THÉORIE DES NOMBRES Années 1996/97-1997/98 BESANÇON
E x t e n s i o n s c y c l i q u e s T - t o t a l e m e n t r a m i f i é e s
G . G R A S A . M U N N I E R
E x t e n s i o n s c y c l i q u e s T - t o t a l e m e n t r a m i f i é e s p a r
Georges G R A S et Adeline M U N N I E R
1 I n t r o d u c t i o n
Soient k u n corps de nombres, p u n n o m b r e premier, e u n entier > 1, et T u n ensemble fini non vide d'idéaux premiers de k vérifiant N i = 1 m o d pe p o u r t o u t 1 e r 1 .
Nous nous proposons de d o n n e r , en termes de corps gouvernants (au sens de [4] ), u n e condition nécessaire et suffisante à l'existence d ' u n e extension ke de k, cyclique de degré pe, T - t o t a l e m e n t ramifiée (i.e non ramifiée en dehors de T , non complexifiée (si p = 2), et telle que t o u t i £ T soit t o t a l e m e n t ramifié dans ke/ k ) .
La construction de ce t y p e d'extension est liée au problème de principalisation étudié d a n s [2] : D a n s cet article, é t a n t donnés u n e extension abélienne finie F de k, de degré étranger à p, et u n idéal a de F , d ' o r d r e pe, e > 1, d a n s le g r o u p e des classes de F , le premier a u t e u r m o n t r e q u e l'on p e u t principaliser a dans u n e extension de F , abélienne sur k, à partir d'extensions cycliques de degré pe d e k, T - t o t a l e m e n t ramifiées. P o u r ce faire, il utilise un ensemble fini T de places finies modérées de k, p o u r lequel, p o u r t o u t / € T , il existe u n e extension cyclique ke(l) de k, de degré pe, et {/}-totalement ramifiée ; ainsi, dans le composé direct des ke(l), i £ T, on p e u t trouver ke, cyclique de degré pe sur k, T - t o t a l e m e n t ramifiée. Sous des conditions supplémentaires d ' e n g e n d r e m e n t p a r les Frobenius des éléments de T , d a n s u n corps gouvernant convenable, l'extension K = keF principalise a.
La construction de ke, via celle des ke(l), d e m a n d e que les éléments de T vérifient des conditions simples à réaliser mais inutilement fortes 2 ; il est d o n c légitime de chercher à caractériser les parties T qui conduisent à l'existence d ' a u moins une extension cyclique d e degré pe, T - t o t a l e m e n t ramifiée.
C'est le b u t de cet article qui s'appuie essentiellement sur u n e é t u d e menée par le second a u t e u r ; il généralise également u n ancien problème posé dans [1], et résolu d a n s [1] et [4,th.6.1] p o u r le cas | T | = 1.
1 Cette condition sur les normes absolues étant trivialement nécessaire pour le problème de ramification modérée étudié, il est plus simple de la supposer dès le départ.
2Ces conditions suffisantes sont rappelées dans la remarque (5.1).
1
Le résultat principal est constitué p a r l'énoncé suivant :
T h é o r è m e 1 . 1 Soient k un corps de nombres, A = { a G kx, ( a ) puissance p-ième d'idéal } et E C A le groupe des unités de k.
Soit T = { h , . - . , ln} un ensemble de n > 1 idéaux p r e m i e r s de k, tel que NI, = l m o d p ® , p o u r tout i € soit {£i,e> • • • , £n,e} un ensemble de n idéaux premiers de k(pp«) tels que p o u r tout i € [l,Ji].
Alors il existe une extension cyclique de degré pe de k, T - t o t a l e m e n t ram- ifiée, si et seulement si il existe (ot)*e[i,»»] € (2Z/pe2Z)n, ai ^ 0 mod p, p o u r tout i, conduisant à la relation suivante, en termes de Frobenius :
i-1 \ Ve s
rï ^ ( ^ ( E A ^ y ) / k ( pp. ) y = L
i=1 \ £»>e /
1 . 1 N o t a t i o n s e t r a p p e l s
(i) P o u r u n corps de nombres k, nous notons : E le g r o u p e des unités de k,
A = { a € k * , ( a ) puissance p-ième d'idéal },
km le corps de classes absolu de Hilbert de k (pour lequel G a i ( km/ k ) est isomorphe au g r o u p e des.classes de k).
(ii) Soit T = {/i, . . . , / „ } u n ensemble de n > 1 idéaux premiers de k tels que NU = 1 m o d pe, p o u r t o u t i G [l,w] ; on lui associe le m o d u l e :
m = n h, t=i et on désigne p a r :
J y le groupe des idéaux fractionnaires de k étrangers à T , k } = {x G k * , ( x , T ) = 1},
PT = {(x), x G k } } ,
= {x G Jty, x = 1 m o d m } , Em = E n k £ ,
R n = {(x), x € k l ) , C lm = J r / R m ,
A f — A C] k£ (on a A = ATkX p) .
(iii) P a r la théorie d u corps de classes, il existe u n e extension abélienne de k, notée k (m\ appelée le corps de classes de rayon m d e k, telle q u e Gal(&(m'/fc) ~ C lm, l'isomorphisme é t a n t réalisé via l'application d ' A r t i n ; k ^ est aussi l'extension abélienne T - m o d é r é m e n t ramifiée m a x i m a l e de k (cf. [3, §1.1.2] ).
(iv) P o u r chaque i € [1, n], on n o t e kit le corps résiduel de k en /,• et le groupe d'inertie de U d a n s k ^ / k .
(v) Si T est un g r o u p e abélien fini, on note T* le g r o u p e d u a l H o m ( r , Cx) , et p o u r t o u t h o m o m o r p h i s m e de groupes h : T — • T', on désigne p a r h* : P * — • T*
l'application duale définie p a r / i * ( x ' ) ( t ) — x ' ( M t ) ) > Po u r t o u t x ' € T'* et 7 G T.
1 . 2 L ' a p p l i c a t i o n d e r é c i p r o c i t é d a n s l e c a s m o d é r é
Posons G — G a l ( f c (m) / Pr) ; l'application d ' A r t i n , restreinte à P t , d o n n e lieu à la suite exacte suivante :
1 — E / Em — k $ / k Z - A G — 1, (1)
dans laquelle p(x) = , p o u r t o u t x € k ^ .
C o m m e p a r ailleurs on a la suite exacte canonique : B U
1 • • y PJ k{. • 1,
»'=i on p e u t écrire (1) sous la f o r m e :
l - ^ O i E ) - > f [ k ï i - ^ G - + l (2)
«=1
et on p e u t considérer 7r c o m m e u n e f o r m e particulière de l'application de réciprocité, définie sur le g r o u p e des idèles de k, et restreinte ici aux idèles unités de s u p p o r t T.
O n sait que la restriction de w a u sous-groupe {1} X . . . X kf X . . . X {1} ~ kf., conduit à la suite exacte :
1 — 9 { E ~ ) — k£ — IU — I- (3)
Nous utiliserons également, p o u r t o u t e > 1, les suites exactes suivantes, déduites d e (2) :
1 _ ee( E ) — n W ^ G/ °p° — (4)
i=l où 6e est l'application composée :
n n x e
^ t — n ^u * n ^u i K • i=1 i=l
1 . 3 B a s e s e t b a s e s d u a l e s
(i) C o m m e les idéaux premiers /, e T vérifient NU = 1 m o d pe p o u r t o u t i € [1, n], et q u e n o u s aurons à considérer u n corps gouvernant extension de k(fj.p<>), on p e u t remplacer les corps résiduels k{{ p a r les corps résiduels k ( npe )z. , de k(fj,pe) en u n idéal premier fixé £,i e au-dessus de /,• d a n s k(fipe), puisque les /,• sont totalement décomposés dans k(fipc)/k. Ainsi, les notés encore kt{, contiennent l'image résiduelle d ' u n e racine primitive pe-ième de l'unité fixée, (e, ce qui définit u n e famille cohérente d'éléments d ' o r d r e pe des groupes k*. = k(fip<t)£.
O n désigne alors p a r f j , j € [1, n], des générateurs des {1} X . . . X fcj* X . . . X {1}
tels que 3 :
f j " - ( 1 , . . . , (e m o d . . . , 1) , p o u r t o u t j € [1, n]. (5)
n — x — X e
On désigne ensuite p a r g j e les images canoniques des f j d a n s J J kl ; /kl { .
«'=1
n e
O n associera a u choix ci-dessus d ' u n e "base" (flrj,e)ie[i,n] de J J k j . j kt , la "base t=i
duale" (^,e)je[i,n], définie p a r :
9j,e(9j,e) = Ce, 9j,e{9i,e) = 1 POUr t o u t i ± j . (6) (ii) O n pose Ci = Ce" ' p o u r t o u t j € [ l , n ] , o n n o t e £jiX l'idéal premier
en-dessous de £jiC dans k(fip). Alors, on a, de manière cohérente :
f j P = ( 1 , . . . , Ci m o d 1), p o u r t o u t ; € [ l , n ] , (7) n
et si les gj^ sont les images canoniques des f j dans J J les bases duales correspondantes (#*Jje[i,„] et (sfj,i)je[i,n] vérifient : i=l
9*Pe 1 = 9j,v Po u r t o u t i € [1, n]. (8)
R e m a r q u e 1 . 1 P o u r éviter un surcroît de notations, nous confondons les groupes de Galois de la théorie du corps de classes et les groupes de classes correspondants, étant entendu que l'on passe toujours des u n s aux autres p a r une application déduite canoniquement de celle d'Artin.
3Les f j peuvent être représentés par des éléments de k.
2 C a r a c t é r i s a t i o n d e s e x t e n s i o n s c y c l i q u e s T - t o t a l e m e n t r a m i f i é e s d e d e g r é p
D a n s ce p a r a g r a p h e , nous résolvons le cas e = 1 qui représente u n e é t a p e particulière p o u r le cas général.
Soient T et m fixés comme dans (1.1), (ii), soit G = Gal(fc(m)/fc1"") et soit L la sous-extension (p-élémentaire) de fc^/fc1"" fixe par H = G fl C l ^ .
On a le schéma suivant :
jfcnr R i L _ J L _ tfm)
k™\p\ jfe(«)[p] (9)
fc kr M
dans lequel fc<m)[p] est le sous-corps de fc<m) fixe par Clpm, fc^fp] = T n fc<m)[p] est fixe p a r G C l ^ ; ainsi L est le composé direct, sur jfe^fp], d e km et *<m>[p], et c o m m e Gal(k(m)[p]/k) est u n Fp- e s p a c e vectoriel, il existe M Ç fc(m>[p] tel que fc<m)[p] soit le composé direct de M et fc^Lp], donc tel q u e L soit le composé direct, sur k, de M et km (on n o t e r a q u e fc(m)[p] (resp. ^"[p]) la sous-extension m a x i m a l e p-élémentaire de k W (resp. km) ) .
D o n n o n s t o u t d ' a b o r d des conditions nécessaires :
S'il existe u n e extension fci, cyclique de degré p de fc, T - t o t a l e m e n t ramifiée, K \ = fcifcnr est contenue dans L et on a les faits suivants :
N = G a l ( L f K i ) est un h y p e r p l a n d u IFp-espace vectoriel G j H ; (10)
G / H = N © Ii, H / H , p o u r t o u t i G [1, n]. (11) E n effet, (10) est évident et (11) résulte du fait que I ^ H / H , qui est le groupe
d'inertie de U dans L / km, est cyclique, d ' o r d r e p, et n'est pas contenu dans N puisque fci/fc, donc K \ / km, est t o t a l e m e n t ramifiée en
M o n t r o n s que ces conditions sont suffisantes :
S'il existe u n h y p e r p l a n N de G / I I tel que la condition (11) soit vérifiée, alors nécessairement la sous-extension i f1/ f cn r fixe p a r N est, p o u r t o u t i € [1 ,n], totale- m e n t ramifiée en U ; elle est donc T - t o t a l e m e n t ramifiée. C o m m e L est le composé
direct, sur k, de fc™ et M , K \ se redescend en u n e extension kxÇ M de k, cyclique de degré p et T - t o t a l e m e n t ramifiée.
O n a donc o b t e n u l'équivalence suivante :
Il existe u n e sous-extension de k ^ / k , cyclique de degré p, T - t o t a l e m e n t rami- fiée, si et seulement si il existe u n h y p e r p l a n N de G / H tel q u e :
G / H = N ® IUH / H , p o u r t o u t i € [ l , n ] . (12)
Nous allons t r a d u i r e (12) en termes d'invariants numériques d u corps k ; pour cela nous utilisons la suite exacte générale suivante (cf. [3, § 1.1.1]) :
i — o m t ) — n w Q i H — ( i 3 )
t=i où 7Ti est le composé surjectif :
f [ k l / k lv G / G * — G j H
»'=1 (cf. (4) p o u r e = 1).
On utilisera n o t a m m e n t la suite e x a c t e duale :
1 ( G / H ) * ( f l K f f î r — C i W ) * — 1. (14) i=l
D ' a p r è s (3) et (13), on a, p o u r t o u t i G [ l , n ] (cf. § (1.3)) :
< * i ( gi A) > = IhH / H . (15)
Alors, de (12), (14) et (15), on déduit l'équivalence des assertions suivantes :
• Il existe u n h y p e r p l a n N de G / H tel que :
G / H = N © It iH / H , p o u r t o u t t € [1, n] ;
• il existe u n h y p e r p l a n N de G / H tel que :
G / H = N © < #i($ri,i) > , p o u r t o u t i <E [ l , n ] ;
• il existe Xi € { G / H ) * tel que :
Xi(*i(f«\i)) ± 1 , p o u r t o u t » € [ l , n ] ;
• il existe Xi € { G [ H ) * tel q u e :
ârî(Xi)(ft,i) / l , p o u r t o u t i € [ l , n ] ; n
• il existe G ( J J k f . / k f * ) * tel que : t=i
ipi G Im(7fj) et ipi(gi,i) ^ l , p o u r t o u t i G [ l , n ] ; n
. il existe <px = J ] 9 Ï $ , («.O.'eM € ( ( Z / j > Z Z )x)n tel que : 1=1
O i ( At) Ç Ker(t/?x) (cf. (14)).
L a t r a d u c t i o n de (12) en termes d'invariants numériques de k est donc : Il existe (a»)l6[i,n] ^ ( ( ^ / P ® ) * ) " ^ Q.ue :
£ atxi = 0, p o u r t o u t ( z , )i 6 M € ( S / p K )n tel que f [ g R G 9X{AT). (16) )=i ' t=i 3 E x i s t e n c e d ' u n c o r p s g o u v e r n a n t ( c a s e = 1 )
Nous allons t r a d u i r e la condition (16) précédente en t e r m e s de Frobenius dans u n corps gouvernant (i.e. u n e extension de k qui ne d é p e n d e q u e de k).
D é f i n i t i o n 3 . 1 On pose Fx = k ( pp, A p ) , où A = { a G kx, ( a ) puissance p-ième d 'idéal }.
i
D ' a p r è s l'égalité A = A r &x p, on a aussi Fx — k ( pp, A f ) mais il est i m p o r t a n t de noter q u e F \ n e d é p e n d que de k.
O n rappelle q u e les choix précisés en (1.3) supposent q u ' o n a fixé des idéaux
£«',i\h, i € [1,n], du corps k ( pp) .
La théorie de K u m m e r m o n t r e facilement que F i / k ( f xp) est au plus ramifiée en p. Donc p o u r chaque i G [ l , « j , l'idéal premier £t l de k(fj,p) au-dessus de /,• définit le Frobenius <r,- = élément de G a l ( F1/ k ( pp) ) .
O n a alors, pour t o u t a € A ? et t o u t i € [1, n] : (Ti(ap)
i Ca,i € nP, (17)
a p et, c o m m e p a r définition :
<n(ap) = ( a p )N l i m o d £t- , i ,4
il vient : Nlj-l
(a,i = a p m o d £t, i . (18)
n
Si 0 i ( a ) = Y l f f i J 'y Xa<> ^ ZS/pZZ; alors (cf. (5) p o u r e = 1) : i=l
Nlj-l .
a p = Ci"'' m o d £t i l, pour t o u t ï 6 [1,n], d'où, p a r (18) :
Ca,i = C " , Po u r t o u t * € [1,n]. (19)
La condition (16) est donc équivalente, d ' a p r è s (19), à : Il existe (a»).-e[i,n] € ( CZ/ p 7 L ) * )n tel que :
n
I l O = Po u r t o u t a € Ar, i=i
elle-même équivalente, d ' a p r è s (17), à :
Il existe (a,)i 6 [ 1,n ] € ({7L/p7Z)x)n tel que f [ a ? = 1. (20) t=i
O n a donc o b t e n u le résultat suivant :
P r o p o s i t i o n 3 . 1 (cas e = 1) : Soit k un corps de nombres et soit A = { a € kx, ( a ) puissance p-ième d'idéal }.
Soit T = { / i , . . . , /n} un ensemble de n > 1 idéaux p r e m i e r s de k tels que N l i = 1 m o d p , p o u r tout i 6 [ l , n ] .
Alors il existe une extension cyclique de degré p s u r k , T - t o t a l e m e n t ramifiée, si et seulement si il existe ( a ; ) ,e[l n] € ((2Z/p2Z)x) tel que :
i=i \
40 n devrait écrire cette congruence modulo un idéal premier de Fi au-dessus de £{,1, mais on vérifie qu'elle vaut pour tout tel idéal, donc modulo l'étendu de £( ii dans F\.
R e m a r q u e 3 . 1 La condition (20) est indépendante du choix de ( ^ f f i ^ ) (i.e. de
£>i,i\h), m a i s non le n-uple (ai)i€[l n] € ((2Z/p22j)x)n : en effet, si wi : Gal(jfc(/ip)/Jb) — • { Z / p 2 Z )x
désigne le caractère de l'action de G a i ( k ( f ip) / k ) s u r nP et si p o u r chaque fi,-^, est l'un de ses conjugués, Si étant un élément de G a l ( k ( nP) / k ) , alors on sait p a r la dualité de K u m m e r (compte tenu du f a i t que Gai(k(fj,p)/k) opère trivialement s u r le radical A ) que :
( ' J r ) = ( V ) ' P °u r t o u t » € [l, n] ; et donc on a :
n - i . ( « i U r f « m / p ^ r , qui est équivalent à :
4 R é s o l u t i o n d u c a s g é n é r a l
O n s u p p o s e donc m a i n t e n a n t e > 2 et on considère u n ensemble T f o r m é de n > 1 idéaux premiers /, tels q u e iV7,- = 1 m o d pe, pour t o u t i € [1 , n].
O n a alors le résultat préliminaire suivant :
L e m m e 4 . 1 II existe une extension cyclique ke de k, de degré pe, T - t o t a l e m e n t ramifiée, si et seulement si il existe une extension kx de k, de degré p, T - t o t a l e m e n t ramifiée, telle que K \ = kik"1 soit contenue dans une sous-extension cyclique Kt de degré pe de k ^ / km.
D é m o n s t r a t i o n :
U n sens é t a n t évident, soit Ke/ km, cyclique de degré pe, contenant K \ — où k \ j k est T - t o t a l e m e n t ramifiée de degré p ; de ce fait, K \ j km est aussi T - t o t a l e m e n t ramifiée, ce qui entraîne cette propriété pour Ke/ k ™ car elle est cyclique de degré puissance d ' u n n o m b r e premier.
Ensuite, en p o s a n t Te = G a i ( Ke/ k ) , Ce = G a l ( / C / &n r) , on a 5 :
r gp( re) = r gp( re/ C /_ 1) ( c a r e > 2) = r gp( G a \ { Kx/ k ) ) = i gp{ T j Ce) + 1,
5Où rg ( r ) désigne dimjp ( r / rp) pour tout groupe abélien fini T.
puisque k j n'est p a s contenu d a n s km ; d o n c CB est f a c t e u r direct dans Te et il existe u n e extension cyclique ke de k, de degré pe, et linéairement disjointe de km/ k ; c o m m e Ke/ ke est non ramifiée, ke/ k est T - t o t a l e m e n t ramifiée.
D é m o n s t r a t i o n d u t h é o r è m e p r i n c i p a l ( 1 . 1 ) :
Considérons le d i a g r a m m e c o m m u t a t i f suivant, obtenu à p a r t i r de la suite e x a c t e (4) d u § ( 1 . 2 ) :
i ( g / Gp° ) * ( n * ï / * r y —> w — 1
T t t 1 — ( G / G r X ( n ^ / ï J ' V — o1( E y — 1.
v 1=1 '
La première condition d'existence de ke est celle de k\ (lemme (4.1)), donc n
l'existence de <pi € ( J J k f j k * ^ ) * vérifiant les conditions suivantes (où l'on rappelle que H = G C\ Cl1^) ( c ï § 2 ) :
<Px = * î ( X i ) , XI € ( G / H T , et n = n 9i,i', (21) i=i
bi 6 (TLjpTL)x p o u r t o u t i Ç [1 ,n], où l'on rappelle que x* est le composé : { G I H y ^ { G I G y $ ( f [ k l l k l P X - ,
le noyau N d e x i fixe p a r définition le corps K i , et l'existence de Ke ( c f . l e m m e (4.1)) est donc équivalente à la condition supplémentaire :
Xl = Xl >
p o u r Xe € ( G / Gp e) * , dont le noyau définit Ke.
O n a donc, en voyant Xi c o m m e caractère de G / Gp" (au lieu de G / H ) : K ( X l ) = < ( X e f ~ \
soit (puisque l'on a alors <pi = ^ ( x i ) = ^ ( X i ) ) :
= K i X e f ' 1 = VPe~\
où l'on a posé :
V »=1 '
On a donc obtenu, c o m m e condition nécessaire et suffisante d'existence de Ke :
Il existe <pe G Ini(7r*) tel que : i
<fi = € I m ( f i ) et v i = jQ € (K/ ?2 Z)X P °u r t o u t * e l1»»]
n *bi i=l
Il existe <pe = [ J g ™e\ a,- € ( Z / peZ )x p o u r t o u t t € [ l , n ] 6 , tel que :
»=i
0e( £ ) Ç K e r (V e) et 9l( AT) Ç K e r ( v > f ' )
Il existe (a;).'e[i n] ^ )" vérifiant les 2 conditions suivantes :
n n (i) J ^ o t f f = 0 m o d p, p o u r t o u t ( y i )i e [ h n ] € {7L/p7L)n tel que [ ] gy%\ € & i ( At) ,
i=i i=i n n (ii) J ] aiXi = 0 m o d pe, p o u r t o u t (*<)<e[i,n] G (7L/pe7L)n tel que R gf;e G 9e( E ) .
t=l ' i=l R a p p e l o n s q u e les familles (^«.î),^^^] et (^i,e),e[l n] d é p e n d e n t du choix d ' i d é a u x
premiers £,4 de k(nP) et £;,e de k(ppe), au-dessus des U, avec £,>|£t\i (cf. (1.3),(ii)).
O n a d é j à m o n t r é (cf. (20)) que la condition (i) est équivalente à :
I K ' ^ l , (22) dt modp
i=1
où cri est le Frobenius de £,-,1 d a n s k ( pp, A p ) / k ( p1 , p) .
O n utilise m a i n t e n a n t le corps gouvernant : Fe = k ( f xpe , E ^ ) .
Si p o u r t o u t i G [1, n], r,- désigne le Frobenius de £,ie d a n s G a l ( Fe/ k ( ppe ) ) , on a alors p o u r t o u t e G E :
T i ( e ^ )
X Ce,»' G e"e
puis :
T i ( e F ) _ , t • = e " m o d £,i 6, ep55'
ce qui conduit, c o m m e p o u r le cas e = 1, à : C • = f*'-1' Se,« Se >
6I1 est clair que l'on a a, = 6; mod p, pour tout i € [1, n], en vertu de la relation (8).
OÙ 9e(e) = € 7Z/pe7Z.
»=i
L a condition (ii) précédente est donc équivalente à : n
n q = p ° u r t o u t £ € e , i=1
qui est bien équivalente à :
I K ' = 1. (23) t=i
Notons q u e le n-uple (ûi),g[i)n] € ((7Z/pe7Z)x)n d é p e n d du choix des idéaux premiers £,i e d a n s & ( / v ) mais non les conditions (22) et (23). E n effet, si
u>e : G a l ( f c ( / v ) / * ) — f {TL/p'TL)*
désigne le caractère d e l'action de Gal(k(fipe) / k) sur ppe, si p o u r chaque £,i e, £,-', e est l'un de ses conjugués, t'{ é t a n t un élément de Gai(k(p,pe)/k), si £,,! est l'idéal premier de k ( pp) au-dessous de £,->e, alors pour t o u t i € [1, n], l'idéal premier de
t- V •
k(p,p) au-dessous de £,'e est £,•*! , où ti est la restriction de t'{ à k ( pp) et on a : a)e(t'i) = uJi(ti) m o d p ,
et p a r la dualité de K u m m e r , on a, p o u r t o u t i £ [1, n] : { F e / k M \ = ( F j k M Y ' W
donc on p e u t écrire que :
n ( ^ f ) " - 1 et n ( ^ p - i . ( » . ) , , „ , . m m r r . est équivalent à :
g ( F j k M y ^ = x e t g f F x i k j p j y ^ ™ ^ =
avec ( W ^ O W . - ] e m i f T L f î -
O n a d o n c o b t e n u que l'existence de ke est équivalente à celle de ( a , - ) ^ nj Ç ((7Z/pe7L)x) satisfaisant aux deux conditions suivantes :
ai mod p
(i) n ') = 1 , .=i \ i
. a .
i=1 \ £»>e /
On r e m a r q u e alors que la condition (i) précédente s'écrit aussi :
puisque les sont t o t a l e m e n t décomposés dans k(fip«) ; la condition (ii) étant in- changée d a n s l'extension k(fj,p C,EpF)/k(ixpe), le résultat découle de la considération de l'extension composée fc(/ip<=, (EAP" )* )/k(fipe).
E t le t h é o r è m e principal est démontré.
5 R e m a r q u e s , e x e m p l e s e t c o m p l é m e n t s
R e m a r q u e 5 . 1 D a n s [2], il était demandé, p o u r construire une extension cyclique ke de k , de degré pe, T - t o t a l e m e n t ramifiée, que p o u r chaque l € T , les images résiduelles Ax et E de A t et E dans k\ vérifient :
At Ç I *p e t Ë Ç k *p\
c'est-à-dire que les conditions du théorème soient vérifiées pour chaque singleton {/}, / € T .
Le théorème (1.1) p e r m e t donc d'élargir considérablement l'éventail des ensem- bles T conduisant à une solution, dès que | T | > 2. Nous allons illustrer ce f a i t au moyen d ' u n exemple numérique.
E x e m p l e : Soit k - Q(\/ÏÏÏ) et soit p — 2. On a : E = < - l , e = 3 + A / Ï Ô > ,
A = < - l , e = 3 + Viï>,fr = i + V ï ô > k*2.
O n recherche les ensembles d ' i d é a u x premiers impairs T à deux éléments.
( a ) (e = 1). Il existe u n e extension q u a d r a t i q u e ki de k, T - t o t a l e m e n t rami- fiée, si et seulement si /j et /2 s° n t tels que :
O n vérifie que cela d o n n e les huit possibilités suivantes 7 :
= ( £ ) . • ( M ) . -
où ( j . ) ( j - ) sont les symboles de restes q u a d r a t i q u e s m o d u l o h et l2 d a n s les corps résiduels.
(/3) (e = 2). Il existe u n e extension cyclique k2 de k de degré 4, T - t o t a l e m e n t ramifiée, si et seulement si h et l2 vérifient les trois conditions suivantes :
(i) N l \ = N l2 = 1 m o d 4, (H) =
( i i i ) ( M ^ M Z M v H l ) = ( M V E l ^ Z M V H l ) " , £ .2| / . { = i ,2.
L a condition (iii) conduit a u x six possibilités suivantes (sous la condition (i)) :
où sont les symboles de restes de puissances 4-ièmes, m o d u l o l\ et l2 dans les corps résiduels.
Il en résulte qu'il existe u n e extension cyclique de degré 4 de k, T - t o t a l e m e n t ramifiée, d a n s c h a c u n e des douze situations suivantes ( t o u j o u r s sous la condition nécessaire (i) et c o m p t e tenu de la note de bas de page) :
( £ ) . = © . • M " ™ 1 8 -
Le cas ( f ) = ( £ ) = ( J ) = ( g ) = 1, N h = N l2 m o d 8 , est équivalent à ÂT C I , et ~E C k, , p o u r i = 1,2, et constitue le seul cas envisagé d a n s [2] pour le degré 4.
O r on p e u t vérifier que si T = {/i, l2}, avec l\ = (idéal premier de k au-dessus de 41) et l2 = (7), e et rj ne sont pas des carrés m o d u l o lx et l2 ; ceci d o n n e l'existence d ' u n e extension q u a r t i q u e cyclique de k, T - t o t a l e m e n t ramifiée, t a n d i s qu'il n'existe a u c u n e extension q u a d r a t i q u e de k, {P41 }-totalement ramifiée, ou {(7)}-totalement ramifiée.
7Si T contient un idéal premier au-dessus de 3, on doit, dans les écritures ci-après, remplacer rj par f/' étranger à 3.
R e m a r q u e 5 . 2 Revenons à l'énoncé général du théorème (1.1) ; comme l'extension k(pp*, ( E AP' 1)p )/k(fipc) est au plus ramifiée au-dessus de poo, son conducteur f peut se calculer facilement, et p e r m e t de r a m e n e r le problème de la recherche des
ensembles T à des calculs dans le groupe des classes généralisées C/f de k(fipe).
E n effet, à p a r t i r de toute relation de la f o r m e : n
J J crf*' = 1 , a; ^ O m o d p ,
s u r des éléments de G a i ( k ( ppe , ( E Ap' )p )/k(jxpe)), il suffit, p a r le corps de classes s u r k(nP<>), de choisir, p o u r chaque i, un idéal p r e m i e r £l)E de k(p,pc), totalement décomposé d a n s k ( ppc ) / k , dont la classe généralisée corresponde, p a r l'application d'Artin, à l'élément cr,- ; un ensemble T est alors f o r m é des n idéaux p r e m i e r s li de k en-dessous des £,i e.
Le théorème de Cebotarev conduit au f a i t qu'il y a une infinité (dont la densité pourrait être précisée) d'ensembles T (à n fixé) conduisant à des extensions cycliques T - t o t a l e m e n t ramifiées de degré pe de k.
On p e u t , avec les techniques précédentes, généraliser le t h é o r è m e (1.1) dans différentes directions ; p a r exemple (p ^ 2) : Soit T = T\ U . . . U Te u n e réunion disjointe d'ensembles de places modérées (2^ ^ 0) telles que N I = 1 m o d pe', avec e; > e — r + 1 p o u r t o u t l G Tr ; alors il existe u n e extension cyclique T-ramifiée de degré pe de k, p o u r laquelle l'indice de ramification de t o u t l G Tr est égal à pe~r + 1, 1 < r < e, si et seulement si il existe u n e relation d e la f o r m e :
fc(/y, ( E A ^1 ) ) ^ at M i n(r°'~e + r" V "1) = ^
avec £e| / dans k ( ppt ) j k et a; jà 0 m o d p, p o u r t o u t / G T .
Le cas p = 2 est analogue mais exige u n e formulation différente en raison de la possibilité d'imposer ou non la complexification de places à l'infini, également modérées.
O n p e u t enfin caractériser facilement les extensions cycliques de degré p de km, m o d é r é m e n t ramifiées, abéliennes sur k, non décomposées sur k.
n n ( -=1 /CT. \
R é f é r e n c e s
[1] Cornell, G., T h e s t r u c t u r e of t h e ray class group, In : Algebraic N u m b e r Theory, RIMS, Kokyuroku, 1987.
[2] Gras, G., Principalisation d'idéaux p a r extensions absolument abéliennes, Jour. N u m b e r Theory, 62, 2 (1997), 403-421.
[3] Maire, C., Extensions T-ramifiées modérées S-décomposées, T h è s e de Doc- t o r a t , Université de Franche-Comté Besançon, 1995.
[4] Stevenhagen, P., R a y class groups a n d governing fields, P h . D. Thesis, Uni- versity of A m s t e r d a m , 1988.
S u m m a r y :
Let k b e a n u m b e r field a n d pe, e > 1, a prime power. We give a very simple governing field for t h e solution of t h e following problem : characterize ail t h e sets T of primes of k, not dividing p, for which t h e r e exists a cyclic extension of degree pe
of k, unramified outside T , a n d totally ramified at ail places of T.
Key words :
governing fields ; T-ramified extensions ; class field theory
Georges Gras Adeline Munnier U . F . R . Sciences U.F.R. Sciences
L a b o r a t o i r e de M a t h é m a t i q u e s Laboratoire de M a t h é m a t i q u e s
N.B. Ce t e x t e a é t é soumis à u n e revue de théorie des nombres en o c t o b r e 1997 ; le
"Referee" de cette revue n ' a y a n t pas daigné donner un avis d u r a n t plus d ' u n an, il a été retiré p o u r la présente publication.
U M R 6623 au C N R S F-25030 Besançon cedex
U M R 6623 au C N R S F-25030 Besançon cedex
