UNITÉS SEMI-LOCALES ET Z^-EXTENSIONS

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Ann. Inst. Fourier, Grenoble 29,1 (1979), 49-79

UNITÉS CYCLOTOMIQUES

UNITÉS SEMI-LOCALES ET Z^-EXTENSIONS

par Roland GILLARD

Dédié à Monsieur Claude Chabauty.

0. Introduction.

Soit K un corps de nombres abélien réel, G le groupe de Galois de K/Q et £ un nombre premier. Pour chaque idéal pre- mier Q de K au-dessus de £ , désignons par Uj. le groupe des unités du complété correspondant K^. qui sont congrues à 1 modulo le complété de G. Nous appelons groupe des unités semi-locales le groupe U = II U^ . Soit C (resp. E) le groupe des unités cyclotomiques formelles de K —cf. [14] et § 2 . 2 — (resp. le groupe des unités de K). Considérons l'intersection de U et de l'image de C par l'application diagonale dans le produit K = n K ^ .

_ e |fi

Désignons par C sa fermeture dans U muni de la topologie produit. On note (°(K) le C-groupe des classes de K .

Si G est d'ordre premier à C , on peut décomposer l'algèbre de groupe Zg[G] et les modules sur Zg[G] à l'aide des idempo- tents de G associés aux caractères définis et irréductibles sur Qg . si $ est un tel caractère, R. Greenberg ([8] cf. aussi [4]) donne l'ordre, pour £ ^ 2 , de la $-composante du quotient U/C ex- primé à l'aide de la valeur au point 1 de la fonction L E-adique associée à <î>. Soit E/C le £-sous-groupe de Sylow du quotient E/C. On sait, d'après la théorie de Leopoldt [14], que les ordres de (E/C)g et (3(K) sont égaux. G. Gras ([6]) a conjecturé que les ordres des $ composantes de (E/C)g et <î(K) sont aussi égaux.

Pour des raisons de rang, on ne peut pas espérer en général d'isomorphisme entre ces composantes. J. Coates et S. Lichtenbaum ont

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50 R.GÏLLARD

énoncé ([!]) une conjecture et ont donné des conditions suffisantes de vérification (cf. ci-dessous conjecture 2 de 6.1 et début de 6.2).

Le résultat cité plus haut donnant l'ordre de la $ composante de U/C et la conjecture précédente entraînent la validité de la conjec- ture de G. Gras pour 9. ^ 2 (cf. [8] et [4]).

Je me propose dans cet article d'étendre aux extensions abéliennes quelconques de Q le résultat sur U/C établi par Greenberg évoqué ci-dessus. En effet, G s'écrit canoniquement sous la forme d'un produit direct F x A avec F sous-groupe d'ordre une puissance de C et A sous-groupe d'ordre premier à £ . Il est alors possible de dé- composer l'anneau Zg[A] et les modules sur Zg[A] à l'aide des idempotents associés aux caractères de A définis et irréductibles sur Q g . Si <ï> est un tel caractère, j'obtiens alors (au § 4.4) une formule analogue à celle de [8] pour l'ordre de la <î> composante de U/C. Il y figure une constante Np qui ne dépend que de la structure de F et qui joue le même rôle que l'indice limite QQ dans [14]. Lorsque F est cyclique, il est possible (cf. § 5) de supprimer cette constante en agrandissant le groupe C.

Dans la deuxième partie de cet article, j'étudie une générali- sation de la conjecture de Gras concernant les différents étages de la Zg extension d'un corps de nombres abélien réel de degré fini premier à 6 sur Q. Comme dans [8] et [4], on utilise la conjec- ture de Coates et Lichtenbaum. Le § 6.4 contient la démonstra- tion de cette conjecture dans des conditions légèrement plus larges que celles de [ 1 ]. Le § 7 concerne le cas £ = 2 , on énonce une conjecture analogue à celle de Coates et Lichtenbaum et on donne des conditions de vérification analogues à celles de 6.4. L'application à la conjecture de G. Gras est plus délicate (comparer les théo- rèmes 4 et 4'). Les résultats sont énoncés en 6.2 ( £ ^ = 2 ) et 7.2 ( £ = 2 ) .

Dans la suite, nous choisissons une clôture algébrique Î2g de Qg et un plongement ^ dans Î2g d'une extension abélienne ma- ximale Q06 de Q contenant K . On utilise la valeur absolue de

^2g telle que I £ | == — • Pour tout entier positif n on choisit dans Q^ une racine de l'unité d'ordre n, ^ de façon à avoir des re- lations de compatibilité {"- - nm " n^m = î" .

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UNITES CYCLOTOMIQUES, UNITES SEMI-LOCALES ET Zg-EXTENSIONS 5 1

1. Préliminaires.

1.1. Tous les caractères que nous étudions sont à valeurs dans Î2g . On appelle Q-caractères (resp. Qg-caractères, resp. S2g-caractères) d'un groupe, les caractères définis et irréductibles sur Q (resp. Qg , resp. Î2ç). Si H est un groupe fini, à tout caractère \ de H défini sur Q (resp. Qg , resp. S2g), on associe un élément e de Q[H] (resp. Qg[H], resp. î2ç[H]) par la formule :

^ = —— S X C o - ^ a . (1)

W oGH

Nous choisissons une fois pour toutes un Qg- caractère non trivial

<t> de A ; soit d sa dimension. Par l'inclusion canonique de Zg[A]

dans Zg[G], e^ s'identifie à l'idempotent de Zg[G] associé par (1) au caractère $* de G induit par <î». La décomposition de

<î> en Î2g-caractères est notée : <ï> = ^ V / . Choisissons un

^ l ^

Sic-composant i^ de $ (i.e. un ^g-caractère intervenant dans la décomposition précédente) et désignons par A (resp. L) le sous-anneau de S2g engendré sur Zg (resp. le sous-corps de ^2g engendré sur Qg) par l'image de V/^ . On définit comme suit un isomorphisme d'anneaux :

^ZJG] — ^ A [ r ] ; (2) à l'élément 2 û^§ 7§ de ^Zg[G], somme prise sur tous les couples ( 7 , 6 ) de F x A ^ G et les coefficients a^g étant dans Zg , on associe l'élément S û ^ . ^o(^)^ ^e A[r]. Par extension des scalaires, on déduit aussi un isomorphisme entre é?^Qg[G] et L[F].

Si H est un groupe abélien fini et \ un îîç-caractère, on désigne par g^ l'ordre de \ (considéré comme élément du groupe dual de H) et d^ le discriminant du corps Q(? ) . Si Ç est un Q-caractère de H , on pose g^ = g^ et d. = d^ où \ est un Î2g-composant quelconque de ^ .

Pour chaque Î2g-caractère \ de G , soit K^ le sous-corps de K défini par le noyau de \ considéré comme homomorphisme de G dans Î2^ et /^ le conducteur de K^ . Si \ est un Î2g- composant d'un Q-caractère ^ de G , on notera encore K. ou /^ pour K^ ou /^ . Tout îîg-caractère \ de G définit un carac-

tère de Dirichlet modulo f^, qu'on note encore \. Ceci permet

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52 R.GILLARD

de définir une somme de Gauss :

fx

T ( X ) = E X(û)?; .

0 = 1 x

(a^l

1.2. Soit © l'anneau des entiers de K et 0 le produit des an- neaux des entiers ©^ des complétés K ç pour ^ au-dessus de £ . Les anneaux 6 et K sont les complétés C-adiques de © et K : on identifie donc © et K à leurs images dans © et K par l'application diagonale. L'action d'un élément quelconque a de G se prolonge par continuité en un automorphisme de l'anneau K encore noté a . De même on prolonge par continuité la restriction à K du plongement ^ en une application encore notée <^. Pour chaque j?|j? le logarithme définit une application de U^, dans K ^ . No- tons Kog l'application de U dans K , produit des applications précédentes. Pour chaque Î2g-caractère \ de G , définissons une application T de K dans Î2g par :

T^a)= ^ X(a)-¹ ^(a(a)).

aGG

II est facile de vérifier que l'on a la formule :

V r G G , T ^ T ( a ) ) = x ( ï ) . T / a ) . Cette formule se prolonge par Zg-linéarité :

V ^ C Z J G ] , T^(u(a))=x(u)Tâ). (3) Si e est une unité de K congrue à 1 module ^ ( V j ? | £ ) , (^(a(ôge)) est égal à ^Côg a(e)) donc à loglê^)]. Ici log est le logarithme dans S2g , cf. [12] § 4 ; ainsi :

T^(A)g e) = S x(^¹) log Me⁰)] . (4)

oCG

1.3. Si M et N sont deux A-modules qui sont des réseaux dans un même espace vectoriel de dimension finie, on peut leur associer un idéal fractionnaire [ M , N ] (cf. [3]) de A . Cet idéal est de la forme y . A pour a unique dans Z . Nous appelons "indice"

de N dans M et nous notons encore [M : N] le nombre rationnel S0 . Bien sûr, si M contient N , [M : N] est égal à l'indice de N dans M au sens usuel. Enfin si M est un réseau et si N est de rang strictement inférieur, on dit que P'indice" [M : N] est infini.

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UNITES CYCLOTOMIQUES, UNITES SEMI-LOCALES ET Zg-EXTENSIONS 53

Soit a un élément de K tel que e^Z^[G].a soit un réseau du L-espace vectoriel e^K, c'est-à-dire soit un Zg module libre de rang d . Soit jî un élément de K . On peut alors énoncer :

LEMME 1. - L^indice" de ^ Z g [ G ] . j 3 dans ^ZJG].a est fini si et seulement si pour tout Zg-composant \ de <î>* , T (j8) est non nul. Cet "indice" vaut alors :

n T^a) xl<î>*

k , Z J G ] . a : ^ Z J G ] . ^ ] = -n—f^ • (5) x l ^ * x

Démonstration. — On peut écrire e^jS = u Ça) avec M dans ê^QJG] ; en multipliant j8 par une puissance de £ suffisante, on voit qu'on peut supposer que u est dans ê^ZJG], on a alors un isomorphisme entre e^Zg[G]. a/^ZJG]. jî et ^ Z J G ] / ( M ) . Notons î l'application de e^ZJG] dans lui-même définie par la multiplication par u. L'anneau ^Zg[G] est un Zg-module libre de rang d . L'indice étudié est fini si et seulement si le détermi- nant de Ï est non nul. Si cette condition est vérifiée l'indice vaut

|détîî1~1 . Le déterminant de "a peut être étudié à l'aide d'une extension des scalaires de Zg à Î2g et de l'application Î2g-linéaire

^î2g[G]——> îî^'^ définie à l'aide des idempotents associés, cf. (1), aux ^-composants de $*. Sur Î2^•l^] l'endomor- phisme ï est traduit par une application linéaire de matrice diagonale, les éléments sur la diagonale de cette matrice sont précisé- ment les nombres x(u). Ainsi

[^ZJG]a: ^ZJG]p] = |detÏ|-1 = n x(u)\~\

xl^* 1

Le lemme résulte alors de l'égalité (cf. § 1.2 (3)) : \(u) = ^Tx(P) T,(a)

2. Résumé de résultats de Leopoldt.

2.1. Rappelons rapidement des résultats de [15] utilisés dans la suite. Pour chaque nombre premier p ramifié dans K/Q soit 1^

le ^leme groupe de ramification. Soit 1 (resp. I*) le sous-groupe II I1 (resp. I2 n I1 ). Soit ^ un Q-caractère de 1 trivial sur

p p 2 p^2 p

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54 R.GILLARD

Ij (Le. tel que \fx G \\, f;(x) = Ç(l)) ou un Q-caractère de f non trivial sur Ij . On note par 2 le caractère de G induit par

^ et e^ l'idempotent de QJG] associé à 2 (cf. (1)). Soit Z l'en- semble des caractères 2 définis de la façon précédente. Pour 2 dans Z , soit /^^le P^s petit commun multiple des /^ et K^. le corps composé des corps K^ , pour \ ^2g -composant de 2.

Pour 2 dans Z et x ^e -composant, posons : î»6

^ ( X , ^ ) - Z X(û)^

(a,f^)=ï

Pour 2 dans Z définissons 4 par :

^[K^i^'v-

A K • est associé un ordre de Q[G] (D = © e^Z[G] et un élé- ment de Q^ : ^ = ^ 4 . Le résultat fondamental de [15]

sez

est que (S est l'ordre associé au Z[G]-module 0 (i.e. on a Û) = {À G Q[G] | À 0 C ©}, que t est dans K et qu'on a :

© = < D . t . Un ^-caractère x de G figure dans la décomposi- tion d'un et d'un seul caractère 2 de Z , f^ divise alors f^ et le rapport f^/f^ est sans facteur carré et premier à /^ (cf. [15]).

Si ^ désigne la fonction de Moebius, on a la relation pour \ Î2n composantde 2 (comparer à § 1(1) et § 2 (15) de [15]) :

i X^a)^^^-) x ^ ^ x -1) ^ : ^ ] .

aGG V ^ / V^

<-^l(a)a(0=^(-²-) X ^ ^ X - ^ C K : ^ ] . (6)

aGG V ^ / V ^7

Remarquons que jn (—^ \ (—^ est une racine de l'unité donc une Ac î\

unité de Î2ç . Posons (Dg == ^®^ ^ZJG]: è est un (De-module libre de rang 1 engendré par t .

2.2. Nous rappelons maintenant la définition des unités cyclotomiques (cf. [14]). Si Ç est un Q-caractère de G , Leopoldt définit l'entier algébrique ^ comme suit. Choisissons pour tout automorphisme sur K ^ a , du sous-corps réel maximum de Q(?/J, un prolon- gement ~a à Q(^) et définissons 0^ par : 0^ = n a(?^ - ^).

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UNITES CYCLOTOMIQUES, UNITES SEMI-LOCALES ET Zç-EXTENSIONS 55

Le carré de 6^ est égal au signe près à la norme dans Kç de l'élé- ment 1 — ?/ de Q(^y ). Le groupe des unités cyclotomiques CQ de K est l'intersection du groupe des unités E de K et du groupe engendré par — 1 , les éléments 9^ et leurs conjugés, ^ parcourant l'ensemble des Q-caractères de G .

Pour chaque Ç , notons o^ un générateur du groupe de Galois (cyclique) de Kç sur Q et ^ un relèvement de a^ dans

^ = GaKQ^/Q). On considère alors les éléments 7^ et 7^ de Z[Gal(Kç/Q)] et Z[g] définis par :

7,= n (i -o

⁸

^) 7 , = n (i - o

⁸

^ ) .

- P\8ï, ç - P\g^ ç

En prolongeant par Z-linéarité l'action de ^ sur le groupe multiplicatif (Q06)*, on peut considérer 07^ : c'est une unité de K^

dont la norme sur les sous-corps stricts de Kç vaut ± 1 . Soit 0 le produit des éléments 07^ pour Ç parcourant l'ensemble des Q-caractères de G . Leopoldt définit le groupe des unités cyclotomiques formelles C comme étant le sous-Z[G]-module de E engendré par — 1 et les éléments 07^ . L'ordre de Q[G] as- socié au sous-module de E engendré par © (i.e. l'ensemble {À G Q[G] | 0^ G E}) est l'ordre maximal de Q[G] c'est-à-dire

® ^ Z [ G ] , la somme étant prise sur l'ensemble des Q-caractères de G : ceci résulte de l'égalité au signe près entre 0^ et 6^ . Si Ç est un Q-caractère de G et \ un ^2ç-composant de ^ on notera aussi 0 ^ . . . 7^ pour Q^ . . . 7^ . De plus, pour tout Î2g caractère \ de G on définit x(7x^ en considérant x comme un caractère de G/kerx et en l'étendant par linéarité.

Considérons l'intersection de U et de_ l'image diagonale de C (resp. de C^) dans K et notons C (resp. Cç) sa fermeture.

2.3. Définissons (cf. [14] et [9]) pour tout groupe abélien H des entiers : ___ ________

_ /H]^ _ f /[HL.^)

^"y iid, ^CH ~ y ^g ² , )

où les produits sont pris sur l'ensemble des Q-caractères de H et où ^p désigne la fonction indicatrice d'Euler. On sait que C^

(cf. [9]) est égal à 1 si et seulement si H est cyclique et que Np^

est l'indice de Z[H] dans l'ordre maximal ®^Z[H] de Q[H], somme prise sur l'ensemble des Q-caractères de H.

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56 R.GILLARD

LEMME 2. — Le produit N ^ - C ^ est égal au produit des ordres des noyaux des Î2 ^-caractères de H. Le quotient N^/C^ est donné par les formules où les produits sont pris sur l'ensemble des Q-caractères de H :

'p(^)

NH/CH = n ^—= n n p ^ s ^ / p - i ,

ê dç î. p\g^

Démonstration. — II suffit d'effectuer le produit et la division en tenant compte de la relation [H] = 2<^(^). La dernière égalité provient de la valeur de d^ .

Exemples. — Si H est cyclique d'ordre fi" , alors C^ vaut 1 et NH est égal à fi élevé à la puissance (14- fi + . . . + fi"~1).

Si H est isomorphe à (Z/fiZ)" , alors Np, (resp. C^) est

1 r y1 - 11

égal à fi élevé à la puissance — \(n — 1 ) fi" 4- 1 + ———

(resp.^ [ o , - l ) C " + l - ^ - ^ ] ) .

3. Calcul de l'indice de ^Zg[G] dans e^(D^ .

3.1. Pour chaque îîg-caractère \ de G , on note S(x) l'unique élément de Z (cf. 2.1) qui admet x comme ^-composant. Le but du § 3 est de démontrer la proposition :

PROPOSITION 1. - Si <x)g désigne l'ordre de Qg[G] introduit à la fin de 2.1 on a : [e^ : ^ZJG]] = | 11^ [K:K^]|-1 . 3.2. Nous allons utiliser l'isomorphisme d'anneaux signalé en 1.1 entre ^QJG] et L[r]. Soit I\ (resp. Fp l'intersection de F et de 1 (resp. I*). Soit S l'élément de Z défini par induction d'un Q-caractère Ç de 1 (resp. I*). Notons ^ ' la restriction de

^ à r^ (resp. F*). Nous disons que 2 et $ sont compatibles si et seulement si <t>* et S possèdent au moins un S2g-composant commun. A l'aide de l'inclusion de L[FJ (resp. L[r^]) dans L[F] on peut considérer e , comme un élément de L[F].

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LEMME 3. -L'image de e^.e^ dans L[r] est e^ si ^ et S sont compatibles et 0 sinon.

Démonstration. -- Remarquons d'abord que e^ est égal à la somme 2 e^, somme prise sur les Î2g-composants de 2 ; comme e^ .e est nul sauf si x et i//^ coïncident sur A , e^ . e^ est nul sauf si un îîg-composant de Ç coïncide avec ^ sur A H I (resp. A H I * ) . Ceci signifie exactement que 2 et $ sont compa- tibles. Si cette dernière condition est vérifiée, on a e^ . e^ = 2 ^ , la somme étant prise sur les Î2g- caractères de G égaux à V/ç sur A et à Ç' sur I\ (resp. F?. Ainsi ^ . e^ n'est autre que l'idem- potent du caractère de G induit par le caractère 0 de A x F\

(resp. A x F^*) qui vaut V/JS) ^(7) pour l'élément §.7 de A x F^

(resp. A x F * ) . C'est donc aussi êç considéré dans Qg[G]. Cet idempotent s'identifie au produit des idempotents e^ et e^ dont les images dans L[F] sont respectivement 1 et e^. . Son image, qui est la même que celle de e^ , est donc bien e^, .

3.3. Supposons dans ce n° 3.3 que Fi et F^ soient égaux, ce qui est toujours vérifié si £ ^= 2 . Le lemme 3 et (2) montrent qu'on a un isomorphisme de A|TJ-modules entre ^(Dg et (&<^A[r], donc encore entre ^(Dg et (C ^Atrj)11^11 (les sommes sont prises sur l'ensemble des Q-caractères X de F\). Le sous-module é^ZJG] est envoyé sur le sous-module AtFJ^^11 . Comme A est un Zg-module de rang d , l'indice [^(Dg : ^Ze[G]] est égal à la puissance r f . [F : FJ de l'indice [® ^ZJFJ : ZJFj] c'est donc (Nr y^11^!1 . Par la théorie du corps de classes, F^ (resp. F^

si C = 2) est cyclique car c'est l'image du groupe multiplicatif 1 4- p Z p (resp. 1 + 4Z^ si C = 2) par l'application de récipro- cité locale. Il en résulte que Np est égal (cf. lemme 2) au produit des ordres des noyaux des S2g-caractères de F^ . Pour chaque îîg-composant x de <î>*, soit Xi sa restriction à F^ : il est facile de voir que le noyau de Xi est d'ordre [K:IC^] à une unité de Zg près. La proposition de 3.1 provient (avec l'hypothèse F^ = F*) du fait qu'il y a exactement ( d . [F : FJ) ^-composants de ^* qui ont même restriction à F^ .

3.4. Etudions maintenant le cas où F^ est strictement inclus dans F^ . Dans ce cas £ est égal à 2 et F^ est facteur direct de F^

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58 R.GILLARD

et d'indice 2. Ceci se voit en remarquant que, grâce à la théorie du corps de classes, F\ est un quotient de (Z^)* et F* est l'image du sous-groupe 1 4- 4 Z ^ . Soit J l'élément de F, , image de - 1 e i 4- 2Z^ : alors I\ est égal au produit direct de F^ par { 1 , J } . Les caractères S de Z proviennent soit d'un caractère ^ de 1 trivial sur I2 , soit d'un caractère ^ de I* non trivial sur I2 . Les idempotents de L[F] obtenus sont dans le premier cas

é ? = = — ( l + J )_l

^

^{7 et}

^ T —

⁰

- ^ ^

1!! rerf l1 11 j^

et dans le second les e^ où À décrit l'ensemble des Q-caractères non triviaux de F*. L'ordre de L[F] image de e^S)^ est donc, en sommant sur l'ensemble des Q-caractères À non triviaux de F^ :

eW}Qe'\[T}Q( ® ^A[F]).

VÀ^ i /

II contient l'ordre S) ^A[F], somme prise sur l'ensemble de tous les Q-caractères de F* avec l'indice ^r:r^. Ce qui précède, ajouté à un raisonnement calqué sur celui de 3.3, montre que l'in- dice de ^Zç[G] dans e^ est égal à (NpJ^^îl. 2d l ^ : ^l] . Pour évaluer Np* on utilise la propriété de F^ d'être cyclique.

Pour chaque ^2g composant x de <î>* soit \^ sa restriction à F* . Il est facile de voir que si x* n'est pas trivial, son noyau est d'ordre [K : K,^ J à une unité de Z^ près. Ceci est encore vrai si \ est trivial sur F* mais non sur F^ . Enfin si \ est trivial sur

^^ , le noyau de x* est d'ordre — [K : K^:^] à une unité de Z^

près. La proposition de 3.1 résulte alors du fait qu'il y a exactement û f [ F : F * ] (resp. û?[F:FJ) Î2g-composants de <î>* qui ont même restriction à F^ (resp. à F i ) .

4. Indice du groupe des unités cyclotomiques formelles.

4.1. Soit m un entier strictement positif, premier à S_, assez grand pour que l'image diagonale dans K des unités 0 ^m soit dans U , pour tous les Q-caractères $ de G. L'image de ©m

dans K est alors aussi dans U . Soit C^ le sous-Zg [G]-module de U engendré par cet élément. Nous allons d'abord évaluer l'indice de_ t o t - r ^ / \ 1 e^C^ dans ^ U . Désignons par Q l'indice \ e^(Q : e^ \ II ^ 0 ^ ) .

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LEMME 4. — On a la relation suivante sur les "indices" :

ki,(u/Ci)] = _ [^é^zjGi^ge^].

Démonstration. — Soit fJL l'ordre du sous-groupe de torsion de e^V ; on a

[^(U/C^)] = k,U/^CJ

= [^ ^bgU/^ZJGl^toge^.jLi _ [g^ê : ^ZJGl^oge^]

• P- •

[^e : ^>A)gU]

Par ailleurs, pour ^ entier assez grand, e^Sog( II ( l + ^ O / , ) )

^ v j" I c /

est égal à e^ XI ff'0^ . Son indice dans e^è est (Y celui dans

^>^ogU est — (7~1 . D'après la multiplicativité de P'indice"

introduit en 1.3, on a : [e^ (S : e^ A)g U] = Q. JLI . 4.2. Calculons maintenant l'indice Q :

LEMME 5. - L'indice Q iw^ⁿ (\ -^x{—^\ • x l ^ * V £ / |

Démonstration. — Notons D (resp. DQ , F^ , \) le sous-groupe de décomposition de £ dans K/Q (resp. le sous-groupe d'inertie de £ dans D, F, A ) . Choisissons un idéal premier ^ de K au- dessus de £. On sait que è est le G-module induit par le D-module

©e . De même II ff©^ est le G-module induit par le D-module J?o Bc . Il résulte alors de l'interprétation du module induit à l'aide d'un produit tensoriel et de l'exactitude à droite du produit tenso- riel que é / n f^Oç est le Fg[G]-module induit par le Fç [Démodule

^e /^o ^ • D'après le théorème de la base normale pour les ex- tensions galoisiennes, ce dernier module est isomorphe à F^D/Dç]

c'est-à-dire au Fg [Démodule induit par le Démodule Fg où Do agit trivialement. On en conclut que é / n R(Q,, est un G-module

£\9.

isomorphe à Fç[G/D^], donc un A-module isomorphe au produit de [r:rj-copies de FJA/AJ. L'ordre de e^ ( è / ï l Se^ est donc ^•l1^1^)] si les composants ^ de $ sont triviaux sur A/.

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60 ^{R. GILLARD}

et 1 sinon. Le lemme en résulte facilement sachant que pour tout Î2g- caractère x ? composant de *, 1 — XW vaut £ si x est trivial sur Dç et 1 sinon.

4.3. L'indice" [e^è: ^ZJGjJSôgO^] se calcule par la méthode 1.3 en tenant compte des résultats des § 2 et 3. On obtient alors le résultat suivant où figure la fonction L C-adique (cf. [12]) :

LEMME 6. —L'ordre de e^(V/C^) est égal à [G] L g ( l , x ) -i

n ——X(7^ ——,—

X|(D* g^ x 2

Démonstration. — On sait que © est un û)g-module engendré par t (cf. 2.1) on a donc (cf. prop. 1 du § 3) :

[ ^ ® : ^ Z J G ] , ] = j J I ^ [ K : K ^ ] | -1. De plus, d'après le lemme 1 de 1.3 :

n T/O

X | < D * X

k,zjG]r: ^zjGi^ge-]^ n T.o^oge^

xl<ï>*^x

La formule (6) de 2.1, appliquée à T^(t) = ^\(a)~1 a ( t ) , et la remarque qui la suit montrent que :

n T^(D = 1 n ^x-^.tK.-K^]!.

db* A- | v <t)* ^\A./ i1 x 1 ^ *

X l 4 > *

D'autre part, d'après (3) T^^gQ^ est égal à T^^bgO^) si Ç est le Q-caractère de G ayant x comme Î2g-composant, donc, en tenant compte de 2.2, à T (^ogff^Q. Ce dernier nombre se calcule à l'aide de la suite d'égalités :

T^og^)= S x-Wog^"^)]

CTGG

= ^ . X ( 7 ç ) . 1 X-^logl^p]

orGG

= w . x(7p. [G] 2 X-1 (a) log [^(020)]

^X oeGal(K^/Q)

[G] ^

- w . x C T s ) . — — S X - ' ^ l o g l ^ d - ^ ) ] ._{çr 1-d}

^X a = l

(a,/x)=l

(13)

La première égalité écrite provient de la formule (4), la seconde est conséquence d'un calcul analogue à celui de (3) le logarithme a été prolongé comme dans [12] § 4. Dans la troisième égalité, on a consi- déré x comme un caractère de G/Ker x qui est isomorphe au groupe de Galois Gal(K^/Q). Dans la dernière égalité x est identifié au caractère de Dirichlet modulo f^ qu'il définit ; on a exprimé O2

comme norme de (1 - ^) (cf. 2.2). La somme sur a se calcule à l'aide de la formule donnant L g ( l , x ) (cf. par exemple [12] § 5) et la relation classique 7"(x) T(x~1) = / :

Sx-^log^d - ^ ) ] = - r(x~1)^ -x(£))"1 4(1. X).

Le lemme 6 résulte alors des calculs précédents et des lemmes 4 et 5.

4.4. Traduisons maintenant 4.3 sur le groupe des unités formelles : THEOREME 1. -L'ordre de ^(U/C) est donné par :

t^U/C)^.^1^1-1

Démonstration. - En revenant aux définitions de C^ et C (cf. § 4.1 et 2.2) on voit que l'indice de e^C^ dans e^C est égal à celui de e^Zg[G] dans e^(Qe^[G]) où dans la somme

^ parcourt l'ensemble des Q-caractères non triviaux de G . C'est aussi, grâce à la formule (2) l'indice de A[F] dans ®^A|T] où dans la somme X parcourt l'ensemble des Q-caractères de F , c'est donc (cf. 2.3) N^ . Ainsi :

K(U/C)] = N?

x\^

n

X(7x) ——

[G] L,(l,x)|-i

Si x est un composant de <Ï>*, notons i// et TT ses restrictions à A et F ; soit Ç (resp. p) le Q-caractère de G (resp. F) ayant X (resp. 7r) parmi ses Î2g-composants. On a alors :

[G]

^x

[T]

grr

et lx(7^1 = 11 -^(a^l.

D'après le lemme 2 de 2.3, on déduit :

1 r. [G] [ - 1

= (N. . C^

xl<ï>* g^

n

(14)

62 R- GILLARD

et, en observant qu'il y a exactement d caractères \ qui corres- pondent au même TT

| n x^)-

1

^^

8

-

1

]^^.

I x l ^ * x P CF

Dans le terme du milieu, le produit est pris sur l'ensemble des Q- caractères p de F tels que £ divise g .

4.5. Remarque sur le caractère trivial. Dans ce qui précède, nous avons supposé que <î> est non trivial. Le théorème 1 est encore vrai si est trivial, en convenant que les deux membres de l'éga- lité sont infinis : le rang de e^C est [F] - 1 , celui de e^U est [F] et la fonction L C-adique correspondant au Î2g-caractère trivial de G admet un pôle en s = 1 . Cependant en remplaçant C parle Zg[G]-module C' engendré par C et (1 + ë) on obtient :

Ni: ^ L , ( l , x ) | - i

k.(u/c')]=^ n -^

2 xl^>*⁷ x n o n trivial

2 ^\^*

5. Cas où F est cyclique.

Si F est cyclique, montrons qu'on peut supprimer l'indice Np figurant dans le théorème 1, en remplaçant les unités cyclotomiques formelles par les unités cyclotomiques (cf. § 2.2) :

THEOREME 2. — Si F est cyclique et $ non trivial, on a :

^'w = ,{l. ^

-1

•

Démonstration. — II s'agit de montrer que e^C est un sous- groupe d'indice N^ de e^C^. C'est clair si F est trivial car alors les éléments 7^ introduits plus haut sont inversibles dans ^Zg[A].

Si F est cyclique d'ordre V1 , on sait que Np vaut C^64-^""1

(cf. §2.3). Soit TT un générateur de Hom(F,î2^), ^ un re- composant de $ et § un générateur de Gal(K^/Q). Pour

^ = = 0 , . . . , n , on considère (cf. 2.2) l'entier algébrique 0 ^ _ ^ ,

i^.rr⁶

on l'élève à la puissance (§ - 1) pour obtenir une unité, puis encore à la puissance m (m entier premier à £ assez grand) pour obtenir

(15)

une unité c^ de K ^_^ dont l'image dans K est dans U .

^ . T T6

Comme 6 ne divise pas [A], la formule (2) montre que (S — \)m est inversible dans ^Zç[G]. On voit ainsi que e^C^ est le Zg[G]- module engendré par les éléments c^ . On sait d'ailleurs que son rang est [F]. ûf = JM. Soit 7 un générateur de F. Pour tout / entier vérifiant 0 < / < £ " - ! , on considère l'entier k tel que 9^k<j<9^k+v et on associe à / l'élément ^-, = a^ ; à 0 on associe o^ . En utilisant la norme entre les corps consécutifs de la suite K^ , . . . , K ^ _ ^ , . . . , K ^ et en raisonnant de proche_çn-k

.£"

V/.7T V / . T T

en proche à partir de K^ , on vérifie que les éléments jSç , . . . , j8 forment un système générateur du ^Zg[A]-module C^CQ . En considérant le rang de ce module, on voit qu'on a en fait une base.

On peut alors calculer l'indice de e^C de la façon suivante : cet

^Zg[A]-module admet comme base l'ensemble des éléments

e"-i

^^•••C^f-

¹

-.^:; ••ç-i

,fi"-i-i

II est alors facile d'expliciter une partie de la matrice carrée d'ordre

£" de ce système dans la base jSç ... Pçn-i ^e e^o • P^ exemple si £ = 3 et n = 2 :

1 0 ? 0 - 1 - 1 0 1 - 2

-r

0

- 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

- - — —

1 0 0 0 1 0 0 0 1

9

- 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

— — — —

--

- 2 0 0 0 - 2 0 0 0 - 2

Pour C = 2 , la matrice est triangulaire avec 1 , — 2 , — 2 , . . . , — 2 sur la diagonale. Pour £ =^= 2 en permutant les lignes et les colonnes, on fait apparaître des blocs d'ordre ( C — l ) et de déterminant S :

pour £ ^= 3 et

- 2 , pour C = 3

(16)

64 R. GILLARD

Un bloc correspond à un couple d'entiers positifs ( k , /) avec 0 < k < n , 0 < /' < f^ : on regroupe les lignes et les colonnes correspondant aux éléments f5 ^ pour / = 1 , . . . , £ — 1 . Le déterminant de la matrice est donc au signe près Cl+•••+c"-l

(il y a (£" - 1)/(C - 1) blocs si C ^ 2) c'est donc Np (cf. fin de 2.3). Enfin ^Zg[A] est un Zg-module de rang d . L'indice de e^C dans €^CQ est bien N^ .

6. Application aux Zg-extensions.

6.1. Soit S un nombre premier, K un corps de nombres abélien réel de degré fini sur Q premier à £ , et A le groupe Gal(K/Q).

Soit K' le corps obtenu par adjonction à K des racines C16"1®5

de l'unité (4iêmes si £ = 2) et A' le groupe Gal(KVQ). Si CL désigne l'unique Zg-extension de Q, on note K^ (resp. K^,) l'extension composée K.Q^ (resp. K'.Q^). Soit K^ (resp. Q^ , resp. K^) le sous-corps de K^ (resp. de Q^, resp. de K^) de degré £" sur K (resp. sur Q , resp. sur K'). Désignons par E^

(resp. C^ , resp. U^) le groupe des unités (resp. des unités cyclotomiques, resp. des unités semi-locales) de K^ et par E^ le groupe des unités de K^ . Soit (E^/C^)g le C-sous-groupe de Sylow du quotient E^/C^ . Pour tout corps de nombres F, (°(F) désigne le C-sous-groupe de Sylow du groupe des classes d'idéaux de F.

En désignant par $ un Q^-caractère de A (cf. 1.1), on peut énoncer :

CONJECTURE 1 . — Pour tout n, les groupes e^(E^/C^)^ et e^ (S(K^) ont même ordre.

Remarquons que si $ est le caractère trivial, la conjecture 1 résulte de la formule analytique du groupe des classes (cf. [9], § 11 Satz 3) appliquée à Qy, . Les deux groupes sont d'ailleurs nuls (cf. [10]). Nous nous bornons dorénavant au cas où ^ est non trivial. Soit d la dimension de $ .

On désigne par M^ (resp. L^) la S-extension abélienne non ramifiée pour les places finies ou infinies premières à £ (resp. non ramifiée pour toutes les places) maximale de K^ . On définit de

(17)

même M^ , L^ , M^ , 4 , ML , L^, à partir de K^ , K^ et K,, . On note 1SL l'extension de K^ obtenue en adjoignant les racines d'ordre une puissance de £ des unités de K^ . Pour le caractère $ fixé, choisissons un Î2g-composant V/ ; soit q le plus petit com- mun multiple de f^ (cf. 1.1) et 9. (de f^ et 4 si £ = 2 ) . On appelle 7 le générateur topologique du groupe de Galois F de K^/K' qui agit sur les racines de l'unité d'ordre une puissance de

£ par élévation à la puissance 1 4- ^. Le groupe Gal(K^/K) s'identifie canoniquement à F. Notons F ^ , A^ , G^ les groupes Gal(K^/K'), Gal(K^/Q,), Gal(K^/Q) et F,, A ^ , G, , les groupes GaKK^/K), Gal(K^), Gal(K^Q). Les groupes I\ , A^ , G^

jouent dans la suite le rôle des groupes A , F, G des paragraphes précédents. Soit $„ (resp. $^) le caractère de A^ (resp. de A^) obtenu en composant $ avec la surjection canonique entre A^

(resp. A^) et A et ^ le caractère de G^ induit par ^ . Soit aussi V/^ le caractère de A^ obtenu en composant ^ et la sur- jection canonique de A^ sur A . Les groupes Gal(L^/lO, Gal(L^/K<J. . . sont des Zg[F]-modules topologiques compacts.

En faisant correspondre à 7 la série formelle 1 + T, on les munit classiquement de structures de modules sur l'anneau de séries formelles Zg[[T]] (pour tout ceci cf. [13]). A 7e" correspond la série c^ = (1 + T)^ - 1 . Soit oj le Î2g-caractère de A' obtenu en considérant l'action de A' sur les racines de l'unité d'ordre £ (d'ordre 4 si £ = 2). On note <î> (resp. V/) le Qg-caractère (resp.

le îîg-caractère de A ' = Aç défini par a—> ^(^^(a"1) (resp. a—> ùJ(a) V/Q^"1)). Soit /(T, ^) la série formelle asso- ciée par K. Iwasawa (cf. [12] § 6) au caractère de Dirichlet primitif défini par ^ . La conjugaison dans Gal(LL/Q) permet de définir une action de A' sur Gal(LL/K^) commutant avec celle de T = Gal(KL/K'). Ainsi on peut munir Gal(LL/KL) d'une struc-

ture de (ZJA'])[[T]]-module.

Supposons dorénavant £ ^ = 2 . En utilisant 1.1 (2) avec ^ et A' dans les rôles de V/Q et A , on peut munir la ^-composante 6?çGal(LL/KL) d'une structure de A[[T]]-module. De même, on peut considérer ô(K') comme un A'-module et ^<3(K') comme

un A-module. Rappelons que deux Zg[[T]]-modules sont dits pseudo- isomorphes s'il existe entre eux un pseudo-isomorphisme, c'est-à- dire un homomorphisme de Zg[[T]]-modules dont le noyau et le

(18)

66 R- GILLARD

conoyau sont finis. Nous employons la même terminologie pour les A[[T]]-modules. On peut alors énoncer la conjecture 2 pour le ca- ractère $ (cf. [ 1 ] , conjecture 2.3).

CONJECTURE 2. - Le A[[T]]-module ^,Gal(L^/0 est pseudo- isomorphe à A[[T]]/(/(T, ^)).

6.2. Rappelons que la conjecture 2 est vérifiée si les conditions suivantes sont satisfaites (cf. [ 1 ] théorème 2.4) :

i) <°(K') est un Zg[A']-module monogène

ii) aucun idéal premier au-dessus de £ n'est décomposé dans l'extension entre K7 et son sous-corps réel maximal.

Nous améliorerons légèrement ce résultat en 6.4, théorème 5.

THEOREME 3. — Si le caractère $ vérifie la conjecture 2, ^ vérifie la conjecture 1.

La démonstration du théorème 3 repose sur l'énoncé suivant qui sera démontré en 6.3. Rappelons que d'après [13] § 2.2, le groupe ^Gal(M^/K^) est fini.

<^/

THEOREME 4. — Si le caractère <î> vérifie la conjecture 2, le groupe e^GnKMjK^) est d'ordre 11^ Î^J-^ -1 .

xl^jÇ 2

Démonstration du théorème 3. — En comparant les théo- rèmes 2 et 4 on obtient que les groupes ^Gal(M^/K^) et e^(V^/C^) ont même ordre. D'après la théorie du corps de classes, on a un isomorphisme : ^Gal(M^/L^) ^ ^(U^/E^). On déduit que les deux groupes ^Gal(L^/K^) et ^(E^/C^) ont même ordre. Observons que E^ et Cy, étant canoniquement isomorphes à E ^ ® Z g et C ^ ® Z g , ^(E^/C^) est isomorphe à ^(E^/C^g . Le théorème 3 résulte alors de l'isomorphisme provenant de la théorie du corps de classes entre ^Gal(L^/K^) et e^ (°(K^).

6.3. Démontrons maintenant le théorème 4 : on suppose qu'il existe un pseudo-isomorphisme de A[[T]]-modules

^Gal(LL/KL)——^A[[T]]/(/(T,^)).

(19)

On peut alors utiliser la théorie de Kummer comme dans [13] (dé- monstration du théorème 16). En tenant compte de la note p. 275 de [13], de la présence de l'idempotent et du choix différent de 7 (e^q est remplacé par 1 4- q) on montre l'existence d'un pseudo- isomorphisme de A[[T]]-modules : e^, Gal(ML/NJ —> A[[T]]/(^(T))

0 • . 1 + ^

où g(T) désigne la série composée /(T, V/) où T = ——— — 1 . Remarquons maintenant, en considérant l'action de la conjugaison complexe sur les unités de K^ et la parité de $Q , que e^ Gal(N^/K^) est nul. On sait d'après [13] théorème 18 que Gal(M^/KL) n'a pas de sous-Zg[[T]]-module fini non trivial. En remarquant que la conjugaison dans Gal(lVC/QJ et Gal(MjQJ permet de munir Gal(ML/KL) et Gal(M^/K<J de structures respectives de A'-module et de A- module, ces structures étant compatibles avec les surjections cano- niques, on déduit que e^ Gal(ML/0 s'identifie à 6?^Gal(MjKJ.

Il résulte des considérations précédentes qu'on peut écrire une suite exacte de Zg[[T]]-modules avec un conoyau D fini:

0 —^ ^Gal(MJKJ -^ A[[T]]/Qr) -^ D -^ 0 . (7) II est clair que M^ contient K^ ; de plus Gal(M^/K^) s'obtient en divisant Gal(M^/K^) par un groupe de commutateurs qui est en notations additives (7^ - DGaKMjBU == c^ GaKMjK^).

L'action de A commutant avec celle de Gal(K^/K), on a un ré- sultat analogue pour ^Gal(M^/K^) et (^Gal(M^/KJ. Le carac- tère étant non trivial, ce dernier groupe s'identifie à ^Gal(M^K^).

En notant ^D le noyau de la multiplication par co^ dans D on peut écrire la suite exacte tirée du lemme du serpent :

,D —^ ^Gal(MA) -^ A[[T]]/(g, c^) —^ D/c^D -^ 0 . (8) Comme $ est non trivial, ^Gal(M^K^) est fini (cf. [13] § 2.2).

La suite exacte (8) montre que A[[T]]/(^, c^) est fini. On en dé- duit que g et o?^ sont premiers entre eux et que la multiplication par c^ est injective dans A[[T]]/(g). On peut alors prolonger sur la gauche la suite exacte (8) par un 0. Puisque les groupes ^D et D/OÎ^D ont même ordre, on en déduit qu'il en est de même pour

^Gal(MA) et A[[T]]/(g, c^).

Calculons par récurrence l'ordre de A[[T]]/(^, c^) en intro- e-i

duisant la série ^ = ^ ( 1 4 - T)1^ . On montre facilement que 1=0

(20)

68 R. GILLARD

la multiplication par o)^ permet d'écrire une suite exacte (n entier > 1) :

0—. A[[T]]/(^, ^)^-1^ A[[T]]/(^, <^)

— — ^ A [ [ T ] ] / ( g , c ^ ) — ^ 0 . Nous allons utiliser les isomorphismes :

A[[T]]/Qr, c^) - A/(âr(0)) et

A[[T]]/(g, ^^) - A[^J/(^ - 1)).

Notons T^ le caractère de Dirichlet de conducteur ^+1 et d'ordre V qui vaut ?^ pour 1 + q . On a alors (cf. [12] § 6) :

^(0)== f(q, ^ ) = . L g d , ^ / )

^ - 1) = /(Çd + q) - 1 , ^ ) = ^ 4(1, V / . TT,).

L'ordre de A[[T]]/(^, 0:0) est donné par la norme de g(0) sur Qg ; c'est donc n ———— -1 . De même l'ordre de. De même l'ordre de A[[T]]/(^, ^ _ ^ )

^ l<î> 2

est donné par la norme de g(f; ^ - 1) sur Qg ; c'est

n ff hi°_^2-

1

^i€> 1=1 ?

a,c)=i

L'ordre de A[[T]]/(^, ojj est donc n S!^{L £ ( l}^ ^^{) -1} v/i^ ï = i 2

Observons, pour conclure la démonstration du théorème 4, que les caractères qui interviennent dans le produit précédent sont exactement les caractères de Dirichlet associés aux Î2g- composants de $* . 6.4. Nous nous proposons de généraliser légèrement le résultat de [1] théorème 2.4 rappelé au début de 6.2 : le théorème 5 prouve la conjecture 2 pour des^corps ne vérifiant pas les conditions de 6.2 et certains caractères $. Disons qu'un îîg-caractère de A' est pair (impair) s'il vaut 1 (resp. - 1) pour la conjugaison complexe. Disons qu'un Qg- caractère de A' est pair (resp. impair) si ses Î2g-composants sont pairs (resp. impairs). Pour tout Qg-caractère pair $ (resp. îîg- caractère pair V/) de A' - on modifie donc légèrement les notations de 6.1 -^pn associe un Qg-caractère impair $ (resp. un Sîg-caractère impair i//) de A' défini par a—> $(a) = G5(a)^(o~1) (resp.

(21)

a—> i//(a) = GJ((7)^(a~1). Si ^ est un ^-composant de $ , V/ est un Î2g-composant de $. Tout Qg-caractère (resp. Sîg- caractère) impair de A' est de la forme $ (resp. V/) pour un unique $ (resp. î//). Choisissons un tel <î> non trivial et un îîg- composant i//. D'après 1.1 (2) en faisant jouer à ^ , ^ et A' les rôles de ^ , ^o e^ ^s on a un isomorphisme : ê-Zg[A'] ^ A où A désigne le sous-anneau de Sîg engendré sur Zg par l'image de ^ (ou de ^ : cela revient au même). Enfin désignons par K~

le sous-corps de K' correspondant au sous-groupe Ker V/ de A'._^/

Introduisons des conditions sur le caractère ^ : ( c l ) ^(S(K') est un A-module monogène.

<î>

(c2) Le nombre premier £ n'est pas totalement décomposé dans l'extension KL/Q.

V/

Nous pouvons énoncer :

THEOREME 5. — Si le caractère $ et tous ses conjugués sur Q vérifient c 1 et c 2, on a un pseudo-isomorphisme :

^Gal(LL/KL) —^ A[[T]]/(/(T, V/)).

La démonstration du théorème 5 est donnée après celle des lemmes 8 à 11. Le lien entre la condition c 2 et la condition ii) de 6.2 est donnée dans le lemme 7.

LEMME 7. — La condition ii) de 6.2 est vérifiée si et seulement si pour tout Sî^-caractère impair ^ de A', c 2 est vérifiée.

Démonstration. — Soit D le groupe de décomposition de C dans K'/Q. La condition ii) de 6.2 signifie que J appartient à D c'est-à-dire que tous les îîg-caractères triviaux sur D le sont sur J donc sont pairs. Le lemme 7 résulte du fait qu'un Î2g-caractère V/

de A' est trivial sur D si et seulement si £ est totalement décom- posé dans KL/Q et d'un raisonnement par l'absurde.

^

Notons X (resp. X(î)) le A[[T]]-module Gal(Li/0 (resp.

e^Gal(Ll,/K^)). La condition c 2 intervient dans le lemme suivant :

LEMME 8. — Si c2 est vérifiée alors pour tout n on a un iso- morphisme de A-modules : e^ ^(K') ^ X($)/o?^X(<î>).<fï — —

(22)

70 R. GILLARD

Démonstration. — II résulte du théorème 6 de [13] qu'il existe un sous-Zg[[T]]-module Y de X tel qu'en désignant par ^ la série e"-i

^ (1 4- TV , on ait des isomorphismes :

C(K') - X/Y edO - X/^Y .

Il est clair d'après [13] que ces isomorphismes sont compatibles avec les structures de A'-modules : on a donc encore des isomorphismes :

^e(K') - ^(X/Y) ^eOO - ^(X/^Y) . (9)

On peut énoncer un analogue de la formule des classes ambiges (pour plus de détails, cf. [5]) où figure en plus un idempotent e^ (la démonstration ne fait que reproduire la démonstration classique) :

[.,e(K;>n » [.,e(K-)l ^^./E^NK;')] •

Dans cette formule, d^ vaut d si 6 est totalement décomposé dans K^/Q et 0 sinon, N désigne la norme de K' à K ' .

V/

L'hypothèse c 2 signifie exactement que d ' vaut 0 et implique que [e^eÇK^] divise [^~ô(K')]. Ceci revient à dire que [ê~(X/Y)]

est un multiple de l'ordre du noyau de la multiplication par T dans

^(X/î^Y) donc est un multiple de [^~(X/TX + ^Y)]. De plus, puisque l'extension L^KL/K est abélienne, Y contient le groupe des commutateurs de Gal(LL/K) qui est TX. On en déduit l'égalité

^ Y = T X ( $ ) + ^ ( ^ Y ) .

Le lemme de Nakayama appliqué à l'anneau local ZJtT]]

prouve que : ^~Y = TXOi»).

<ï>

Le lemme 8 résulte alors de (9) et de la relation c^ = T. v^ . LEMME 9. - Si $ vérifie cl et c2, X($) est un A[[T]]-module monogène.

Démonstration. — II suffît d'appliquer le lemme 8 avec n = 0 : le lemme 9 résulte alors de c 1 et du lemme de Nakayama.

LEMME 10. - Le A^T^-module X($) est annulé par /(T, V/).

(23)

Démonstration. — Le lemme 10 résulte de la relation de Stickelberger et d'un passage à la limite (cf. [1] lemme 2.10 et [12] § 6 ) .

Considérons un système de représentants R du quotient de Gal(Q(? )/Q) par le sous-groupe de décomposition de C dans Q(^ )/Q. Soit ?le Q-caractère de A' : î = ^ a($).

(7(=R

LEMME 11.-// existe une constante C indépendante de n telle qu'on ait : [e^QÇK'..)] = C II n |/(? - 1, 0)|-1 .

^ 0 1 Î (.fi^,

^ %i

Démonstration. — Désignons par ô(K^)^ le sous-groupe des classes relatives de G(K^). On montre comme dans [12] § 7 qu'il existe une constante B indépendante de n telle qu'on ait : [ e ( K ^ ) - ] = B n n | / ( r - l , 0 ) | -1 où dans le produit 0 décrit

6 ^£"=1

?^1

l'ensemble des caractères impairs de A' distincts de oJ et ? l'ensemble des racines de l'unité d'ordre divisant C" . Le lemme 10 provient alors du résultat (12) de [14] § 9.4.

Démonstration du théorème 5. - Si $ vérifie c l et c 2 , on sait d'après le lemme 9 que X($) est de la forme A[[T]]/(/'(T, $)) avec /'(T,$) série dans A[[T]]. Du lemme 10, on déduit que /'(T,<Ï>) divise /(T, i//) : soit ^(T,) le quotient. On peut éva- luer ^(°(K^) à l'aide du lemme 8 et de calculs analogues à ceux de 6.3. En désignant par N la norme de L (cf. 1.1) à Qg :

[^e(K,)]= N( y nr-i,^

N

En faisant le même raisonnement pour des conjugués or() ^ GJ de

$ ( a G R ) et en comparant au lemme 11, on conclut que les séries

^(T,a($)) sont inversibles dans A[[T]] (les invariants X et fi qu'on peut leur associer sont nuls (cf. [12] § 7.3) : X($) est donc isomorphe à Af[T]]/(/(T, V/)) et on a un résultat analogue pour les conjugués de $ distincts de o5 d'où le théorème 5.

(24)

72 R. GILLARD

7. Cas particulier des Z ^-extensions.

7.1. Nous allons maintenant adapter les raisonnements et résultats du § 6 au cas 6 = 2 . Nous conservons les notations de 6.1. La dif- ficulté nouvelle est que le groupe Gal(KVQ) = A' est d'ordre divisible par 2. En fait, on a un isomorphisme canonique A' ^ A x < J >

où (J) désigne le sous-groupe de A' engendré par la conjugaison complexe J . Pour chaque Z^[A']-module X , désignons par X~

et X_ (resp. X^ et X+) le noyau et le conoyau de la multiplica- tion par 1 + J (resp. 1 — J) dans X . Aux caractères ^ et $ de A associons ^ et $ définis par o—> ^(a"1) et a—^^(a"1).

D'après 1.1 (2), en considérant A comme un sous-groupe de A' avec V/ dans le rôle de ^o et A' dans celui de G , on a un isomorphisme :

^ Z J A ' ] - A [ 0 > ] . (10) En composant avec l'homomorphisme d'anneaux obtenu en envoyant J sur — 1 on obtient :

(^Z,[A']L ^ A . (lObis) En munissant Gal(LL/0 de sa structure de (Z2[A'])[[T]]-module (cf. 6.1) et en utilisant ce qui précède on voit qu'on peut munir e-(Gal(L^/K^)~) d'une structure de A[[T]]-module. Enonçons<ï> ^ alors la conjecture 2 pour le caractère $ :

CONJECTURE Ï . - Le A^T^-module ^(GaKLL/O") est(p pseudo-isomorphe à A[[T]]/(/(T, V/)).

7.2. Enoncé des résultats. Le théorème 3 admet un analogue légè- rement plus faible :

THEOREME 3'. — Si $ et tous ses conjugués sur Q vérifient la conjecture 2', ils vérifient aussi la conjecture 1.

La démonstration du théorème 3' repose sur l'énoncé suivant qui sera démontré en 7.3.

THEOREME 4'. — Si $ vérifie la conjecture 2\ le groupe

^(Gal(MA)) est d'ordre divisible par II 2 ? x) ' xl^

(25)

Démonstration du théorème 3 ' ' . — En comparant les théorèmes 2 et 4', on obtient qu'il existe une puissance positive de £ , Q^() telle que : [^ . Gal(M^/K,)] = aj<l>). [^(IV^)]. En reprenant la démonstration du théorème 3 de 6.2 on obtient :

k^(K)] = a^($) K(E^C,)J. (11) Avec les hypothèses du théorème 3\ on a une relation analogue pour les conjugués sur Q de $. Par ailleurs, on sait d'après un ré- sultat de G. Gras (cf. [7] théorème II. 1\ on pourrait le retrouver à l'aide de la démonstration du § 5 et des résultats de [14] notam- ment 9.4 (12)) que la formule obtenue en faisant le produit des rela- tions analogues à ( 11 ) pour $ et ses conjugués sur Q est valable sans constante parasite : on en déduit que o^() vaut 1 et qu'on a le même résultat pour les conjugués de $. D'où le théorème 3 ' . Nous avons donné en 6.4, théorème 5, des conditions suffisantes pour que la conjecture 2 soit satisfaite. Enonçons un résultat similaire qui sera démontré en 7.4. Explicitons des conditions sur le caractère $ (<°(K') est un A'-module donc d'après (10), e-QÇK')<^>

est un A[0 )]-module) :

c'1 e-Q(K1) est un A[<J )}-module monogène.

c'2 2 n 'est pas totalement décomposé dans K^ /Q.

Alors :

THEOREME 5'. — Si le caractère $ et ses conjugués sur Q vé- rifient c l et c2, ils vérifient la conjecture 2\

Remarque. — Soit ^(K) le 2-groupe des classes de K au sens restreint. En appliquant le lemme de Nakayama à l'anneau local A[<J>] et à son idéal maximal ( 2 , 1 - J) on voit que la condition c'1 est équivalente (à condition que c'2 soit vérifiée) à la condition c"l qui ne porte que sur K :

c"l ê-(°o(K) est un {^-module monogène.

<î> -

7.3. Démonstration du théorème 4 ' . — Supposons (hypothèse du théorème 4') qu'il existe un pseudo-isomorphisme

^(Gal(LL/KL)-)—^ A[[T]]/(/(T, V/)).

Le même raisonnement qu'en 6.3 conduit à l'existence d'un pseudo- isomorphisme (g étant défini comme en 6.3) :

(26)

74 R. GILLARD

^ (Gal(ML/NJ^) —^ A[[T]]/(^). (12) On a un diagramme commutatif où les lignes sont exactes :

0 -^ é^Gal(ML/NJ —^ ^Gal(ML/KL) -^ ^Gal(NJKL) -^ 0 11 - J 11 - J 11 -J

0 -^ ^ Gal(ML/NJ —^ ^ GaKML/0 -^ ^ GaKNJO -^ 0.

Le lemme du serpent donne alors une suite exacte de Z^ [[T]]-modules où F désigne le noyau de la multiplication par 2 dans ^Gal(N^/KL):

F —^ ^(Gal(ML/NJ^) -^ ^(Gal(ML/KL)+)

-^^(Gal(NjK^)-^O. (13) De la démonstration du théorème 15 de [13], en tenant compte de l'idempotent e^ , on déduit qu'il existe un pseudo-isomorphisme où Z est un Z^-module de type fini et d désigne comme plus haut la dimension du caractère $ : e^.GaWjK'J—> (Z^T]]^ ®Z.

On en déduit que le module F de (13) est fini et qu'il y a un pseudo- isomorphisme

^(Gal(NjKL)^) —^ F, [[T]^ . (14) puisque d'après la théorie de Kummer J opère sur Gal(N^/KL) comme — 1 . En raisonnant comme dans 6.3, on voit que le conoyau de o^ dans ^Gal(ML/ïO+ s'identifie à ^(Gal(M^/K^)+).

Remarquons que Gal(M^/K^)+ s'identifie aussi au groupe de Galois de Mf, l'extension maximale de K^ parmi les 2-extensions abé- liennes non ramifiées pour les places finies premières à 2. Désignons par |3y,(<Ï>) (resp. 7^($)) l'ordre du conoyau (resp. du noyau) de la multiplication par c^ dans ^(Gal(Ml,/K^)+). Alors:

^($)=[^Gal(M^/K,)]. (15) LEMME 12. - On a : j3J$) =7«($).| n 1^(1, x)

xl^

-i

Les calculs que nous allons faire pour démontrer le lemme 12 seront facilités par le lemme 13 dont la preuve ne présente aucune difficulté. Le lemme 13 est énoncé avec un nombre premier 8. et n'est utilisé que pour C = 2. Si M est un Zg[[T]]-module strictement fini (cf. [11]), c'est-à-dire un module tel que pour tout

^ G N , le conoyau M/c^M et le noyau ^M de la multiplication [M/c^M]

par o?^ sont finis, on note [M]^ le quotient LM]

(27)

LEMME 13. —

i) Si M est un Z^T^-module qui est un groupe fini, M est strictement fini et pour tout n G N , [M]^ vaut 1 . ii) Pour toute suite exacte de Z^T^-modules strictement finis 0—> M'—>M—> M"—>0 on a pour tout n E N : [ M L = [ M V [ M " L .

Démonstration du lemme 12. — On déduit du lemme 13 et de (12), (13), (14) que : ^($) = 7^$) [(^[[T]])^ . [A[[T]]/(g)L . On calcule [A[[T]]/(g, c^)] comme dans 6.3. On tire alors de l'in- jectivité de la multiplication par <*;„ dans A[[T]]/(^) la relation :

[A[[T]]/QOL == n în

0

!^

xl^ 2

II est facile de calculer [(F,[[T]])^ : [(F,[[T]])^ = 22"'^ . Le lemme 12 résulte alors du fait que $* est de dimension 2" . r f . Le théorème 4' résulte alors de (15) du lemme 12 et du lemme suivant :

LEMME 14. -tordre de ^Gal(M^M^) divise 22"'^ .

Démonstration. — Interprétons les groupes GaKM^/K^) et Gal(M^/K^) à l'aide de la théorie du corps de classes. Soit !„ le groupe des idéaux de K^ premiers à 2. Soit P'' (resp. Q^) le sous- groupe de !„ formé d'idéaux principaux qui admettent un géné- rateur congru à 1 modulo V (resp. congru à 1 modulo î et to- talement positif). Les groupes Gal(M^/K^) et Gal(M^/K^) sont respectivement les limites projectives des groupes îJQ^ et I^/P^

pour les surjections canoniques. Mais comme Gal(M^/K^) et Gal(M^/K^) sont finis (cf. toujours [13] § 2.2) ils sont en fait égaux à ÏJQ^ et ïJP^ pour r assez grand. Fixons dorénavant une telle valeur de r : on obtient ainsi un isomorphisme de G^- modules : P^/Q^ - Gal(M^/MJ.

Soit F^ (resp. F^) le sous-groupe de K^ formé des éléments congrus à 1 modulo V (resp. qui sont congrus à 1 modulo î et totalement positifs). L'application qui à un élément de K* premier à 2 associe l'idéal principal engendré induit un homomorphisme surjectifde A-modules : F°/F1 —> P^/Q^ .

(28)

76 R. GILLARD

Choisissons un plongement i de Ky, dans R et définissons pour chaque o G G^ = Gal(K^/Q) une application ^ :

w ^ ^ • ^ ( ! si ï(a(a)) < ° V a C K ; ^ ( 0 ) = ^ ^ ,(^>o.

Définissons une application S de K^ dans F^[GJ :

S(a)= S Wo-1 •

aGG^

Alors S définit un homomorphisme injectif de G^-modules de F^ dans F,[GJ. Ainsi [^(P^/Q^)] divise [e^(P°JF^] donc aussi [^,F^[GJ] qui vaut 1d•ïn .

7.4. Démonstration du théorème 5'. — Nous suivons la même mé- thode que pour le théorème 5. Désignons par X (resp. X(<ï>)) le groupe Gal(L^/IO (resp. ^-Gal(Ll,/îO). On démontre exac-

<ï>

tement comme en 6.4 les deux lemmes suivants :

LEMME 8'. — Si la condition c ' 2 est vérifiée, alors pour tout n on a un isomorphisme de A[( Démodules : ^_(S(K^) ^ X($)/cj^.X($).

LEMME 9 ' . — Si les conditions c l et c 2 sont vérifiées, X($) est un (A[<J)]) [[T^-module monogène.

De même qu'en 6.4, on énonce :

LEMME 10'. -Le A[[T]]-module X($)_ est annulé par 2/(T, ^/).

Démonstration. — On raisonne comme dans [1] lemme 2.10 : on applique le théorème de Stickelberger à K^ . On le traduit sur e-.Q(K^)_ en utilisant Fisomorphisme déduit de (10 bis) :

^-(Z^[G^])_ ^ A|TJ. Cet isomorphisme est obtenu comme dans (2) de 1.1 en faisant jouer les rôles de A et 4/Q à A' et \p (^/ comme dans 6.1) : le produit de l'élément de Stickelberger et de e- est envoyé sur l'élément 2^ de [12] § 6.4 : en passant à la limite projective la famille (Ç^) correspond à la série /(T, i//).

Considérons un système de représentants R du quotient de G(Q(^ )/Q) par le sous-groupe de décomposition de 2 dans Q(^ )/Q. Soit ^ le Q-caractère de A : $ = ^ a(<ï>) = ^ °W

oGR oGR

(29)

et ^* le caractère de A' induit par Ç (en considérant A comme un sous-groupe de A').

LEMME 11'. —

i) L'extension des idéaux induit une injection de e^6(K^) dans e(K^).

ii) // existe une constante C indépendante de n telle qu'on

ait : Me(K;,)_)] = c n n |/(? -1, Q) |-

¹

.

ç 6\Ïi* §•2"=!

ôœ—l ^i

Démonstration de i). — Soit H^ le groupe Gal(K^/K^) et JLI^ le groupe des racines de l'unité dans K^ : vue l'hypothèse

£ / [ A ] , JLI^ est d'ordre une puissance de 2. De plus, H^ agit trivialement sur E^/ju^ qui est un Z-module sans torsion : le groupe de cohomologie H^H^, E^/JLA^) est donc nul. La suite exacte de cohomologie déduite de la suite exacte de H^-modules 0 -^ ^ -^ E^ -^ E^/^ —^ 0 prouve que H^ , E^) est l'image de H1 (H^, jn^) ^ ^nl^n 1 g1'011?6 d'ordre 2 . L'action de G^ = Gal(K^/Q) sur H1 (H^, E'^) est donc triviale. Comme le noyau de l'application d'extension des idéaux de Ky, à K^ peut être envoyé par un G^-homomorphisme injectif dans H^H^^^,) (résultat classique, cf. aussi [5]), on voit que sa ^-composante est triviale, d'où la partie i) du lemme.

Démonstration de ii). — Remarquons d'abord que [^((°(ï0_)]

et [^((^(K^)")] sont égaux. Or d'après la partie i), on peut iden- tifier sur ^e(K^) les noyaux de (1 + J) et de l'application

^ô(K^)—^^(S(K^) déduite de la norme des idéaux. Donc [^fc((°(K^)_)] est l'ordre de la Ç-partie du 2-groupe des classes relatives de K^, . Il suffit alors de raisonner comme pour le lemme

11 de 6.4 pour obtenir ii).

Démonstration du théorème 5'. — Si $ vérifie c'1 et c'2, on sait d'après le lemme 9 ' que X($)_ est delà forme A[[T]]/(/'(T,$)) avec /'(T,$)CA[[T]]. Du lemme 10', on déduit que /'(T,) divise 2/(T, V/) donc aussi /(T, ^) puisque l'invariant JLA de Gal(LL/0 est nul ( £ = 2 , cf. [2]): soit ^(T,$) le quotient.

On peut évaluer ^_e(K')_ à l'aide du lemme 8' et de calculs •*

(30)

7 8 R. GILLARD

analogues à ceux de 6.3. En désignant par N la norme de L (cf. 1.1) à Qç, onobtient: [e-eOOJ = | N / n /'(? - 1, ^l-1 .

^ | \s-2"=i /|

En faisant le même raisonnement pour les conjugués de $ et en comparant au lemme 11', on en déduit que les séries ^(T,a()) ( c r G R ) sont inversibles. L'application canonique X — ^ X_ induit un A[[T]]_ homomorphisme X~——> X_ dont le noyau et le co- noyau sont annulés par 2 donc sont finis (encore d'après jn = 0 pour X cf. [2]) : X(,a(<î>))~ et X(a($))_ sont donc pseudo- isomorphes ; d'où le théorème 5'.

BIBLIOGRAPHIE

[1] J. COATES et S. LICHTENBAUM, On C-adic zêta functions, Annals of Maths, vol. 98, n° 3, pp. 498-550.

[2] B. FERRERO, Iwasawa invariants of abelian number fieids, Math. Ann., 234(1978).

[3] A. FRÔHLICH, Ideals in a extension field as modules. . ..Math.

Zeit., 74 (1960), 29-3 8.

[4] R. GILLARD, Sur le groupe des classes des extensions abéliennes réelles. Séminaire Delange-Pisot-Poitou, exposé du 3.1.77.

[5] R. GILLARD, Unités cyclotomiques et Zg-extensions, Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux, 25 mars 1977.

[6] G. GRAS, Classes d'idéaux des corps abéliens et nombres de Bernoulli généralisés, Ann. de VInst. Fourier, t. 27, n° 1 (1977), 1-66.

[7] G. GRAS, Etude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens. Journées arithmétiques de Caen (1976), Asté- risque, n° 41-42 (1977), 35-53.

[8] R. GREENBERG, On p-adic L functions and cyclotomic fieids II, NagoyaMath. J., 67 (1977).

[9] H. HASSE, Ûber die Klassenzahl abeischer Zahikôrper, Akademie Verlag, Berlin, 1952.

(31)

[10] K. IWASAWA, A note on class numbers of algebraic number fieids, Abh. math. Sem. Hamburg, t. 20 (1956), 257-258.

[11] K. IWASAWA, On some properties of F finite modules, Armais of Maths., vol. 70, n° 2, (1959), 291-312.

[12] K. IWASAWA, Lectures on p-adic L-functions, Ann. Math Studies, 74, Princeton Univ. Press.

[13] K. IWASAWA, On Zg-extensions of algebraic number fieids, A nnals of Maths, vol. 98 (1973), 246-326.

[14] H. LEOPOLDT, Uber Einheitengruppe und Klassenzahl reeller abeischer Zahikôrper, Abh. Deutsche Akad. Wiss., Berlin, 2 (1954).

[15] H. LEOPOLDT, Ûber die Hauptordnung der ganzen Elemente eines abeischen Zahikôrpers, J. reine angew. Math., 201 (1959),

119-149.

Manuscrit reçu le 11 juillet 1977.

Roland GILLARD, Université de Grenoble 1 Laboratoire de Mathématiques Pures

Associé au CNRS n° 188 Institut Fourier

B.P. 116

38402 Saint-Martin d'Hères.

UNITÉS SEMI-LOCALES ET Z^-EXTENSIONS

UNITÉS CYCLOTOMIQUES