N). L’applicationΘe bien surjeive.

Injeivité deΘ: on considère

1 //N ^λ0 //Γ₀ ^f0 //G

s₀

cc //1

1 //N ^λ1 //Γ₁ ^f1 //G

s₁

cc //1

deux extensions deN par G dont les classes ont même image parΘ. Nous allons montrer que ces deux extensions sont équivalentes, ce qui prouvera l’injeivité de la fonionΘ.

Fixonss₀ ets₁des seions def₀et f₁ et notonst₀ ett₁ les 2-cocycles as- sociés às₀ets₁. Par hypothèse,t₀ett₁diffèrent d’un 2-cobord :t⁻₀¹=ut⁻₁¹où u:G×G−→N etelle qu’il exieω:G7−→N vérifiant pour toutg, g⁰∈G,

u(g, g⁰) =ω(g)ω(gg⁰)⁻¹ω(g⁰)^g

Pour toutγ₀ ∈ Γ₀ il exie un uniqueg ∈G et un uniquex∈N tels que γ₀=λ₀(x)s₀(g). On définit alors

ψ(γ₀) =λ₁(xω(g))s₁(g)



ce qui fait deψ une application bijeive deΓ₀surΓ₁. Soitγ₀ =λ₀(x)s₀(g) et γ₀⁰ =λ₀(x⁰)s₀(g⁰) deux éléments deΓ₀. On a

γ₀γ₀⁰ = λ₀(x)s₀(g)λ₀(x⁰)s₀(g⁰)

= λ₀(x)λ₀(x^0g)s₀(g)s₀(g⁰)

= λ₀(x)λ₀(x^0g)λ₀(g, g⁰)⁻¹s₀(gg⁰)

= λ0(x)λ0(x^0g)λ0(t0(g, g⁰)⁻¹)s0(gg⁰)

= λ0(xx^0gt0(g, g⁰)⁻¹)s0(gg⁰) et donc

ψ(γ0γ₀⁰) = λ1(xx^0gt0(g, g⁰)⁻¹ω(gg⁰))s1(gg⁰)

= λ₁(xx^0gt₁(g, g⁰)⁻¹ω(g)ω(g⁰)^g)s₁(gg⁰)

= λ₁(xω(g))λ₁(x^0gω(g⁰)^g)λ₁(t₁(g, g⁰)⁻¹)s₁(gg⁰)

= λ1(xω(g))λ₁(x^0gω(g⁰)^g)s₁(g)s₁(g⁰)

= λ₁(xω(g))s₁(g)λ₁(x⁰ω(g⁰))s₁(g⁰)

= ψ(γ0)ψ(γ₀⁰)

Ainsiψeun isomomorphisme. Il ree à vérifier que le diagramme Γ₀

f₀

?

??

??

??

ψ

1 //N

λ@₁@@@@@

@

λ₀??

 G //1

Γ₁

f₁

??







ebien commutatif. Commençons par remarquer que puisque s0(e) =s0(ee) =λ0(t0(e, e))s0(e)s0(e)

on as0(e) =λ0(t0(e, e)⁻¹) et, de même, s1(e) =λ1(t1(e, e)⁻¹). Par ailleurs, on a t0(e, e)⁻¹=u(e, e)t1(e, e)⁻¹et commeu(e, e) =ω(e), on en déduit queω(e)λ⁻₁¹(s1(e)) = λ⁻₀¹(s₀(e)) et par suite que

s1(e)⁻¹=λ1

ω(e)λ⁻₀¹(s0(e)⁻¹) Ainsi, pour toutx∈N on a

(ψ◦λ0)(x) = ψ(λ0(x)s0(e)⁻¹s0(e))

= ψ(λ₀(xλ⁻₀¹(s₀(e)⁻¹))s₀(e))

= λ₁

xλ⁻₀¹(s₀(e)⁻¹)ω(e) s₁(e)

= λ1(x)λ1

λ⁻₀¹(s0(e)⁻¹)ω(e) s1(e)

= λ₁(x)



Enfin, pour toutγ₀=λ₀(x)s₀(g)∈Γ₀on a

(f1◦ψ)(γ0) =f1(λ1(xω(g))s1(g)) =g=f0(λ0(x)s0(g)) =f0(γ0) Ceci achève la preuve.

——–

La bijeionΘpermet de définir, à partir de laruure deH_ϕ²(G, N), une ruure de groupe abélien sur Extϕ(G, N). La formuledans la preuve du théorèmepermet de conruire explicitement, à partir d’un 2-cocyclef, une extensionE_f dont l’image de la classe parΘela classe def dansH_ϕ²(G, N). Si l’on applique ceci au 2-cocycle trivial, on décrit donc le neutre de Ext_ϕ(G, N) et on conate, en appliquant la formule, qu’un représentant naturel de ce neutre n’erien d’autre que la suite exae relative au produit semi-direde GparN :

1 //N //G×_ϕN //G //1

Notons que la classe neutre de Ext_ϕ(G, N) een fait composée de l’ensemble des extensions qui admettent une seion au sens de ???. Ainsi, on ne peut retrouver le groupeG×_ϕN dans une extension deN parGque dans une seule classe d’extensions. Ce ne sera pas le cas pour tous les groupes apparaisant dans une extension, comme le montre l’exemple qui suit.

Exemple.—Appliquons ce qui précède pour décrire les classes d’extensions deZ/pZpar lui-même (pétant un nombre premier). En appliquant la proposi- tion ???, on déduit queH²(Z/pZ,Z/pZ)'Z/pZet doncExt(Z/pZ,Z/pZ) compte péléments. Considérons les extensions suivantes :

E₀ : 1 //Z/pZ //Z/pZ×Z/pZ //Z/pZ //1 et pour touti= 1,· · ·, p−1

E_i: 1 //Z/pZ ^×i //Z/p²Z //Z/pZ //1

La conclusion générale pour le cas du noyau abélien e que l’ensemble des classes d’extensions deN parGedécrit biunivoquement par la réunion disjointe G

ϕ∈Aut(N)

H_ϕ²(G, N).

. Cas général

.. Obruion

O

ⁿse fixe deux groupesN etG, on noteCle centre deN. Pour toute ac- tion extérieurebΦdeGsurN, on noteraϕl’aion deGsurCinduite parΦb(remarque-). Nous allons nous intéresser à l’éventuelle ob- ruion à l’exience d’une extension deN parGd’aion extérieure relative bΦdonnée.



Considérons à cet effet un relevéL:G−→Aut(N) debΦpour le morphisme Aut(N) ^θ //Out(N) (i.e. θ◦L =Φ). Soit alors l’applicationb f :G×G−→

Aut(N) définie, pourg₁, g₂∈G, par

f(g₁, g₂) =L(g₁g₂)◦L(g₂)⁻¹◦L(g₁)⁻¹

Commeθeun morphisme, on aθ(f(g₁, g₂)) =θ◦L(g₁g₂)θ◦L(g₂)⁻¹θ◦L(g₁)⁻¹= 1 et doncf eune application à valeurs dans Int(N). On considère un relevé f :G×G−→N def pour le morphisme naturel N //Int(N) . Ainsi, pour toutg₁, g₂ ∈Get toutx∈N on af(g₁, g₂)[x] =f(g₁, g₂)xf(g₁, g₂)⁻¹. Soit alors l’applicationµ_L,f :G×G×G−→N définie, pourg₁, g₂, g₃∈G, par

µ_L,f(g1, g2, g3) =L(g1)h

f(g2, g3)⁻¹i

f(g1, g2g3)⁻¹f(g1g2, g3)f(g1, g2) Proposition.—L’applicationµ_L,f ainsi définie eun3-cocycle à valeurs dans Crelativement à l’aionϕinduite parbΦ.

SiL⁰eun autre relevé debΦetf⁰eun relevé de l’applicationf⁰associée àL⁰, alors les3-cocyclesµ_L,f etµ_L⁰_,f⁰ diffèrent d’un3-cobord. Réciproquement, siαe un3-cocycle dans la même classe queµ_L,f dansH_ϕ³(G, C), alors il exieL⁰un autre relevé deΦbetf⁰eun relevé de l’applicationf⁰associée àL⁰tels queα=µ_L⁰_,f⁰. Preuve :L’image dans Int(N) deL(g₁)h

f(g₂, g₃)⁻¹i

eL(g₁)◦f(g₂, g₃)◦L(g₁)⁻¹ et donc celle deµ_L,f(g1, g2, g3) vaut

L(g₁)◦f(g₂, g₃)⁻¹◦L(g₁)⁻¹◦f(g₁, g₂g₃)⁻¹◦f(g₁g₂, g₃)◦f(g₁, g₂)

= L(g₁)◦L(g₂)◦L(g₃)◦L(g₂g3)⁻¹◦L(g₁)⁻¹◦L(g₁)◦L(g₂g3)◦L(g₁g2g3)⁻¹◦ L(g1g2g3)◦L(g3)⁻¹◦L(g1g2)⁻¹◦L(g1g2)◦L(g2)⁻¹◦L(g1)⁻¹

= Id

ce qui montre queµ_L,f(g1, g2, g3)∈ ker(N −→Int(N)), noyau qui e précisé- ment égal àC d’après ???. D’après la remarque - l’aion ϕ d’un élément



g∈Gsurx∈Ceégale àx^g =L(g)[x]. Ainsi, pour toutg₁, g₂, g₃, g₄∈G, on a µ_L,f(g2, g3, g4)^g1µ_L,f(g1, g2, g3)µ_L,f(g1, g2g3, g4)

= L(g₁)◦L(g₂)h

f(g₃, g₄)⁻¹i L(g₁)h

f(g₂, g₃g₄)⁻¹i L(g₁)h

f(g₂g₃, g₄)i L(g₁)h

f(g₂, g₃)i L(g₁)h

f(g₂, g₃)⁻¹i

f(g₁, g₂g₃)⁻¹f(g₁g₂, g₃)f(g₁, g₂) µ_L,f(g₁, g₂g₃, g₄)

= L(g1)◦L(g2)h

f(g3, g4)⁻¹i L(g1)h

f(g2, g3g4)⁻¹i L(g1)h

f(g2g3, g4)i

f(g1, g2g3)⁻¹ f(g1g2, g3)f(g1, g2)µ_L,f(g1, g2g3, g4)

= L(g₁)◦L(g₂)h

f(g₃, g₄)⁻¹i L(g₁)h

f(g₂, g₃g₄)⁻¹i L(g₁)h

f(g₂g₃, g₄)i µ_L,f(g₁, g₂g₃, g₄)f(g₁, g₂g₃)⁻¹f(g₁g₂, g₃)f(g₁, g₂)

(Carµ_L,f(g₁, g₂g₃, g₄) eun élément deC.)

= L(g₁)◦L(g₂)h

f(g₃, g₄)⁻¹i L(g₁)h

f(g₂, g₃g₄)⁻¹i L(g₁)h

f(g₂g₃, g₄)i L(g₁)h

f(g₂g₃, g₄)⁻¹i

f(g₁, g₂g₃g₄)⁻¹f(g₁g₂g₃, g₄)f(g₁, g₂g₃)f(g₁, g₂g₃)⁻¹ f(g₁g₂, g₃)f(g₁, g₂)

= L(g₁)◦L(g₂)h

f(g₃, g₄)⁻¹i L(g₁)h

f(g₂, g₃g₄)⁻¹i

f(g₁, g₂g₃g₄)⁻¹f(g₁g₂g₃, g₄) f(g₁g₂, g₃)f(g₁, g₂)

= f(g1, g2)L(g1)◦L(g2)h

f(g3, g4)⁻¹i

f(g1, g2)⁻¹f(g1, g2)L(g1)h

f(g2, g3g4)⁻¹i f(g1, g2g3g4)⁻¹f(g1g2g3, g4)f(g1g2, g3)f(g1, g2)f(g1, g2)⁻¹

(On a conjugué parf(g1, g2), ce qui ne change rien puisqu’il s’agit d’un élément deC.)

= L(g₁g₂)h

f(g₃, g₄)⁻¹i

f(g₁, g₂)L(g₁)h

f(g₂, g₃g₄)⁻¹i

f(g₁, g₂g₃g₄)⁻¹f(g₁g₂g₃, g₄) f(g₁g₂, g₃)

= L(g1g2)h

f(g3, g4)⁻¹i

f(g1, g2)L(g1)h

f(g2, g3g4)⁻¹i

f(g1, g2g3g4)⁻¹f(g1g2, g3g4) f(g₁, g₂)f(g₁, g₂)⁻¹f(g₁g₂, g₃g₄)⁻¹f(g₁g₂g₃, g₄)f(g₁g₂, g₃)

= L(g1g2)h

f(g3, g4)⁻¹i

f(g1, g2)µ_L,f(g1, g2, g3g4)f(g1, g2)⁻¹f(g1g2, g3g4)⁻¹ f(g₁g₂g₃, g₄)f(g₁g₂, g₃)

= L(g1g2)h

f(g3, g4)⁻¹i

µ_L,f(g1, g2, g3g4)f(g1g2, g3g4)⁻¹ f(g₁g₂g₃, g₄)f(g₁g₂, g₃)

(Carf(g₁, g₂)µ_L,f(g₁, g₂, g₃g₄)f(g₁, g₂)⁻¹=µ_L,f(g₁, g₂, g₃g₄) puisque µ_L,f(g₁, g₂, g₃g₄)∈C.)

= L(g₁g₂)h

f(g₃, g₄)⁻¹i

f(g₁g₂, g₃g₄)⁻¹f(g₁g₂g₃, g₄)f(g₁g₂, g₃)µ_L,f(g₁, g₂, g₃g₄) (Puisqueµ_L,f(g₁, g₂, g₃g₄)∈Ccommute avec tous les éléments deN .)

= µ_L,f(g1g2, g3, g4)µ_L,f(g1, g2, g3g4)

et doncµ_L,f ebien un 3-cocycle à valeur dansCrelativement àϕ.

Dans la suite de cette preuve pour toutx∈N, on noteraσ_xl’automorphisme intérieur deN relatif àx(i.e. σx(y) =xyx⁻¹pour touty∈N). Soit maintenant L⁰un autre relevé deΦ. Pour toutb g∈G, il exiex(g)∈N tel que

L⁰(g) =σ_x(g)◦L(g)

